江苏2018届高考数学总复习专题10.1椭圆试题含解析

专题专题 10 110 1 椭圆椭圆 三年高考三年高考 1 2017 江苏 如图 在平面直角坐标系 xOy 中 椭圆 22 22 1 0 xy Eab ab 的左 右焦 点分别为 1 F 2 F 离心率为 1 2 两准线之间的距离为 8 点P在椭圆E上 且位于第一象限 过点 1 F 作直线 1 PF 的垂线 1 l 过点 2 F 作直线 2 PF 的垂线 2 l 1 求椭圆E的标准方程 2 若直线 1 l 2 l 的交点Q在椭圆E上 求点P的坐标 答案 1 22 1 43 xy 2 4 7 3 7 77 试题解析 1 设椭圆的半焦距为c 因为椭圆E的离心率为 1 2 两准线之间的距离为 8 所以 1 2 c a 2 2 8 a c 解得 2 1ac 于是 22 3bac 因此椭圆E的标准方程是 22 1 43 xy 因为 11 lPF 22 lPF 所以直线 1 l 的斜率为 0 0 1x y 直线 2 l 的斜率为 0 0 1x y 从而直线 1 l 的方程 0 0 1 1 x yx y 直线 2 l 的方程 0 0 1 1 x yx y 由 解得 2 0 0 0 1 x xxy y 所以 2 0 0 0 1 x Qx y 因为点Q在椭圆上 由对称性 得 2 0 0 0 1x y y 即 22 00 1xy 或 22 00 1xy 又P在椭圆E上 故 22 00 1 43 xy 由 22 00 22 00 1 1 43 xy xy 解得 00 4 73 7 77 xy 22 00 22 00 1 1 43 xy xy 无解 因此点P的坐标为 4 7 3 7 77 考点 椭圆方程 直线与椭圆的位置关系 名师点睛 直线与圆锥曲线的位置关系 一般转化为直线方程与圆锥曲线方程组成的方程 组 利用根与系数关系或求根公式进行转化 要充分利用椭圆和双曲线的几何性质 点在曲 线上 点的坐标满足曲线方程 等 2 2014 江苏 理 17 如图在平面直角坐标系xoy中 12 F F分别是椭圆 22 22 1 0 xy ab ab 的左右焦点 顶点B的坐标是 0 b 连接 2 BF并延长交椭圆于点A 过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C 连接 1 FC 1 若点C的坐标为 4 1 3 3 且 2 2BF 求椭圆的方程 2 若 1 FCAB 求椭圆离心率e的值 答案 1 2 2 1 2 x y 2 1 2 解析 试题分析 1 求椭圆标准方程 一般要找到关系 a b c的两个等量关系 本题中椭圆过点 4 1 3 3 C 可把点的坐标代入标准方程 得到一个关于 a b c的方程 另外 22 22 BFOBOFa 2 这样两个等量关系找到了 2 要求离心率 就是要列出 关于 a b c的一个等式 题设条件是 1 FCAB 即 1 1 FCAB kk 2 ABF B b kk c 要 求 1 FC k 必须求得C的坐标 由已知写出 2 BF方程 与椭圆方程联立可解得A点坐标 11 x y 则 11 C xy 由此 1 FC k可得 代入 1 1 FCAB kk 可得关于 a b c的等式 再由 222 c bac e a 可得e的方程 可求得e 试题解析 1 由题意 2 0 F c 0 Bb 22 2 2BFbca 又 4 1 3 3 C 22 2 41 33 1 2b 解得1b 椭圆方程为 2 2 1 2 x y 2 直线 2 BF方程为1 xy cb 与椭圆方程 22 22 1 xy ab 联立方程组 解得A点坐标为 23 2222 2 a cb acac 则C点坐标为 23 2222 2 a cb acac 1 3 3 22 223 22 23 FC b b ac k a ca cc c ac 又 AB b k c 由 1 FCAB 得 3 23 1 3 bb a ccc 即 4224 3ba cc 222224 3aca cc 化简得 5 5 c e a 3 2013 江苏 理 12 在平面直角坐标系xOy中 椭圆C的标准方程为 22 22 1 xy ab a 0 b 0 右焦点为F 右准线为l 短轴的一个端点为B 设原点到直线BF 的距离为d1 F到l的距离为d2 若 21 6dd 则椭圆C的离心率为 答案 3 3 解析 设椭圆 C 的半焦距为 c 由题意可设直线 BF 的方程为 1 xy cb 即 bx cy bc 0 于 是可知 1 22 bcbc d a bc 2222 2 aacb dc ccc 21 6dd 2 6bbc ca 即 2 6abc a2 a2 c2 6c4 6e4 e2 1 0 e2 1 3 3 3 e 4 2017 浙江 2 椭圆 22 1 94 xy 的离心率是 A 13 3 B 5 3 C 2 3 D 5 9 答案 B 解析 试题分析 945 33 e 选B 考点 椭圆的简单几何性质 名师点睛 解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于 cba 的方程或不等式 再根据cba 的关系消掉b得到ca 的关系式 建立关于cba 的方 程或不等式 要充分利用椭圆和双曲线的几何性质 点的坐标的范围等 5 2017 课标 3 理 10 已知椭圆C 22 22 1 xy ab a b 0 的左 右顶点分别为 A1 A2 且以线段A1A2 为直径的圆与直线20bxayab 相切 则C的离心率为 A 6 3 B 3 3 C 2 3 D 1 3 答案 A 解析 考点 椭圆的离心率的求解 直线与圆的位置关系 名师点睛 椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质 求椭圆的离心率 或离心率的取值范 围 常见有两种方法 求出a c 代入公式e c a 只需要根据一个条件得到关于a b c的齐次式 结合b2 a2 c2转化为a c的齐次式 然后等式 不等式 两边分别除以a或a2转化为关于e的方程 不等式 解方程 不等式 即可 得e e的取值范围 6 2017 课标 1 理 20 已知椭圆C 22 22 1 xy ab a b 0 四点P1 1 1 P2 0 1 P3 1 3 2 P4 1 3 2 中恰有三点在椭圆C上 1 求C的方程 2 设直线l不经过P2点且与C相交于A B两点 若直线P2A与直线P2B的斜率的和为 1 证明 l过定点 解析 试题解析 1 由于 3 P 4 P两点关于y轴对称 故由题设知C经过 3 P 4 P两点 又由 2222 1113 4abab 知 C不经过点P1 所以点P2在C上 因此 2 22 1 1 13 1 4 b ab 解得 2 2 4 1 a b 故C的方程为 2 2 1 4 x y 考点 椭圆的标准方程 直线与圆锥曲线的位置关系 名师点睛 椭圆的对称性是椭圆的一个重要性质 判断点是否在椭圆上 可以通过这一方 法进行判断 证明直线过定点的关键是设出直线方程 通过一定关系转化 找出两个参数之 间的关系式 从而可以判断过定点情况 另外 在设直线方程之前 若题设中为告知 则一 定要讨论直线斜率不存在和存在情况 接着通法是联立方程组 求判别式 韦达定理 根据 题设关系进行化简 7 2016 高考新课标 1 文数改编 直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点 若椭圆中心到 l 的距离为其短轴长的 则该椭圆的离心率为 1 4 答案 1 2 解析 试题分析 如图 由题意得在椭圆中 11 OFc OBb OD2bb 42 在Rt OFB 中 OF OB BF OD 且 222 abc 代入解得 22 a4c 所以椭圆得离心率得 1 e 2 考点 椭圆的几何性质 名师点睛 求椭圆或双曲线离心率是高考常考问题 求解此类问题的一般步骤是先列出等 式 再转化为关于a c的齐次方程 方程两边同时除以a的最高次幂 转化为关于e的方程 解 方程求e 8 2016 2016 高考新课标高考新课标 文数改编文数改编 已知O为坐标原点 F是椭圆C 22 22 1 0 xy ab ab 的左焦点 A B分别为C的左 右顶点 P为C上一点 且 PFx 轴 过点A的直线l与线段PF交于点M 与y轴交于点E 若直线BM经过OE的 中点 则C的离心率为 答案 1 3 解析 试题分析 由题意设直线l的方程为 yk xa 分别令xc 与0 x 得点 FMk ac OEka 由OBECBM 得 1 2 OE OB FMBC 即 2 c kaa k aac 整理 得 1 3 c a 所以椭圆离心率为 1 3 e 考点 椭圆方程与几何性质 思路点拨 求解椭圆的离心率问题主要有三种方法 1 直接求得 a c的值 进而求得 y x O B F D e的值 2 建立 a b c的齐次等式 求得 b a 或转化为关于e的等式求解 3 通过特殊值 或特殊位置 求出e 9 2016 高考北京文数 本小题 14 分 已知椭圆 C 22 22 1 xy ab 过点 A 2 0 B 0 1 两点 I 求椭圆 C 的方程及离心率 设 P 为第三象限内一点且在椭圆 C 上 直线 PA 与 y 轴交于点 M 直线 PB 与 x 轴交于 点 N 求证 四边形 ABNM 的面积为定值 答案 2 2 1 4 x y 3 2 e 见解析 解析 试题分析 根据两顶点坐标可知 a b 的值 则亦知椭圆方程 根据椭圆性质及离心率 公式求解 四边形A 的面积等于对角线乘积的一半 分别求出对角线 A 的值求乘积为定值即可 试题解析 I 由题意得 2a 1b 所以椭圆C的方程为 2 2 1 4 x y 又 22 3cab 所以离心率 3 2 c e a II 设 00 xy 0 0 x 0 0y 则 22 00 44xy 又 2 0A 0 1 所以 直线 A的方程为 0 0 2 2 y yx x 令0 x 得 0 0 2 2 y y x 从而 0 0 2 11 2 y y x 直线 的方程为 0 0 1 1 y yx x 令0y 得 0 0 1 x x y 从而 0 0 22 1 x x y A 所以四边形A 的面积 1 2 S A 00 00 21 21 212 xy yx 22 000000 0000 44484 222 xyx yxy x yxy 0000 0000 2244 22 x yxy x yxy 2 从而四边形A 的面积为定值 考点 椭圆方程 直线和椭圆的关系 运算求解能力 名师点睛 解决定值定点方法一般有两种 1 从特殊入手 求出定点 定值 定线 再 证明定点 定值 定线与变量无关 2 直接计算 推理 并在计算 推理的过程中消去变 量 从而得到定点 定值 定线 应注意到繁难的代数运算是此类问题的特点 设而不求方 法 整体思想和消元的思想的运用可有效地简化运算 10 2016 高考山东文数 本小题满分 14 分 已知椭圆C a b 0 的长轴长为 4 焦距为 2 2 2 2 2 1 2 I 求椭圆C的方程 过动点M 0 m m 0 的直线交x轴与点N 交C于点A P P在第一象限 且M是线段 PN的中点 过点P作x轴的垂线交C于另一点Q 延长线QM交C于点B i 设直线PM QM的斜率分别为k k 证明 为定值 ii 求直线AB的斜率的最小值 答案 22 1 42 xy i 见解析 ii 直线 AB 的斜率的最小值为 6 2 解析 试题分析 分别计算 a b即得 i 设 0000 0 0P xyxy 利用对称点可得 00 2 2 P xmQ xm 得到直线 PM 的斜率 直线 QM 的斜率 即可证得 ii 设 1122 A x yB xy 分别将直线 PA 的方程ykxm 直线 QB 的方程 3ykxm 与椭圆方程 22 1 42 xy 联立 应用一元二次方程根与系数的关系得到 21 xx 21 yy 及 AB k用k表示的式子 进一步应用 基本不等式即得 试题解析 设椭圆的半焦距为 c 由题意知24 22 2ac 所以 22 2 2abac 所以椭圆 C 的方程为 22 1 42 xy i 设 0000 0 0P xyxy 由 0 Mm 可得 00 2 2 P xmQ xm 所以 直线 PM 的斜率 00 2mmm k xx 直线 QM 的斜率 00 23 mmm k xx 此时 3 k k 所以 k k 为定值3 ii 设 1122 A x yB xy 直线 PA 的方程为ykxm 直线 QB 的方程为3ykxm 联立 22 1 42 ykxm xy 整理得 222 214240kxmkxm 由 2 01 2 24 21 m x x k 可得 2 1 2 0 22 21 m x kx 所以 2 11 2 0 22 21 k m ykxmm kx 同理 22 22 22 00 2262 181181 mk m xym kxkx 所以 2222 21 2222 000 2222322 1812118121 mmkm xx kxkxkkx 2222 21 2222 000 62228612 1812118121 k mmkkm yymm kxkxkkx 所以 2 21 21 6111 6 44 AB yyk kk xxkk 由 0 0 0mx 可知0k 所以 1 62 6k k 等号当且仅当 6 6 k 时取得 此时 2 6 6 48 m m 即 14 7 m 符号题意 所以直线 AB 的斜率的最小值为 6 2 考点 1 椭圆的标准方程及其几何性质 2 直线与椭圆的位置关系 3 基本不等式 名师点睛 本题对考生计算能力要求较高 是一道难题 解答此类题目 利用 a b c e的关 系 确定椭圆 圆锥曲线 方程是基础 通过联立直线方程与椭圆 圆锥曲线 方程的方程 组 应用一元二次方程根与系数的关系 得到参数的解析式或方程是关键 易错点是复杂式 子的变形能力不足 导致错漏百出 本题能较好的考查考生的逻辑思维能力 基本计算能力 分析问题解决问题的能力等 11 2015 高考新课标 1 理 14 一个圆经过椭圆 22 1 164 xy 的三个顶点 且圆心在x轴的 正半轴上 则该圆的标准方程为 答案 22 325 24 xy 解析 设圆心为 a 0 则半径为4a 则 222 4 2aa 解得 3 2 a 故圆的方 程为 22 325 24 xy 12 2015 高考安徽 理 20 设椭圆 E 的方程为 22 22 10 xy ab ab 点 O 为坐标原点 点 A 的坐标为 0a 点 B 的坐标为 0 b 点 M 在线段 AB 上 满足2BMMA 直线 OM 的斜率为 5 10 I 求 E 的离心率 e II 设点 C 的坐标为 0b N 为线段 AC 的中点 点 N 关于直线 AB 的对称点的纵坐标 为 7 2 求 E 的方程 解析 I 由题设条件知 点M的坐标为 21 33 ab 又 5 10 OM k 从而 5 210 b a 进 而得 22 5 2ab cabb 故 2 5 5 c e a II 由题设条件和 I 的计算结果可得 直线AB的方程为1 5 xy bb 点N的坐 标为 51 22 bb 设点N关于直线AB的对称点S的坐标为 1 7 2 x 则线段NS的中点 T的坐标为 1 517 4244 x bb 又点T在直线AB上 且1 NSAB kk 从而有 1 1 517 4244 1 5 71 22 5 5 2 x bb bb b b x 解得3b 所以3 5a 故椭圆E的方程为 22 1 459 xy 13 2015 高考重庆 理 21 如题 21 图 椭圆 22 22 10 xy ab ab 的左 右焦点分 别为 12 F F过 2 F的直线交椭圆于 P Q两点 且 1 PQPF F2F1 P Q y x O 1 若 12 22 22PFPF 求椭圆的标准方程 2 若 1 PFPQ 求椭圆的离心率 e 解析 1 由椭圆的定义 12 2 PF PF 22224aa 故 2 设椭圆 的半焦距为c 由已知 12 PFPF 因此 22 22 1 212 2 FF PF PF 22222 3c 即3c 从而 22 b1ac 故所求椭圆的标准方程为 2 2 y 1 4 x 2 解法一 如图 21 图 设点P 00 y x在椭圆上 且 12 PFPF 则 22 222 00 00 22 y 1 x xyc ab 求得 2 22 00 2 y cb xab ac 由 12 PF PF PQ 得 0 0 x 从而 2 2 2 2 222222222 1 PF 2 c2222 cb ababa abaab ac 由椭 圆的定义 1212 PF PF 2 QF QF 2aa 从而由 122 PF PQ PF QF 有 11 QF 42 PF a 又由 12 PFPF 1 PF PQ 知 11 QF 2 PF 因此 1 2 2 PF 4a 于是 22 2224 aaba 解得 2 14 1163 222 e 解法二 如图 21 图由椭圆的定义 1212 PF PF 2 QF QF 2aa 从而由 122 PF PQ PF QF 有 11 QF 42 PF a 又由 12 PFPF 1 PF PQ 知 11 QF 2 PF 因此 11 42 PF 2 PF a 1 PF 2 2 2 a 从而 21 PF 2 PF 2 2 2 2 21 aaaa 由 12 PFPF 知 22222 122 PF PF PF 2 4cc 因此 22 1222 PF PF 22 21 96 263 2 c e aa 14 2015 高考湖北 理 21 一种作图工具如图 1 所示 O是滑槽 AB 的中点 短杆ON可 绕O转动 长杆MN通过N处铰链与ON连接 MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动 且 1DNON 3MN 当栓子D在滑槽AB内作往复运动时 带动N绕O转动一周 D不动时 N也不动 M处的笔尖画出的曲线记为C 以O为原点 AB 所在的直线 为x轴建立如图 2 所示的平面直角坐标系 求曲线C的方程 设动直线l与两定直线 1 20lxy 和 2 20lxy 分别交于 P Q两点 若直线l总与 曲线C有且只有一个公共点 试探究 OQP 的面积是否存在最小值 若存在 求出该最 小值 若不存在 说明理由 BADO M N 解析 设点 0 2 D tt 00 N xyM x y 依题意 2MDDN 且 1DNON 所以 00 2 txyxt y 且 22 00 22 00 1 1 xty xy 即 0 0 22 2 txxt yy 且 0 2 0 t tx 由于当点 D 不动时 点N也不动 所以t不恒等于 0 于是 0 2tx 故 00 42 xy xy 代入 22 00 1xy 可得 22 1 164 xy 即所求的曲线C的方程为 22 1 164 xy x D O M N y 当直线l的斜率不存在时 直线l为4x 或4x 都有 1 448 2 OPQ S 当直线l的斜率存在时 设直线 1 2 l ykxmk 由 22 416 ykxm xy 消去y 可得 222 14 84160kxkmxm 因为直线l总与椭圆C有且只有一个公共点 所以 2222 644 14 416 0k mkm 即 22 164mk 又由 20 ykxm xy 可得 2 1212 mm P kk 同理可得 2 1212 mm Q kk 由原点O到直线PQ的 距离为 2 1 m d k 和 2 1 PQ PQkxx 可得 2 2 111222 222121214 OPQPQ mmm SPQ dmxxm kkk 将 代入 得 2 2 2 2 41 2 8 1441 OPQ k m S kk 当 2 1 4 k 时 2 22 412 8 8 1 8 4141 OPQ k S kk 当 2 1 0 4 k 时 2 22 412 8 8 1 1414 OPQ k S kk 因 2 1 0 4 k 则 2 0141k 2 2 2 14k 所以 2 2 8 1 8 14 OPQ S k 当且仅当0k 时取等号 所以当0k 时 OPQ S 的最小值为 8 15 2015 高考陕西 理 20 本小题满分 12 分 已知椭圆 22 22 1 xy ab 0ab 的 半焦距为c 原点 到经过两点 0c 0 b的直线的距离为 1 2 c I 求椭圆 的离心率 x D O M N y P Q II 如图 A 是圆 225 21 2 xy 的一条直径 若椭圆 经过A 两点 求椭圆 的方程 解析 I 过点 0c 0 b的直线方程为0bxcybc 则原点 到直线的距离 22 bcbc d a bc 由 1 2 dc 得 22 22abac 解得离心率 3 2 c a II 解法一 由 I 知 椭圆 的方程为 222 44xyb 1 依题意 圆心 2 1 是线段A 的中点 且 AB 10 易知 A 不与x轴垂直 设其 直线方程为 2 1yk x 代入 1 得 2222 1 4 8 21 4 21 40kxkkxkb 设 1122 y B y A xx则 22 1212 22 8 21 4 21 4 1 41 4 kkkb xxx x kk 由 12 4xx 得 2 8 21 4 1 4 kk k 解得 1 2 k 从而 2 12 82x xb 于是 2 2 2 121212 15 AB 1 410 2 22 xxxxx xb 由 AB 10 得 2 10 2 10b 解得 2 3b 故椭圆 的方程为 22 1 123 xy 解法二 由 I 知 椭圆 的方程为 222 44xyb 2 依题意 点A 关于圆心 2 1 对称 且 AB 10 设 1122 y B y A xx则 222 11 44xyb 222 22 44xyb 两式相减并结合 1212 4 y2 xxy 得 1212 4 80 xxyy 易知 A 不与x轴垂直 则 12 xx 所以A 的斜率 12 12 1 k 2 AB yy xx 因此A 直线方程为 1 2 1 2 yx 代入 2 得 22 4820 xxb 所以 12 4xx 2 12 82x xb 于是 2 2 2 121212 15 AB 1 410 2 22 xxxxx xb 由 AB 10 得 2 10 2 10b 解得 2 3b 故椭圆 的方程为 22 1 123 xy 2018 年高考命题预测 纵观 2017 各地高考试题 对椭圆的考查 重点考查椭圆的定义 标准方程 几何性质及直 线与椭圆的位置关系 高考中以选择题 填空 解答题的第一小题的形式考查椭圆的定义 标准方程及椭圆的几何性质 为容易题或中档题 以解答题的第二问的形式考查直线与椭圆 的位置关系 一般是难题 分值一般为 5 12 分 展望 2018 年高考 对椭圆的考查 仍重点 考查椭圆的定义 标准方程 几何性质及直线与椭圆的位置关系 仍以选择题 填空 解答 题的第一小题的形式考查椭圆的定义 标准方程及椭圆的几何性质 难度仍为容易题或中档 题 以解答题的第二问的形式考查直线与椭圆的位置关系 难度仍难题 分值保持在 5 12 分 在备战 2018 年高考中 要熟记椭圆的定义 会利用定义解决椭圆上一点与椭圆的焦点构 成的三角形问题 会根据题中的条件用待定系数法 定义法等方法求椭圆的标准方程 会根 据条件研究椭圆的几何性质 会用舍而不求思想处理直线与椭圆的位置关系 重点掌握与椭 圆有关的最值问题 定点与定值问题 范围问题的处理方法 注意题中向量条件的转化与向 量方法应用 2018 2018 年高考考点定位年高考考点定位 高考对椭圆的考查有三种主要形式 一是直接考查椭圆的定义与标准方程 二是考查椭圆的 几何性质 三是考查直线与椭圆的位置关系 从涉及的知识上讲 常平面几何 直线方程与 两直线的位置关系 圆 平面向量 函数最值 方程 不等式等知识相联系 字母运算能力 和逻辑推理能力是考查是的重点 考点考点 1 1 椭圆的定义与标准方程椭圆的定义与标准方程 备考知识梳理备考知识梳理 1 椭圆的定义 把平面内与两定点 12 F F的距离之和等于常数 大于 12 FF 的点的轨迹叫 做椭圆 这两个定点叫椭圆的焦点 两焦点之间的距离叫焦距 符号表述为 12 2PFPFa 12 2 aFF 注意 1 当 12 2 aFF 时 轨迹是线段 12 FF 2 当 12 2 aFF 时 轨迹不存在 2 椭圆的标准方程 1 焦点在x轴上的椭圆的标准方程为 22 22 1 0 xy ab ab 焦点 在y轴上的椭圆的标准方程为 22 22 1 0 yx ab ab 给定椭圆 22 22 1 0 0 xy mn mn 要根据 m n的大小判定焦点在那个坐标轴上 焦点在分母大的那个坐标轴上 2 椭圆中 a b c关系为 222 abc 规律方法技巧规律方法技巧 1 利用椭圆的定义可以将椭圆上一点到两焦点的距离进行转化 对椭圆上一点与其两焦点构 成的三角形问题 常用椭圆的定义与正余弦定理去处理 2 求椭圆的标准方程方法 1 定义法 若某曲线 或轨迹 上任意一点到两定点的距离之和为常数 常数大于两点之 间的距离 符合椭圆的定义 该曲线是以这两定点为焦点 定值为长轴长的椭圆 从而求 出椭圆方程中的参数 写出椭圆的标准方程 2 待定系数法 用待定系数法求椭圆标准方程 一般分三步完成 定性 确定它是椭圆 定位判定中心在原点 焦点在哪条坐标轴上 定量 建立关于基本量 a b c e的关系式 解出参数即可求出椭圆的标准方程 3 若若椭圆的焦点位置不定 应分焦点在x轴上和焦点在y轴上 也可设椭圆方程为 22 1 0 0 AxByAB 可避免分类讨论和繁琐的计算 考点针对训练考点针对训练 1 已知椭圆 22 22 1 xy C ab 0 ab 的焦距为 2 过 M 1 1 斜率为 2 3 直线l交曲线 C 于 A B且 M 是线段 AB 的中点 则椭圆C的标准方程为 答案 22 1 32 xy 解析 由题知 2c 2 c 1 即 22 1ab 设 A 11 x y 22 B xy 则 12 xx 2 12 yy 2 22 11 22 1 xy ab 22 22 22 1 xy ab 得 2222 1212 22 xxyy ab 12121212 22 xxxxyyyy ab 1212 22 2 2 xxyy ab 0 l k 12 12 yy xx 2 2 b a 2 3 由 解得 22 3 2ab 故椭圆 C 的标准方程为 22 1 32 xy 2 在直角坐标系中 O 为坐标原点 设直线l经过点 2 3 P 且与x轴交于点 F 2 0 求直线l的方程 如果一个椭圆经过点 P 且以点 F 为它的一个焦点 求椭圆的标准方程 解析 由于直线l经过点 2 3 P和 F 2 0 则根据两点式得 所求直线l的方 程为 23 2 02 0 xy 即 2 2 xy从而直线l的方程是 2 2 xy 设所求椭圆的标准方程为 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 由于一个焦点为 F 2 0 则4 2 22 bac即 又点 2 3 P在椭圆 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 上 则 1 29 22 ba 由 解得 8 12 22 ba所以所求椭圆的标准方程为1 812 22 yx 考点考点 2 2 椭圆的几何性质椭圆的几何性质 备考知识梳理备考知识梳理 1 椭圆的几何性质 焦点在x轴上焦点在y轴上 图形 标准方程 22 22 1 0 xy ab ab 22 22 1 0 yx ab ab 焦点 c 0 0 c 焦距 F1F2 2c c2 a2 b2 范围 x a y b x b y a 顶点长轴顶点 a 0 短轴顶点 0 b 长轴顶点 0 a 短轴顶点 b 0 对称性曲线关于x轴 y轴 原点对称曲线关于x轴 y轴 原点对称 离心率 e 0 1 其中c c aa2 b2 2 点 00 P xy与椭圆 22 22 1 xy ab 关系 1 点 00 P xy在椭圆内 22 00 22 1 xy ab 2 点 00 P xy在椭圆上 22 00 22 1 xy ab 3 点 00 P xy在椭圆外 22 00 22 1 xy ab 规律方法技巧规律方法技巧 1 求解与椭圆性质有关的问题时要结合图像进行分析 即使不画图形 思考时也要联想到图 像 当涉及到顶点 焦点 长轴 短轴等椭圆的基本量时 要理清它们之间的关系 挖掘出 它们之间的内在联系 2 椭圆取值范围实质实质是椭圆上点的横坐标 纵坐标的取值范围 在求解一些最值 取值 范围以及存在性 判断性问题中有着重要的应用 3 求离心率问题 关键是先根据题中的已知条件构造出 a b c的等式或不等式 结合 222 abc 化出关于 a c的式子 再利用 c e a 化成关于e的等式或不等式 从而解出 e的值或范围 离心率e与 a b的关系为 222 2 22 cab e aa 2 2 1 b a 2 1 b e a 4 椭圆上一点到椭圆一个焦点的距离的取值范围为 ac ac 4 椭圆的通径 过焦点垂直于焦点所在对称轴的直线被椭圆截得的弦叫通径 长度为 2 2b a 是过椭圆焦点的直线被椭圆所截得弦长的最小值 考点针对训练考点针对训练 1 椭圆 22 1 167 xy 上横坐标为 2 的点到右焦点的距离为 答案 5 2 解析 横坐标为 2 的点到右焦点的距离为 2 35 2 242 42 a eae c 2 椭圆 22 22 1 0 xy Cab ab 的左焦点为F 若F关于直线30 xy 的对称点A是 椭圆C上的点 则椭圆C的离心率为 答案 31 解析 设 0 Fc 关于直线30 xy 的对称点A的坐标为 m n 则 3 1 30 22 n mc mcn 所以 2 c m 3 2 c n 将其代入椭圆方程可得 22 22 3 44 1 cc ab 化 简可得 42 840ee 解得31e 考点考点 3 3 直线与椭圆的位置关系直线与椭圆的位置关系 备考知识梳理备考知识梳理 直线方程与椭圆方程联立 消元后得到一元二次方程 若判别式 0 则直线与椭圆交 若 0 则直线与椭圆相切 若 0 则直线与椭圆相离 规律方法技巧规律方法技巧 1 直线方程与椭圆方程联立 消元后得到一元二次方程 则一元二次方程的根是直线和椭 圆交点的横坐标或纵坐标 常设出交点坐标 用根与系数关系将横坐标之和与之积表示出来 这是进一步解题的基础 2 直线y kx b k 0 与圆锥曲线相交于A x1 y1 B x2 y2 两点 则弦长 AB x1 x2 y1 y2 1 k21 k2 x1 x2 2 4x1x2 1 1 k2 1 1 k2 y1 y2 2 4y1y2 3 对中点弦问题常用点差法和参数法 考点针对训练考点针对训练 1 已知椭圆C的两个焦点分别为 1 1 0 F 2 1 0 F 短轴的两个端点分别为 12 B B 若 112 FB B 为等边三角形 求椭圆C的方程 若椭圆C的短轴长为2 过点 2 F 的直线l与椭圆C相交于 P Q 两点 且 11 FPFQ 求 直线l的方程 解析 设椭圆C的方程为 22 22 1 0 xy ab ab 根据题意知 22 2 1 ab ab 解得 2 4 3 a 2 1 3 b 故椭圆C的方程为 22 1 41 33 xy 容易求得椭圆C的方程为 2 2 1 2 x y 当直线l的斜率不存在时 其方程为1x 不 符合题意 当直线的斜率存在时 设直线l的方程为 1 yk x 由 2 2 1 1 2 yk x x y 得 2222 21 42 1 0kxk xk 设 1122 P x yQ xy 则 2 8 1 0k 对任意 xR 都成立 22 1212111122 22 42 1 1 1 2121 kk xxx xFPxyFQxy kk 因为 11 FPFQ 所以 11 0FP FQ 即 2 1212121212 1 1 1 1 1 xxy yx xxxkxx 222 1212 1 1 1kx xkxxk 2 2 71 0 21 k k 解得 2 1 7 k 即 7 7 k 故直线l的方程为710 xy 或710 xy 2 在平面直角坐标系xOy中 设点 4 P x y M x 以线段PM为直径的圆经过原 点O 求动点P的轨迹W的方程 过点 0 4 E 的直线l与轨迹W交于两点 A B 点A关于y轴的对称点为 A 试判 断直线 A B是否恒过一定点 并证明你的结论 解析 由题意可得OPOM 所以0OP OM 即 4 0 x y x 即 2 40 xy 即动点P的轨迹W的方程为 2 4xy 设直线l的方程为4ykx 1122 A x yB xy 则 11 Ax y 由 2 4 4 ykx xy 消 y整理得 2 4160 xkx 则 2 16640k 即 2k 1212 4 16xxk x x 直线 21 22 21 yy A B yyxx xx 21 22 21 yy yxxy xx 22 2 21 22 12 1 4 4 xx yxxx xx 2 2 212122112 2 1 y 44444 xxxx xxxx x yxxx 即 21 4 4 xx yx 所以 直线 A B恒过定点 0 4 两年模拟详解析两年模拟详解析 1 镇江市 2017 届高三年级第一次模拟 已知椭圆 01 22 nm n y m x 的左 右焦点 分别为 21 FF P是以椭圆短轴为直径的圆上任意一点 则 21 PFPF 答案 2n m 解析 mnnmncbOFPOPFPF 2 22 2 1 2 21 2 2017 年高考原创押题预测卷 01 江苏卷 已知椭圆 22 22 10 xy ab ab 的左 右焦 点分别为 1 F 2 F 过 1 F且与x轴垂直的直线交椭圆于A B两点 直线 2 AF与椭圆的另一 个交点为C 若 22 20AFCF 则椭圆的离心率为 答案 5 5 解析 设椭圆的左 右焦点分别为 12 0 0 FcF c 将x c 代入椭圆方程可得 2 b y a 故可设 2 00 b AcC xy a 由 22 20AFCF 可得 22 2AFF C 即有 2 00 2 2 b cxcy a 即 2 222 2 b cxcy a 可得 2 00 2 2 b xc y a 代入椭圆方程可得 22 22 4 1 4 cb aa 由 222 c ebac a 即有 2 2 1 41 4 e e 解得 2 1 5 e 故 5 5 e 3 苏北三市 连云港 徐州 宿迁 2017 届高三年级第三次调研考试 如图 在平面直 角坐标系中 已知椭圆 的左 右顶点分别为 过右焦点的 直线 与椭圆交于 两点 点在轴上方 1 若 求直线 的方程 2 设直线 的斜率分别为 是否存在常数 使得 若存在 求出的值 若不存在 请说明理由 答案 1 2 解析 解 1 因为 所以 所以的坐标为 1 0 设 直线 的方程为 代入椭圆方程 得 则 若 则 解得 故直线 的方程为 2 由 1 知 所以 所以 故存在常数 使得 4 2016 2017 学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研 二 已知椭圆C 22 22 1 xy ab 0ab 的左焦点为 1 0F 左准线方程为2x 1 求椭圆C的标准方程 2 已知直线l交椭圆C于A B两点 若直线l经过椭圆C的左焦点F 交y轴于点P 且满足PAAF uu ruuu r PBBF uuruu u r 求证 为定值 若OAOB O为原点 求AOBV面积的取值范围 答案 1 2 解析 解 1 由题设知 2 由题设知直线 的斜率存在 设直线 的方程为 则 设 直线 代入椭圆得 整理得 由 知 定值 当直线 分别与坐标轴重合时 易知的面积 当直线 的斜率均存在且不为零时 设 设 将代入椭圆 得到 同理 的面积 令 令 则 综上所述 5 南京市 盐城市 2017 届高三年级第一次模拟 本小题满分 14 分 在平面直角坐标系 xOy 中 已知圆 222 O xyb 经过椭圆 22 2 1 4 xy E b 02 b 的焦 点 1 求椭圆E的标准方程 2 设直线 l ykxm 交椭圆E于 P Q 两点 T为弦 PQ的中点 1 0 1 0 MN 记直线 TM TN 的斜率分别为 12 k k 当 22 221mk 时 求 12 k k 的值 答案 22 1 42 xy 1 2 解析 解 1 因0 2b 所以椭圆E的焦点在x轴上 l T P O y x Q 第 17 题图 又圆 222 O xyb 经过椭圆E的焦点 所以椭圆的半焦距c b 3 分 所以 2 24b 即 2 2b 所以椭圆E的方程为 22 1 42 xy 6 分 2 方法一 设 11 P x y 22 Q xy 00 T xy 联立 22 1 42 xy ykxm 消去 y 得 222 12 4240kxkmxm 所以 12 2 4 12 km xx k 又 22 221mk 所以 12 xx 2k m 所以 0 k x m 0 1 2 k ymk mm 10 分 则 12 2222 11 111 22 442 22 2 11 mm kk kk kmmk mm 14 分 方法二 设 11 P x y 22 Q xy 00 T xy 则 22 11 22 22 1 42 1 42 xy xy 两式作差 得 12121212 0 42 xxxxyyyy 又 120 2xxx 120 2yyy 012 012 0 2 xxx yyy 012 0 12 0 2 yyyx xx 又 11 P x y 22 Q xy 在直线 ykxm 上 12 12 yy k xx 00 20 xky 又 00 T xy 在直线 ykxm 上 00 ykxm 由 可得 0 2 2 12 km x k 0 2 12 m y k 10 分 以下同方法一 6 镇江市 2017 届高三年级第一次模拟 已知椭圆 01 2 2 2 2 ba b y a x C的离心率为 2 3 且点 2 1 3 在椭圆C上 1 求椭圆C的标准方程 2 若直线l交椭圆C于QP 两点 线段PQ的中点为H O为坐标原点 且1 OH 求POQ 面积的最大值 答案 2 2 1 4 x y 1 解析 解 1 由已知得 3 2 c a 22 1 3 4 1 ab 解得 2 4a 1 2 b 2 分 椭圆C的方程是 2 2 1 4 x y 4 分 2 设 l 与 x 轴的交点为 0 D n 直线 l xmyn 与椭圆交点为 11 P x y 22 Q xy 联立 xmyn 2 2 1 4 x y 得 222 4 240mymnyn 222 1 2 2 2 2 4 4 4 2 4 mnmnmn y m 12 2 24 yymn m 2 12 2 4 4 n y y m 1212 2 24 224 xxm yynn m 即 22 4 44 nmn H mm 6 分 由 1OH 得 22 2 2 4 16 m n m 10 分 则 S POQ 1212 11 22 OD yynyy 令 2 2222 121212 22 4 4 12 16 16 m Tnyynyyy y m 12 分 设 2 4 4 tm t 则 2 222 411 144 16 2414448 24 mt mtt t t 14 分 当且仅当 144 t t 即 12t S POQ 1 15 分 所以 POQ 面积的最大值为 1 16 分 7 2017 年第二次全国大联考江苏卷 本小题满分 16 分 已知椭圆 22 22 10 xy Cab ab 的离心率为 3 2 焦点到相应准线的距离为 3 3 1 求椭圆C的方程 2 若 P Q 为椭圆C上两不同点 线段 PQ的中点为M 当三角形OPQ面积等于1时 求 OM 的取值范围 解析 解 1 设椭圆C的焦距为2c 0 c 则 2 22 33 2 3 1 23 ca cacbac ac 因此椭圆方程为 2 2 1 4 x y 4 分 2 若直线 PQ垂直x 轴 则由 2 222 1 2 1 1 122 0 24 P PPPPMM x xyxxxy 即 2 OM 6 分 若直线 PQ不垂直x 轴 设直线 1122 0 PQ ykxm mP x yQ xy 由 22 44 ykxm xy 得 222 14 8440kxkmxm 所以 2 1212 22 844 0 1414 kmm xxx x kk 8 分 因此 22 2 12 2 2 11 14 1 2 2214 1 OPQO PQ mmkm SdPQkxx k k 2222 2 14 1 14 mkm k 当且仅当 2222 14 142mkmkm 时取等号 12 分 此时 22 12 2 4221 2142 MMM xxkmkkm xykxm kmmm 因此 22 222 161833 2 444 km OM mmm 222 1 142 2 kmm 2 2 2 OM 综合 得 OM 的取值范围为 2 2 2 16 分 8 2017 年第三次全国大联考江苏卷 本小题满分 16 分 已知椭圆 22 22 10 xy Cab ab 的离心率为 3 2 上 下顶点分别为 0 1 0 1 BC P为直线 2y 上一个动点 与 y 轴交点除外 直线PC交椭圆于另一个点 M 1 求椭圆方程 2 若直线 MB PB 的斜率分别为 12 k k 求证 12 k k 为定值 3 求PB PM 的取值范围 解析 1 由题意得 3 12 2 c ba a 因此椭圆方程 为 2 2 1 4 x y 2 分 2 设 112 2 M x yP x 则 1 12 11y xx 因此 2 1111 12 2 12111 11 3 1 13 3 yyyy k k xxxxx 因为 2 2 1 1 1 4 x y 所以 2 2 1 112 3 1 44 x yk k 为定值 8 分 3 由 2 得 11 212121211 11 3 2 3 2 11 xx PB PMxxxyxxxyx yy 22 111 1111 11111 4 1 4 1 11 3 2 1 3 2 1 3 2 4 1 11111 xyy yyyy yyyyy 11 1 8 3 2 6 1 yy y 因为 1 2 11 88 6 10 1 1 y yy 且 1 11y 所 以 9 PB PM 16 分 9 2017 年第一次全国大联考江苏卷 本小题满分 16 分 如图 在平面直角坐标系 xOy 中 设椭圆 22 22 10 xy ab ab 的左 右焦点分别为 12 F F 右顶点为A 上顶点为 B 离心率为e 椭圆上一点C满足 C在x轴上方 且 1 CFx 轴 1 若OC AB 求e的值 2 连结 2 CF 并延长交椭圆于另一点D 若 12 22 e 求 2 2 CF F D 的取值范围 解析 1 设椭圆 22 22 10 xy ab ab 的焦距为2c 因为 1 CFx 轴 则可设 00 0Cc yy 因为C在椭圆上 所以 22 0 22 1 yc ab 解得 2 0 b y a 即 2 b Cc a 2 分 因为OC AB 所以 2 OCAB bb kk aca 即b c 4 分 所以 22 2 2 cc e a bc 6 分 2 设 11 D x y 22 CFF D 由 1 知 2 b Cc a 又 2 0Fc 故 2 2 2 b CFc a 21