【龙门亮剑】2011高三数学一轮课时 第六章 第三节 不等式的证明提能精练 理（全国版）

本栏目内容 学生用书中以活页形式单独装订成册 一 选择题 每小题 6 分 共 36 分 1 设 a lg 2 lg 5 b ex x 0 则 a 与 b 大小关系为 A a b B a b C a b D a b 解析 a lg 2 lg 5 lg10 1 而 b ex e0 1 故 a b 答案 A 2 设 x y z 0 a x b y c z 则 a b c 三数 1 y 1 z 1 x A 至少有一个不大于 2 B 都小于 2 C 至少有一个不小于 2 D 都大于 2 解析 a b c x y z 6 1 y 1 z 1 x 因此 a b c 至少有一个不小于 2 答案 C 3 用分析法证明 欲使 A B 只需 C D 这里 是 的 A 充分条件 B 必要条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 解析 分析法证明的本质是证明结论的充分条件成立 即 所以 是 的必 要条件 答案 B 4 设 a 0 b 0 且 a b 4 则有 A B 2 1 ab 1 2ab C 1 D 1 a 1 b 1 a b 1 4 解析 1 1 a 1 b a b ab a b f a b 2 2 4 a b 4 4 答案 C 5 2010 年邯郸模拟 设 a b 是两个实数 给出下列条件 a b 1 a b 2 a b 2 a2 b2 2 ab 1 其中能推出 a b 中至少有一个大于 1 的条件是 A B C D 解析 若 a b 则 a b 1 1 2 2 3 但 a 1 b 1 故 推不出 若 a b 1 则 a b 2 故 推不出 若 a 2 b 3 则 a2 b2 2 故 推不出 若 a 2 b 3 则 ab 1 故 推不出 对于 即 a b 2 则 a b 中至少有一个大于 1 反证法 假设 a 1 且 b 1 则 a b 2 与 a b 2 矛盾 因此假设不成立 a b 中至少有一个大于 1 答案 C 6 若 log2 x log3 y log5 z 0 则 x y z 之间的大小关系是 1 2 1 3 1 5 A y x z B x y z 1 3 1 2 1 5 1 2 1 3 1 5 C z y x D x z y 1 5 1 3 1 2 1 2 1 5 1 3 解析 令 log2 x log3 y log5 z t t 0 x t y t z t 1 2 1 3 1 5 lg x tlg 2 lg y tlg 3 lg z tlg 5 1 2 1 2 1 3 1 3 1 5 1 5 lg x lg y t lg tlg 0 1 2 1 3 3 3 2 6 9 8 lg z lg x t lg tlg 0 1 5 1 2 2 5 5 10 32 25 f x lg x 为增函数 z x y 1 5 1 2 1 3 答案 A 二 填空题 每小题 6 分 共 18 分 7 若 x 1 则 x 与 ln x 的大小关系是 解析 令 f x x ln x 则 f x 1 1 x x 1 x x 1 0 x 1 x f x 在 1 上是增函数 f x f 1 1 0 即 x ln x 0 x ln x 答案 x ln x 8 2010 年德州模拟 凸函数的性质定理为 如果函数 f x 在区间 D 上是凸函数 则对于 区间 D 内的任意 x1 x2 xn 有 f 已知函数 f x1 f x2 f xn n x1 x2 xn n y sinx 在区间 0 上是凸函数 则在 ABC 中 sinA sinB sinC 的最大值为 解析 f x sinx 在区间 0 上是凸函数 且 A B C 0 f f f A f B f C 3 A B C 3 3 即 sinA sinB sinC 3sin 3 3 3 2 所以 sinA sinB sinC 的最大值为 3 3 2 答案 3 3 2 9 实数 x y 满足 x y 则 x 的取值范围是 x y 解析 由 x y 得 y2 x y x 0 x y y 是实数 x2 4x 0 解得 x 0 或 x 4 又当 x 0 时 x y 不成立 x y x 0 4 答案 0 4 三 解答题 10 11 每题 15 分 12 题 16 分 共 46 分 10 2008 年青岛模拟 若 a b c 均为正数 求证 a b c b a c c a b 3 2 证明 欲证 a b c b a c c c b 3 2 只要证 1 1 1 a b c b a c c a b 9 2 只要证 a b c b c a b c a c a b c a b 9 2 只要证 a b c 1 b c 1 a c 1 a b 9 2 a b c 1 b c 1 a c 1 a b b c a c a b 1 2 1 b c 1 a c 1 a b 3 3 1 2 3 b c a c a b 3 1 b c a c a b 9 2 故原不等式成立 11 已知 1 x2 y2 2 求证 x2 xy y2 3 1 2 证明 1 x2 y2 2 可设 x rcos y rsin 其中 1 r 0 2 2 x2 xy y2 r2 r2sin cos r2 1 1 2sin 2 1 sin2 1 2 1 2 3 2 r2 r2 r2 1 2 1 1 2sin2 3 2 而 r2 1 r2 3 1 2 1 2 3 2 3 2 x2 xy y2 3 1 2 12 2010 年黄冈模拟 1 设 x 是正实数 求证 x 1 x2 1 x3 1 8x3 2 若 x R 不等式 x 1 x2 1 x3 1 8x3是否仍然成立 如果成立 请给出证明 如果不成立 请举出一个使它不成立的 x 的值 解析 1 证明 x 是正实数 由基本不等式知 x 1 2 1 x2 2x x3 1 2 xx3 故 x 1 x2 1 x3 1 2 2x 2 8x3 当且仅当 x 1 时等号成立 xx3 2 若 x