【步步高】2014届高三数学一轮 10.2 排列与组合导学案 理 北师大版

1 学案学案 6464 排列与组合排列与组合 导学目标 1 理解排列 组合的概念 2 能利用计数原理推导排列数公式 组合数公 式 3 能解决简单的实际问题 自主梳理 1 排列的定义 叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列 排列数的定义 叫做从 n 个不同元 素中取出 m 个元素的排列数 用符号A表示 m n 2 排列数公式的两种形式 1 A n n 1 n m 1 2 A 其中 m nm n n n m 公式 1 不带阶乘的 主要用于计算 公式 2 阶乘形式 适用于化简 证明 解方程 说明 n 叫做 n 的阶乘 规定 0 当 m n 时的排列叫做全排列 全排列数A n n 3 组合的定义 从 n 个不同元素中取出 m m n 个元素合成一组 叫做 从 n 个不同元素中取出 m m n 个元素的所有不同组合的个数叫做从 n 个 不同元素中取出 m 个元素的 用 表示 4 组合数公式的两种形式 1 C m n Am n Am m n n 1 n 2 n m 1 m m 1 3 2 1 2 C 其中公式 1 主要用于计算 尤其适用于上标是具体数且 m m n n m n m 的情况 公式 2 适用于化简 证明 解方程等 n 2 5 C C m k N N n N N m nk n 6 组合数的两个性质 1 C 2 C m nmn 1 自我检测 1 2010 北京 8 名学生和 2 位老师站成一排合影 2 位老师不相邻的排法种数为 A A A B A C C A A D A C 8 8 2 98 8 2 98 8 2 78 8 2 7 2 2011 广州期末七区联考 2010 年上海世博会某国展出 5 件艺术作品 其中不同 书法作品 2 件 不同绘画作品 2 件 标志性建筑设计 1 件 在展台上将这 5 件作品排成一 排 要求 2 件书法作品必须相邻 2 件绘画作品不能相邻 则该国展出这 5 件作品的不同 方案有 A 24 种 B 48 种 C 72 种 D 96 种 3 从 4 台甲型与 5 台乙型电视机中任选 3 台 其中至少要有甲 乙型电视机各一台 则不同的取法共有 A 140 种 B 84 种 C 70 种 D 35 种 4 2011 烟台期末 2008 年 9 月 25 日晚上 4 点 30 分 神舟七号 载人飞船发射升 空 某校全体师生集体观看了电视实况转播 观看后组织全体学生进行关于 神舟七号 的论文评选 若三年级文科共 4 个班 每班评出 2 名优秀论文 其中男女生各 1 名 依次排 成一列进行展览 若规定男女生所写论文分别放在一起 则不同的展览顺序有 A 576 种 B 1 152 种 C 720 种 D 1 440 种 5 2010 全国 将标号为 1 2 3 4 5 6 的 6 张卡片放入 3 个不同的信封中 若每个 信封放 2 张 其中标号为 1 2 的卡片放入同一信封 则不同的方法共有 A 12 种 B 18 种 C 36 种 D 54 种 6 2010 重庆 某单位拟安排 6 位员工在今年 6 月 14 日至 16 日 端午节假期 值班 2 每天安排 2 人 每人值班 1 天 若 6 位员工中的甲不值 14 日 乙不值 16 日 则不同的安 排方法共有 A 30 种 B 36 种 C 42 种 D 48 种 探究点一 含排列数 组合数的方程或不等式 例 1 1 求等式 3 中的n值 C 5n 1 C 3n 3 C 3n 3 4 5 2 求不等式 6A x9x 26 探究点二 排列应用题 例 2 2011 莆田模拟 六人按下列要求站一排 分别有多少种不同的站法 1 甲不站两端 2 甲 乙必须相邻 3 甲 乙不相邻 4 甲 乙之间恰间隔两人 5 甲 乙站在两端 6 甲不站左端 乙不站右端 3 变式迁移 2 用 1 2 3 4 5 6 组成六位数 没有重复数字 要求任何相邻两个数字的 奇偶性不同 且 1 和 2 相邻 求这样的六位数的种数 探究点三 组合应用题 例 3 男运动员 6 名 女运动员 4 名 其中男女队长各 1 名 选派 5 人外出比赛 在 下列情形中各有多少种选派方法 1 男运动员 3 名 女运动员 2 名 2 至少有 1 名女运动员 3 队长中至少有 1 人参加 4 既要有队长 又要有女运动员 变式迁移 3 12 名同学合影 站成前排 4 人后排 8 人 现摄影师从后排 8 人中抽 2 人 调整到前排 若其他人的相对顺序不变 则不同调整方法总数是 A C A B C A 2 8 2 32 8 6 6 C C A D C A 2 8 2 62 8 2 5 1 解排列 组合应用题应遵循两个原则 一是按元素的性质进行分类 二是按事件发 生的过程进行分步 2 对于有附加条件的排列 组合应用题 通常从三个途径考虑 1 以元素为主考虑 即先满足特殊元素的要求 再考虑其他元素 2 以位置为主考虑 即先满足特殊位置 的要求 再考虑其他位置 3 先不考虑附加条件 计算出排列数或组合数 再减去不 合要求的排列数或组合数 3 关于排列组合问题的求解 应掌握以下基本方法与技巧 1 特殊元素优先安排 2 合理分类与准确分步 3 排列组合混合问题先选后排 4 相邻问题捆绑处理 5 不 相邻问题插空处理 6 定序问题排除法处理 7 分排问题直排处理 8 小集团 排列问题先整体后局部 9 构造模型 10 正难则反 等价转化 4 满分 75 分 一 选择题 每小题 5 分 共 25 分 1 2009 湖南 从 10 名大学毕业生中选 3 人担任村长助理 则甲 乙至少有 1 人入 选 而丙没有入选的不同选法的种数为 A 85 B 56 C 49 D 28 2 2010 全国 某校开设A类选修课 3 门 B类选修课 4 门 一位同学从中共选 3 门 若要求两类课程中各至少选一门 则不同的选法共有 A 30 种 B 35 种 C 42 种 D 48 种 3 2010 重庆 某单位安排 7 位员工在 10 月 1 日至 7 日值班 每天安排一人 每人 值班 1 天 若 7 位员工中的甲 乙排在相邻两天 丙不排在 10 月 1 日 丁不排在 10 月 7 日 则不同的安排方案共有 A 504 种 B 960 种 C 1 008 种 D 1 108 种 4 2011 济宁月考 6 条网线并联 它们能通过的最大信息量分别为 1 1 2 2 3 4 现从中任取三条网线且使这三条网线通过最大信息量的和大于等于 6 的方法共有 A 13 种 B 14 种 C 15 种 D 16 种 5 五人排成一排 甲与乙不相邻 且甲与丙也不相邻的不同排法数是 A 24 B 36 C 48 D 60 二 填空题 每小题 4 分 共 12 分 6 2011 北京 用数字 2 3 组成四位数 且数字 2 3 至少都出现一次 这样的四位数 共有 个 用数字作答 7 8 名世界网球顶级选手在上海大师赛上分成两组 每组各 4 人 分别进行单循环赛 每组决出前两名 再由每组的第一名与另一组的第二名进行淘汰赛 获胜者角逐冠 亚军 败者角逐 3 4 名 则大师赛共有 场比赛 8 2011 马鞍山调研 参加海地地震救援的中国救援队一小组共有 8 人 其中男同志 5 人 女同志 3 人 现从这 8 人中选出 3 人参加灾后防疫工作 要求在选出的 3 人中男 女同志都有 则不同的选法共有 种 用数字作答 三 解答题 共 38 分 9 12 分 1 计算 C C199200 98100 2 求 C C的值 28 n3n2n21 n 3 求证 C C C m n m 1 n 1m 1n 1 n n mmn 1 10 12 分 有 5 个男生和 3 个女生 从中选出 5 人担任 5 门不同学科的课代表 求分 别符合下列条件的选法数 1 有女生但人数必须少于男生 5 2 某女生一定担任语文课代表 3 某男生必须包括在内 但不担任语文课代表 4 某女生一定要担任语文课代表 某男生必须担任课代表 但不担任数学课代表 11 14 分 从 1 3 5 7 9 五个数字中选 2 个 0 2 4 6 8 五个数字中选 3 个 能组成 多少个无重复数字的五位数 学案学案 6464 排列与组合排列与组合 自主梳理 1 从 n 个不同元素中取出 m m n 个元素 按照一定的顺序排成一列 从 n 个不同 元素中取出 m m n 个元素的所有不同排列的个数 2 n n 1 2 1 1 n 3 从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合 组合数 C 5 m k 或 m k n 6 1 C 2 C C m nn mnm nm 1n 自我检测 1 A 不相邻问题用插空法 先排学生有A种排法 老师插空有A种方法 所以共 8 82 9 有A A种排法 8 8 2 9 2 A 2 件书法作品看作一个元素和标志性建筑设计进行排列有A种不同排法 让 2 2 两件绘画作品插空有A种插法 两件书法作品之间的顺序也可交换 因此共有 2 3 2A A 24 种 2 2 2 3 3 C 从 4 台甲型机中选 2 台 5 台乙型机中选 1 台或从 4 台甲型机中选 1 台 5 台 乙型机中选 2 台 有C C C C 70 种 选法 2 4 1 51 4 2 5 4 B 女生论文有A种展览顺序 男生论文也有A种展览顺序 男生与女生论文可 4 44 4 以交换顺序 有A种方法 故总的展览顺序有A A A 1 152 种 2 24 4 4 4 2 2 5 B 先将 1 2 捆绑后放入信封中 有C种方法 再将剩余的 4 张卡片放入另外两 1 3 个信封中 有C C种方法 2 4 2 2 所以共有C C C 18 种 方法 1 3 2 4 2 2 6 C 若甲在 16 日值班 在除乙外的 4 人中任选 1 人在 16 日值班有C种选法 然 1 4 后 14 日 15 日有C C种安排方法 共有C C C 24 种 安排方法 2 4 2 21 4 2 4 2 2 6 若甲在 15 日值班 乙在 14 日值班 余下的 4 人有C C C种安排方法 共有 12 种 1 4 1 3 2 2 若甲 乙都在 15 日值班 则共有C C 6 种 安排方法 2 4 2 2 所以总共有 24 12 6 42 种 安排方法 课堂活动区 例 1 解题导引 1 在解有关A C的方程或不等式时要注意运用 n m 且 m n N N m nm n 的条件 2 凡遇到解排列 组合的方程式 不等式问题时 应首先应用性质和排列 组合 的意义化简 然后再根据公式进行计算 注意最后结果都需要检验 解 1 原方程可变形为 1 C C C 5n 1 C 3n 3 19 55n 1 14 53n 3 即 n 1 n 2 n 3 n 4 n 5 5 14 5 n 3 n 4 n 5 3 化简整理得n2 3n 54 0 解得n 9 或n 6 不合题意 舍去 n 9 2 由 6 n n 1 n 2 24 n n 1 n 2 n 3 240 n n 1 n 2 n 3 n 4 可得n2 11n 12 0 解得 1 n 12 又n N N 且n 5 n 5 6 7 8 9 10 11 变式迁移 1 解 1 根据原方程 x x N N 应满足Error 解得x 3 根据排列数公式 原方程化为 2x 1 2x 2x 1 2x 2 140 x x 1 x 2 因为x 3 两边同除以 4x x 1 得 2x 1 2x 1 35 x 2 即 4x2 35x 69 0 解得x 3 或x x N N 应舍去 23 4 所以原方程的解为x 3 2 根据原不等式 x x N N 应满足Error 故 26A x9x 26 得 6 所以 1 9 9 x 6 8 x 84 9 x 所以 75 x 9 故 2 x 8 所以x 3 4 5 6 7 8 例 2 解题导引 1 求排列应用题最基本的方法有直接法 把符合条件的从正面考虑 解决 直接列式计算 间接法 根据正难则反的解题原则 如果问题从正面考虑情况比较 多 容易重或漏 那么从整体中去掉不符合题意的情况 就得到满足题意的排列种数 2 相邻问题 一般用捆绑处理的方法 3 不相邻问题 一般用插空处理的方法 4 分排问 题 一般用直排处理的方法 5 小集团 排列问题中 先整体后局部的处理方法 解 1 方法一 要使甲不站在两端 可先让甲在中间 4 个位置上任选 1 个 有 A 种 1 4 站法 然后其余 5 人在另外 5 个位置上作全排列 有 A 种站法 根据分步乘法计数原理 5 5 共有 A A 480 种 站法 1 45 5 方法二 若对甲没有限制条件共有 A 种站法 甲在两端共有 2A 种站法 从总数中减 6 65 5 去这两种情况的排列数即得所求的站法数 共有 A 2A 480 种 站法 6 65 5 7 2 先把甲 乙作为一个 整体 看作一个人 有 A 种站法 再把甲 乙进行全排列 5 5 有 A 种站法 根据分步乘法计数原理 共有 A A 240 种 站法 2 25 52 2 3 因为甲 乙不相邻 所以可用 插空法 第一步 先让甲 乙以外的 4 个人站队 有 A 种站法 第二步 再将甲 乙排在 4 人形成的 5 个空档 含两端 中 有 A 种站法 4 42 5 故共有 A A 480 种 站法 4 42 5 4 先从甲 乙以外的 4 个人中任选 2 人排在甲 乙之间的两个位置上 有 A 种 然 2 4 后把甲 乙及中间 2 人看作一个 大 元素与余下 2 人作全排列 有 A 种站法 最后对甲 3 3 乙进行排列 有 A 种站法 2 2 故共有 A A A 144 种 站法 2 43 32 2 5 首先考虑特殊元素 甲 乙先站两端 有 A 种站法 再让其他 4 人在中间位置作 2 2 全排列 有 A 种站法 根据分步乘法计数原理 共有 A A 48 种 站法 4 42 24 4 6 甲在左端的站法有 A 种站法 乙在右端的站法有 A 种 且甲在左端而乙在右端的 5 55 5 站法有 A 种站法 共有 A 2A A 504 种 站法 4 46 65 54 4 变式迁移 2 解 依题意先排列除 1 和 2 外的剩余 4 个元素有 2A A 8 种 方案 2 22 2 再向这排好的 4 个元素中选 1 空位插入 1 和 2 捆绑的整体 有 A 种插法 1 5 不同的安排方案共有 2A A A 40 种 2 22 21 5 例 3 解题导引 1 区别排列与组合的重要标志是 有序 与 无序 无序的问题 用组合解答 有序的问题属排列问题 2 解组合问题时 常遇到 至多 至少 问题 解决的方法常常用间接法比较简单 计算量也较小 用直接法也可以解决 但分类要恰当 特别对限制条件比较多的问题 解 1 第一步 选 3 名男运动员 有 C 种选法 3 6 第二步 选 2 名女运动员 有 C 种选法 2 4 共有 C C 120 种 选法 3 62 4 2 至少 1 名女运动员 的反面为 全是男运动员 从 10 人中任选 5 人 有 C种选法 其中全是男运动员的选法有 C 种 5 105 6 所以 至少有 1 名女运动员 的选法有 C C 246 种 5 105 6 3 从 10 人中任选 5 人 有 C种选法 5 10 其中不选队长的方法有 C 种 5 8 所以 至少 1 名队长 的选法有 C C 196 种 5 105 8 4 当有女队长时 其他人选法任意 共有 C 种选法 不选女队长时 必选男队长 4 9 共有 C 种选法 其中不含女运动员的选法有 C 种 所以不选女队长时共有 C C 种选 4 84 54 84 5 法 故既要有队长 又要有女运动员的选法有 C C C 191 种 4 94 84 5 变式迁移 3 C 从后排 8 人中选 2 人有 C 种 这 2 人插入前排 4 人中且前排人的顺 2 8 序不变 则先从 4 人中的 5 个空位插一人有 5 种 余下的一人则要插入前排 5 人的空档有 6 种 故为 A 所求总数为 C A 2 62 8 2 6 课后练习区 1 C 丙不入选的选法有 C 84 种 3 9 9 8 7 3 2 1 甲乙丙都不入选的选法有 C 35 种 3 7 7 6 5 3 2 1 所以甲 乙至少有一人入选 而丙不入选的选法有 84 35 49 种 2 A 方法一 可分两种互斥情况 A类选 1 门 B类选 2 门或A类选 2 门 B类选 1 门 共有 C C C C 18 12 30 种 选法 1 3 2 42 3 1 4 方法二 总共有 C 35 种 选法 减去只选A类的 C 1 种 再减去只选B类的 3 73 3 C 4 种 故有 30 种选法 3 4 3 C 不考虑丙 丁的情况共有 A A 1 440 种 排法 2 2 6 6 在甲 乙相邻的条件下 丙排 10 月 1 日有 A A 240 种 排法 同理 丁排 10 月 7 2 2 5 5 日也有 240 种排法 丙排 10 月 1 日 丁排 10 月 7 日也有 A A 48 种 排法 则满足条件 2 2 4 4 的排法有 A A 2A A A A 1 008 种 2 2 6 62 2 5 52 2 4 4 4 C 当选用信息量为 4 的网线时有 C 种 当选用信息量为 3 的网线时有 C C 1 2 51 2 1 2 种 共 C C C 1 15 种 2 51 2 1 2 8 5 B 五人中不排甲 乙 丙 另 2 人排列有 A 种方法 这两人中有 3 个空 按甲 2 2 在两头和中间分为两类 当甲在两头中的一头时 乙有 2 种插空法 乙插入后有 3 个空供 丙插 因此有 A C C C 24 种 当甲在中间时 乙有 2 种插法 乙插入后也有 3 2 21 21 21 3 个空供丙插 所以共有 A C C 12 种 由分类加法计数原理得 共有 2 21 21 3 24 12 36 种 6 14 解析 数字 2 3 至少都出现一次 包括以下情况 2 出现 1 次 3 出现 3 次 共可组成 C 4 个 四位数 1 4 2 出现 2 次 3 出现 2 次 共可组成 C 6 个 四位数 2 4 2 出现 3 次 3 出现 1 次 共可组成 C 4 个 四位数 3 4 综上所述 共可组成 14 个这样的四位数 7 16 解析 每组有 C 场比赛 两组共有 2C 场 每组的第一名与另一组的第二名比赛有 2 2 42 4 场 决出冠军和第 3 名各 1 场 所以共有 2C 2 1 1 16 场 2 4 8 45 解析 从 3 名女同志和 5 名男同志中选出 3 人 分别参加灾后防疫工作 若这 3 人中 男 女同志都有 则从全部方案中减去只选派女同志的方案数 C 再减去只选派男同志的 3 3 方案数 C 合理的选派方案共有 C C C 45 种 3 53 83 33