构造函数法在高考解导数和数列问题

用构造函数法给出两个结论的证明 1 构造函数 则 sinf xxx 1 cos0fxx 所以函数在上单调递增 所以 即 f x 0 0 0f xf sin0 xx sin xx 2 构造函数 则 所以函数在 ln 1 f xxx 1 10 11 x fx xx f x 上单调递增 所以 即 0 0 0f xf ln 1 xx ln 1 xx 要证两边取对数 即证 1 1 1 n e n 11 ln 1 1nn 事实上 设则 1 1 t n 1 1 1 nt t 因此得不等式 1 ln1 1 tt t 构造函数下面证明在上恒大于 0 1 ln1 1 g ttt t g t 1 2 11 0 g t tt 在上单调递增 g t 1 1 0 g tg 即 1 ln1 t t 11 ln 1 1nn 1 1 1 n e n 以上两个重要结论在高考中解答与导数有关的命题有着广泛的应用 例如 2009 年广东 21 2008 年山东理科 21 2007 年山东理科 22 1 09 天津天津 文文 10 设函数在 R 上的导函数为 且 下面的不等 f x fx 2 2 f xxfxx 式在 R 上恒成立的是 A B C D 0 xf0 xfxxf xxf 答案 A 解析 由已知 首先令得 排除 B D 0 x0 xf 令 则 2 g xx f x 2 g xxf xxfx 当时 有 所以函数单调递增 所以0 x 2 2 0 g x f xxfxxg x x g x 当时 从而 0 x 0 0g xg 0 xf 当时 有 所以函数单调递减 所以0 x 2 2 0 g x f xxfxxg x x g x 当时 从而 综上 故选 A 0 x 0 0g xg 0 xf0 xf 考点定位 本试题考察了导数来解决函数单调性的运用 通过分析解析式的特点 考查了分析问题 和解决问题的能力 2 09 辽宁辽宁 理理 21 本小题满分 12 分 已知函数 2 1 1 ln 2 f xxaxax 1a 讨论函数的单调性 f x 证明 若 则对任意 有 5a 12 0 x x 12 xx 12 12 1 f xf x xx 解 的定义域为 f x 0 2 分 2 11 1 1 axaxaxxa fxxa xxx i 若即 则 11a 2a 2 1 x fx x 故在单调增加 f x 0 ii 若 而 故 则当时 1 1a 1a 12a 1 1 xa 0fx 当及时 故在单调减少 0 1 xa 1 x 0fx f x 1 1 a 在单调增加 0 1 1 a iii 若 即 同理可得在单调减少 在单调增加 11a 2a f x 1 1 a 0 1 1 a II 考虑函数 g xf xx 2 1 1 ln 2 xaxaxx 则 2 11 1 2 1 1 1 1 aa g xxaxaa xx 由于故 即在单调增加 从而当时有15 a 0g x g x 0 12 0 xx 即 故 当时 有 12 0g xg x 1212 0f xf xxx 12 12 1 f xf x xx 12 0 xx 12 分 1221 1221 1 f xf xf xf x xxxx 3 09 全国全国 理理 22 本小题满分 12 分 设函数有两个极值点 且 2 1f xxalnx 12 xx 12 xx I 求的取值范围 并讨论的单调性 a f x II 证明 2 1 2 2 4 ln f x 解解 I 由题设知 函数的定义域是 f x1 x 2 22 1 xxa fx x 且有两个不同的根 故的判别式 0fx 12 xx 2 220 xxa 480a 即 1 2 a 且 12 11 211 2 22 aa xx 又故 1 1 x 0a 因此的取值范围是 a 1 0 2 当变化时 与的变化情况如下表 x f x fx 因此在区间和是增函数 在区间是减函数 f x 1 1 x 2 x 12 x x II 由题设和 知 222 1 0 2 1 2 xaxx 于是 2 22222 2 1 1f xxxx lnx 设函数 2 2 1 1 g tttt lnt 则 2 12 1g ttt lnt 当时 1 2 t 0g t 当时 故在区间是增函数 1 0 2 t 0 g t g t 1 0 2 于是 当时 1 0 2 t 11 2 2 24 ln g tg 因此 22 1 2 2 4 ln f xg x 5 2009 届山东省德州市高三第一次练兵 理数 届山东省德州市高三第一次练兵 理数 21 本小题满分 12 分 已知函数在是增函数 在 0 1 为减函数 xaxxfln 2 2 1 xaxxg 1 求 的表达式 xf xg 2 求证 当时 方程有唯一解 0 x2 xgxf 3 当时 若在 内恒成立 求的取值范围 1 b 2 1 2 x bxxf x 1 0 b 解 1 依题意 即 2 x a xxf 2 1 0 xxf 2 2xa 2 1 x 上式恒成立 1 分2 a 又 依题意 即 x a xg 2 1 1 0 0 xxgxa2 1 0 x 上式恒成立 2 分 2 a 由 得 3 分 2 a 4 分 2 ln2 2 xxxgxxxf 2 由 1 可知 方程 2 xgxf 0 22ln2 2 xxxx即 设 22ln2 2 xxxxxh 1 1 2 2 x x xxh 则 令 并由得解知 5 分0 x h 0 x 0 222 1 xxxxx 1 x 令由 6 分 0 x h 1 0 0 xx解得 列表分析 x 0 1 1 1 x h 0 xh 递减0递增 可知在处有一个最小值 0 7 分 xh1 x 当时 0 10 xx且 xh 在 0 上只有一个解 0 xh 即当 x 0 时 方程有唯一解 8 分2 xgxf 3 设 9 分 2 23 122 2ln2 220 xxxbxxxb xxx 则 在为减函数 又 11 分 x 0 1 min 1 1 210 xb 1b 所以 为所求范围 12 分11 b 7 山东省滨州市山东省滨州市 2009 年年 5 月高考模拟试题 理数 月高考模拟试题 理数 20 本题满分 12 已知函数 2 ln f xaxx 求的单调区间 f x 当时 设斜率为的直线与函数相交于两点0a k yf x 1122 A x yB xy 求证 21 xx 12 1 xx k 解 略 当时 0a ln f xx 以下先证 1 1 x k 2121 2121 lnln 0 yyxx k xxxx 所以只需证 即 21 211 lnln1xx xxx 2212 111 ln1 xxxx xxx 设 则 ln1 1 tttt 1 10 1 tt t 所以在时 为减函数 1 t t 1 0 1 tt 即 又 ln1 1 ttt 2 1 1 x x 成立 即 22 11 ln1 xx xx 1 1 x k 同理可证 2 1 x k 12 1 xx k 9 山东省安丘 五莲 诸城 兰山四地山东省安丘 五莲 诸城 兰山四地 2009 届高三届高三 5 月联考月联考 22 本题满分 14 分 已知函数在上为增函数 且 1 ln sin g xx x 1 0 1 ln m f xmxx x mR 1 求的取值范围 2 若在上为单调函数 求的取值范围 f xg x 1 m 3 设 若在上至少存在一个 使得成立 求的取 2 e h x x 1 e 0 x 000 f xg xh x m 值范围 解 1 由题意 在上恒成立 即 2 11 0 sin g x xx 1 2 sin1 0 sin x x 故在上恒成立 2 分 0 sin0 sin10 x 1 只须 即 只有 结合得 4 分sin1 10 sin1 sin1 0 2 2 由 1 得 2ln m f xg xmxx x 2 2 2 mxxm f xg x x 在上为单调函数 f xg x 1 或者在恒成立 6 分 2 20mxxm 2 20mxxm 1 等价于即 2 20mxxm 2 1 2 mxx 2 2 1 x m x 而 8 分 2 222 max11 11 1 x m x xx xx 等价于即在恒成立 2 20mxxm 2 1 2 mxx 2 2 1 x m x 1 而 2 2 0 1 0 1 x m x 综上 的取值范围是 10 分m 01 3 构造函数 2 2ln me F xf xg xh x F xmxx xx 当时 所以在上不存在一个 0m 1 0 m xe mx x 2 2ln0 e x x