FIR数字滤波器的设计

数字信号数字信号处处理理课课程程设计报设计报告告 题题 目 目 FIRFIR 数字滤波器的设计数字滤波器的设计 学学 院 院 专专 业 业 班班 级 级 姓姓 名 名 学学 号 号 指导教师 指导教师 20122012 年年 0606 月月 2424 目目 录录 1 1 课程设计的目的及意义课程设计的目的及意义 1 2 FIR2 FIR 数字滤波器的理论基础数字滤波器的理论基础 1 2 12 1 FIRFIR 数字滤波器的基本原理和结构数字滤波器的基本原理和结构 2 2 22 2 FIRFIR 滤波器的性能指标和性质滤波器的性能指标和性质 3 2 2 12 2 1 FIRFIR 滤波器的性能滤波器的性能 3 2 2 22 2 2 FIRFIR 滤波器的性质滤波器的性质 5 2 32 3 FIRFIR 数字滤波器的设计方法数字滤波器的设计方法 8 3 MATLAB3 MATLAB 概述概述 10 4 FIE4 FIE 数字滤波器的设计具体内容数字滤波器的设计具体内容 11 4 14 1 FIRFIR 数字滤波器的设计内容数字滤波器的设计内容 11 4 2 设计步骤设计步骤 11 4 34 3 具体程序清单具体程序清单 12 5 5 结论结论 14 参考书目参考书目 15 1 1 1 课程设计的目的及意义课程设计的目的及意义 通过本课程设计 主要训练和培养我们的以下能力 1 训练和培养学生查阅资料 搜集与本设计有关部门的资料 包括从已 发表的文献中和从生产现场中搜集 的能力 2 方案的选择 树立既考虑技术上的先进性与可行性 又考虑经济上的 合理性 并注意提高分析和解决实际问题的能力 3 迅速准确的进行工程计算的能力 计算机应用能力 4 用简洁的文字 清晰的图表来表达自己设计思想的能力 2 FIR2 FIR 数字滤波器的理论基础数字滤波器的理论基础 数字滤波是数字信号处理的基本方法 而数字滤波器是数字信号处理中最 重要的组成部分之一 几乎出现在所有的数字信号处理系统中 数字滤波器大 略可分为有限冲激响应型 FIR 和无限冲激响应型 IIR 两类 可用硬件和软件 两种方式实现 FIR 滤波器是一种常用的滤波器 能实现各种各样的功能 诸 如低通滤波 带通滤波 抗混叠 抽样和内插等 在设计任意幅频特性的同时 能够保证严格的线性相位特性 因此 它在图像处理以及数据传输 无线通信 等数字信号处理中有着广泛的应用 数字信号处理是把信号用数字或符号表示的序列 通过计算机或者通用 专用 信号处理设备 用数字的数值计算方法处理 例如滤波 变换 压缩 增强 估计 识别等 以达到提取有用信息便于应用的目的 有限长单位冲激响应 FIR 数字滤波器可以做成具有严格的线性相位 同 时又可以具有任意的幅度特性 此外 FIR 滤波器的单位抽样响应是有限长的 因而滤波器一定是稳定的 再有 只要经过一定的延时 任何非因果有限长序 列都能变成因果有限长序列 因而总能用因果系统来实现 最后 FIR 滤波器 由于单位冲激响应是有限长的 因而可以用快速傅里叶变换算法来实现过滤信 号 从而可大大提高运算的效率 FIR 滤波器单位冲激响应h n 的特点 其单位冲激响应h n 是有限长 系统函数为 2 1 1 0 N n n H zh n z 2 在有限Z平面有 N 1 个零点 而它的 N 1 个极点均位于原点z 0 处 1 2 1 FIR 数字滤波器的基本原理和结构 设 h n n 0 1 2 N 一 1 为滤波器的冲激响应 输入信号为 x n 则滤波器 FIR 就是要实现差分方程 2 2 公式 2 2 就是 FIR 滤波器的差分方程 N 为滤波器的阶数 它的单位脉冲响应 h n 是一个有限长序列 由上面的方程可见 FIR 滤波算法实际上是一种乘法 累加运算 它不断地输入样本 x n 经延时 z 1 做乘法累加 再输出滤波 结果 y n 对公式 2 2 进行 z 变换 整理后可得 FIR 滤波器的传递函数为 2 3 从公式 2 3 可以看出 FIR 滤波器的一般结如图 2 1 所示 图 2 1 FIR 滤波器的结构图 由公式 2 2 公式 2 3 可见 H z 为 z 1 的 N 1 阶多项式 它在 z 平面上 有 N 1 个零点并在原点 z 0 处有 N 1 重极点 故 H z 永远为稳定系统 若h n 呈现对称特性 即此 FIR 滤波器具有线性相位 则可以简化加横截型结构 下 面分情况讨论 所以 FIR 滤波器具有如下特点 给 h n 附加一定条件就可以实现严格的线性相位特性 FIR 滤波器的稳定性 在设计过程中不必考虑系统的稳定性问题 由于 h n 为有限长 便于采用 FFT 进行系统运算 运算效率高 FIR 滤波器的阶数由 h n 的长度决定 所以一个具有良好的幅频特性的 FIR 滤波器的阶数往往都比较高 3 图 2 2 N为奇数时线形相位 FIR 滤波器实现结构 图 2 3 N为偶数时线性相位 FIR 滤波器实现结构 2 2 FIR 滤波器的性能指标和性质 2 2 1 FIR 滤波器的性能 我们在进行滤波器设计时 需要确定其性能指标 一般来说 滤波器的性 能要求往往以频率响应的幅度特性的允许误差来表征 以低通滤波器特性为例 频率响应有通带 过渡带及阻带三个范围 在通带内 1 AP H ej 1 c 在阻带中 H ej Ast st c 其中 c 为通带截止频率 st为阻带截止频率 Ap为通带误差 Ast为阻 带误差 与模拟滤波器类似 数字滤波器按频率特性划分为低通 高通 带通 带 阻 全通等类型 由于数字滤波器的频率响应是周期性的 周期为 2 各种 理想数字滤波器的幅度频率响应如图所示 4 图 2 5 各种理想数字滤波器的幅度频率响应 图 2 4 低通滤波器频率响应 幅度特性的容限图 5 2 2 2 FIR 滤波器的性质 如果 FIR 滤波器的单位抽样响应h n 为实数 而且满足以下任一条件 偶对称h n h N 1 n 奇对称h n h N 1 n 其对称中心在n N 1 2 处 则滤波器具有准确的线性相位 窗函数设计法 一般是先给定所要求的理想滤波器频率响应 由导出 j d He j d He d h n 我们知道理想滤波器的冲击响应是无限长的非因果序列 而我们要设计的 d h n 是是有限长的 FIR 滤波器 所以要用有限长序列来逼近无限长序列 d h n d h n 设 d h n 2 4 1 2 jj dd h nHee d 常用的方法是用有限长度的窗函数w n 来截取 即 2 5 d h nn h n 这里窗函数就是矩形序列RN n 加窗以后对理想低通滤波器的频率响应将产生 什么样的影响呢 根据在时域是相乘关系 在频域则是卷积关系 2 6 1 2 jjj dR H eHeW ed 其中 为矩形窗谱 是 FIR 滤波器频率响应 j H e 通过频域卷积过程看的幅度函数H 的起伏现象 可知 加窗处理 后 对理想矩形的频率响应产生以下几点影响 1 使理想频率特性不连续点处边沿加宽 形成一个过渡带 其宽度等于窗 的频率响应的主瓣宽度 2 在截止频率的两边的地方即过渡带的两边 出现最大的肩峰值 肩峰的 两侧形成起伏振荡 其振荡幅度取决于旁瓣的相对幅度 而振荡的多少 则取 决于旁瓣的多少 3 改变N 只能改变窗谱的主瓣宽度 改变 的坐标比例以及改变的绝对 6 值大小 但不能改变主瓣与旁瓣的相对比例 此比例由窗函数的形状决定 4 对窗函数的要求 a 窗谱主瓣尽可能窄 以获取较陡的过渡带 b 尽量减小窗谱的最大旁瓣的相对幅度 即能量集中于主瓣 使肩峰和波纹减 小 增大阻带的衰减 频率采样法 窗函数设计法是从时域出发 把理想的hd n 用一定形状的窗函数截取成有 限长的h n 来近似理想的hd n 这样得到的频率响应逼近于所要求 的理想的频率响应 频率抽样法则是从频域出发 把给定的理想频率响应 加以等间隔 抽样得到 然后以此 作为实际 FIR 滤波器的频率特性的抽样值 H k 即 2 7 2 jw dd HkHek N 知道H k 后 由 DFT 定义可唯一确定有限长序列 h n 利用这N个频域抽 样值H k 同样利用频率内插公式可得 FIR 滤波器的系统函数H z 及频率响应 即 频率抽样法内插公式 2 8 1 1 0 1 1 NN k k N zH k H z NWz 频率抽样法小结 优点 可以在频域直接设计 并且适合于最优化设计 缺点 抽样频率只能等于 2 N 的整数倍 或等于2 N 的整数倍加上 N 因而不能确保截止频率 的自由取值 要想实现自由地选择截止频率 必须增加抽样点数N 但这又使计算量增大 为了提高逼近质量 减少通带边缘由于抽样点的陡然变化而引起的起伏振 荡 有目的地在理想频率响应的不连续点的边缘 加上一些过渡的抽样点 增 7 加过渡带 减少起伏振荡 线性相位的 FIR 滤波器有两种对称的类型 对称和反对称 在对称和反对 称的情形下 脉冲响应的特性如下表所述 表 2 1 线性相位 FIR 滤波器的幅度特性与相位特性表 8 2 3 FIR 数字滤波器的设计方法 使用 FIR 滤波器可以实现严格的线性相位特性 但其幅频特性的设计方法 与 IIR 滤波器完全不同 FIR 滤波器的设计方法有 窗函数法 频率采样法 切比雪夫等波纹逼近法等 FIR 数字滤波器的设计思想是 在保证线性相位条 件的前提下 选择合适的 h n 长度N 使其传输函数 H ej 满足技术指标要 求 我门常使用的窗函数有矩形窗 三角形窗 汉宁窗 哈明窗 布莱克曼窗 和凯塞窗 1 表 2 2 六种窗函数的基本参数 窗函数旁瓣峰值幅度 dB 过度带宽阻带最小衰减 dB 矩型窗 134 N 21 三角窗 258 N 25 汉宁窗 318 N 44 海明窗 418 N 53 布来克曼窗 5712 N 74 凯塞窗 a 7 865 5710 N 80 1 矩形窗 Rectangle Window nRnw N 2 9 其频率响应和幅度响应分别为 9 2 1 2 sin 2 sin N j j e N eW 2 sin 2 sin N WR 2 10 2 三角形窗 Bartlett Window 1 2 1 1 2 2 2 1 0 1 2 Nn N N n N n N n nw 2 11 其频率响应为 2 1 2 2 sin 4 sin 2 N j j e N N eW 2 12 3 汉宁 Hanning 窗 又称升余弦窗 1 2 cos 1 2 1 nR N n nw N 2 13 其频率响应和幅度响应分别为 1 2 1 2 25 0 5 0 1 2 1 2 25 0 5 0 2 1 N W N WWW eW e N W N WWeW RRR aj N j RRR j 2 14 4 海明 Hamming 窗 又称改进的升余弦窗 1 2 cos 46 0 54 0 nR N n nw N 2 15 其幅度响应为 1 2 1 2 23 0 54 0 N W N WWW RRR 2 16 5 布莱克曼 Blankman 窗 又称二阶升余弦窗 10 1 4 cos 08 0 1 2 cos 5 042 0 nR N n N n nw N 2 17 其幅度响应为 22 0 42 0 25 11 44 0 04 11 RRR RR WWWW NN WW NN 2 18 6 凯泽 Kaiser 窗 1 0 1 21 1 0 2 0 Nn I NnI nw 2 19 3 MATLAB3 MATLAB 概述概述 MATLAB 是由美国 MathWorks 公司发布的主要面对科学计算 可视化以及交 互式程序设计的高科技计算环境 它将数值分析 矩阵计算 科学数据可视化 以及非线性动态系统的建模和仿真等诸多强大功能集成在一个易于使用的视窗 环境中 为科学研究 工程设计以及必须进行有效数值计算的众多科学领域提 供了一种全面的解决方案 并在很大程度上摆脱了传统非交互式程序设计语言 如 C Fortran 的编辑模式 代表了当今国际科学计算软件的先进水平 MATLAB 和 Mathematica Maple 并称为三大数学软件 它在数学类科技应用 软件中在数值计算方面首屈一指 MATLAB 可以进行矩阵运算 绘制函数和数据 实现算法 创建用户界面 连接其他编程语言的程序等 主要应用于工程计算 控制设计 信号处理与通讯 图像处理 信号检测 金融建模设计与分析等领 域 MATLAB 的基本数据单位是矩阵 它的指令表达式与数学 工程中常用的形式十 分相似 故用 MATLAB 来解算问题要比用 C FORTRAN 等语言完成相同的事情简 捷得多 并且 MATLAB 也吸收了像 Maple 等软件的优点 使 MATLAB 成为一个强 大的数学软件 在新的版本中也加入了对 C FORTRAN C JAVA 的支持 可 11 以直接调用 用户也可以将自己编写的实用程序导入到 MATLAB 函数库中方便自 己以后调用 此外许多的 MATLAB 爱好者都编写了一些经典的程序 用户可以直 接进行下载就可以用 MATLAB 产品族可以用来进行以下各种工作 数值分析 数值和符号计算 工程与科学绘图 控制系统的设计与仿真 数字图像处理技术 数字信号处理 技术 通讯系统设计与仿真 MATLAB 在通讯系统设计与仿真的应用于财务与金 融工程 管理与调度优化计算 运筹学 等 MATLAB 的应用范围非常广 包括信号和图像处理 通讯 控制系统设计 测试和测量 财务建模和分析以及计算生物学等众多应用领域 附加的工具箱 单独提供的专用 MATLAB 函数集 扩展了 MATLAB 环境 以解决这些应用领域 内特定类型的问题 MATLAB 特点 1 高效的数值计算及符号计算功能 能使用 户从繁杂的数学运算分析中解脱出来 2 具有完备的图形处理功能 实现计算结 果和编程的可视化 3 友好的用户界面及接近数学表达式的自然化语言 使学 者易于学习和掌握 4 功能丰富的应用工具箱 如信号处理工具箱 通信工具箱 等 为用户提供了大量方便实用的处理工具 4 FIE4 FIE 数字滤波器的设计具体内容数字滤波器的设计具体内容 4 1 FIR 数字滤波器的设计内容 本次采用窗函数中汉宁窗进行一个通带滤波器 指标要求如下 低端阻带截止频率 ws1 0 2 低端通带截止频率 wp1 0 35 高端阻带截止频率 ws2 0 8 高端通带截止频率 wp2 0 65 通带最大衰减 RP 1dB 阻带最小衰减 As 50dB 试绘出 h n 及其幅频特性曲线 注 用窗函数法设计 FIR 数字滤波器时 应先求出相应的理想滤波器的单位脉 冲响应 hd n 再根据阻带最小衰减选择合适的窗函数 w n 最后得到 FIR 滤 波器的单位脉冲响应 h n hd n w n 4 2 设计步骤 12 1 根据对过渡带宽及阻带衰减要求 选择窗函数的类型并估计窗函数长度 N 或阶数 M N 1 两者确定之后即可调用 MATLAB 中的窗函数 x d Wn 2 根据待求滤波器的理想频率响应求出单位脉冲响应 hd n 即傅立叶反 变换 hd n IDTFT Hd ejw Hd ejw 为定的滤波器所要求的频率响应函数 3 计算滤波器的单位脉冲响应 h n 它是理想脉冲响应和窗函数的乘积 h n hd n x d Wn 4 求出 FIR 滤波器的频率响应 即傅立叶变换 H ejw DTFT h n 并检 验是否满足要求为止 5 调用绘图子程序 函数 绘制 H k 幅度相位曲线 设计流程图如下图 4 1 所示 读入长度 N 调用信号产生子程序产生实验信号 开始 调用绘图子程序绘制波形图 调用 FFT 子程序计算信号 DFT 调用绘图子程序绘制 X k 曲线 结束 13 图 4 1 用窗函数法设计滤波器的主程序框图 4 3 具体程序清单 用 MATLAB 编写的程序如下 下阻带边缘 ws1 0 2 As 50dB 下通带边缘 W1p 0 35 Rp 1dB 上通带边缘 wp2 0 65 Rp 1dB 下阻带边缘 ws2 0 8 As 50dB ws1 0 2 pi wp1 0 35 pi wp2 0 65 pi ws2 0 8 pi As 50 tr width min wp1 ws1 ws2 wp2 M ceil 8 pi tr width 1 结果 M 55 n 0 1 M 1 wc1 ws1 wp1 2 wc2 wp2 ws2 2 hd ideal lp wc2 M ideal lp wc1 M w bla hanning M 采用 hanning 窗 h hd w bla db mag pha grd w freqz m h 1 delta w 2 pi 1000 Rp min db wp1 delta w 1 1 wp2 delta w 实际的通带波结果 rp 0 0709 As round max db ws2 delta w 1 1 501 结果 as 45 RHpah unwrap pha 进行相位解卷绕 消除 360 度跳动 subplot 2 2 1 stem n hd title ideal impulse response axis 0 M 1 0 4 0 4 xlabel n ylabel hd n subplot 2 2 2 stem n w bla title hanning window axis 0 M 1 0 2 xlabel n ylabel w n subplot 2 2 3 14 plot w pi RHpah 解卷绕后的系统频响的相位 xlabel 频率 Hz ylabel 相位 degrees title 相频曲线 axis 0 1 50 30 xlabel 频率 Hz s