【创新设计】（浙江专用）2014届高考数学总复习 第14篇 第4讲 不等式的证明及著名不等式限时训练 理

1 第第 4 4 讲讲 不等式的证明及著名不等式不等式的证明及著名不等式 分层 A 级 基础达标演练 时间 40 分钟 满分 80 分 1 已知x 0 求函数y x 1 x2 的最大值 解 y x 1 x2 y2 x2 1 x2 2 2x2 1 x2 1 x2 2x2 1 x2 1 x2 2 1 2 y2 3 1 2 2x2 1 x2 1 x2 3 4 27 当且仅当 2x2 1 x2 即x 时取等号 3 3 y y的最大值为 2 3 9 2 3 9 2 设a b c为正数 且a b c 1 求证 9 1 a 1 b 1 c 证明 法一 构造两组数 abc 1 a 1 b 1 c 因此根据柯西不等式有 2 2 2 abc 1 a 2 1 b 2 1 c 2 2 a 1 a b 1 b c 1 c 即 a b c 32 9 1 a 1 b 1 c 当且仅当 即a b c时取等号 a 1 a b 1 b c 1 c 又a b c 1 所以 9 1 a 1 b 1 c 法二 a b c均为正数 1 a b c 3 3 abc 又 3 1 a 1 b 1 c 3 1 abc 3 3 abc 1 3 3 9 1 a 1 b 1 c 1 3 abc 3 abc 即 9 1 a 1 b 1 c 2 3 设x y z R 若x2 y2 z2 4 求x 2y 2z的最小值 并求此时的x y z值 解 x 2y 2z 2 x2 y2 z2 12 2 2 22 4 9 36 x 2y 2z最小值 为 6 此时 x 1 y 2 z 2 又 x2 y2 z2 4 x y z 2 3 4 3 4 3 4 已知a b c 1 m a2 b2 c2 求m的最小值 解 法一 a b c 1 a2 b2 c2 2ab 2bc 2ac 1 又 a2 b2 2ab a2 c2 2ac b2 c2 2bc 2 a2 b2 c2 2ab 2ac 2bc 1 a2 b2 c2 2ab 2bc 2ac 3 a2 b2 c2 a2 b2 c2 1 3 当且仅当a b c时 取等号 mmin 1 3 法二 利用柯西不等式 12 12 12 a2 b2 c2 1 a 1 b 1 c a b c 1 a2 b2 c2 当且仅当a b c时 等号成立 1 3 mmin 1 3 5 已知x 2y 3z 1 求x2 y2 z2的最小值 解 由柯西不等式 有 x2 y2 z2 12 22 32 x 2y 3z 2 1 x2 y2 z2 1 14 当且仅当 时取等号 x 1 y 2 z 3 即x y z 时 x2 y2 z2取最小值 1 14 1 7 3 14 1 14 6 2010 辽宁 已知a b c均为正数 证明 a2 b2 c2 2 6 并确定 1 a 1 b 1 c 3 a b c为何值时 等号成立 解 a b c均为正数 由均值不等式得 3 a2 b2 c2 3 abc 2 3 3 abc 1 a 1 b 1 c 1 3 2 9 abc 1 a 1 b 1 c 2 3 故a2 b2 c2 2 3 abc 9 abc 1 a 1 b 1 c 2 3 2 3 又 3 abc 9 abc 2 6 2 3 2 3273 原不等式成立 当且仅当a b c时 式和 式等号成立 当且仅当 3 abc 9 abc 时 式 2 3 2 3 等号成立 即当且仅当a b c 3 时 原式等号成立 1 4 7 已知x y z R 且x y z 1 求证 36 1 x 4 y 9 z 证明 法一 代入法 x y z x y z x y z 1 x 4 y 9 z 1 x 4 y 9 z 14 y x 4x y z x 9x z 4z y 9y z 14 4 6 12 36 当且仅当y 2x z 3x 即x y z 时 等号成立 1 6 1 3 1 2 法二 利用柯西不等式 由于 x y z 1 x 4 y 9 z 2 36 x 1 x y 2 y z 3 z 所以 36 1 x 4 y 9 z 当且仅当x2 y2 z2 即x y z 时 等号成立 1 4 1 9 1 6 1 3 1 2 8 2011 浙江三校调研 若正数a b c满足a b c 1 求 的最 1 3a 2 1 3b 2 1 3c 2 小值 解 因为正数a b c满足a b c 1 4 所以 3a 2 3b 2 3c 2 1 1 1 2 1 3a 2 1 3b 2 1 3c 2 即 1 1 3a 2 1 3b 2 1 3c 2 当且仅当 3a 2 3b 2 3c 2 即a b c 时 原式取最小值 1 1 3 分层 B 级 创新能力提升 1 已知a b R 且a b 1 求 2的最大值 4a 14b 1 解 2 1 1 2 12 12 2 2 4a 14b 14a 14b 14a 14b 1 2 4 a b 2 2 4 1 2 12 故所求最大值为 12 2 2013 镇江中学二模 已知a b都是正实数 且ab 2 求证 1 2a 1 b 9 证明 法一 因为a b都是正实数 且ab 2 所以 2a b 2 4 2ab 所以 1 2a 1 b 1 2a b 2ab 9 法二 因为a b都是正实数 所以由柯西不等式可知 1 2a 1 b 12 2 12 2 1 2 2ab2ab 又ab 2 所以 1 2 9 所以 1 2a 1 b 9 2ab 法三 因为ab 2 所以 1 2a 1 b 1 2a 5 2 1 2 a a 1 a 因为a为正实数 所以a 2 2 1 a a 1 a 所以 1 2a 1 b 9 法四 因为a b都是正实数 所以 1 2a 1 b 1 a a 3 3 9 1 b 2 b 2 3 a2 3 b2 4 3 a2b2 4 又ab 2 所以 1 2a 1 b 9 3 2012 宁波模拟 已知an n N 求 1 22 33 4n n 1 证 ann n n 1 n2 nn n 1 an 1 2 3 n 1 22 3n n 1 n n 1 2 an 2 3 n n 1 n n 1 2 1 2 2 2 3 2 3 4 2 n n 1 2 1 2 5 n n 1 2 n n 2 2 综上得 an0 b 0 1 求证 9 a b 1 a a2 1 b 1 a2 2 求 5 2a 2 4b2 a b 2的最小值 1 证明 因为a 0 b 0 所以a b 3 3 0 1 a 3 a b 1 a 3 b 同理可证 a2 3 0 1 b 1 a2 3 1 b 由 及不等式的性质 得 6 3 3 9 a b 1 a a2 1 b 1 a2 3 b 3 1 b 2 解 5 2a 2 4b2 a b