高中数学 导数复习知识精讲 文 人教实验B版选修1-1

1 高二数学导数复习 文 人教实验高二数学导数复习 文 人教实验 B B 版版 本讲教育信息本讲教育信息 一 教学内容 导数复习 二 学习目标 由于导数为我们解决所学过的有关函数问题提供了一般性的方法 所以利用导数方法 研究函数的性质及解决实际问题成为高考的热点之一 理解导数概念及其几何意义 掌握 导数的公式 会求函数的导数 会用导数求曲线的切线方程 理解极大值 极小值 最大 值 最小值的概念 并会用导数求函数的单调区间 极大值 极小值及闭区间上的最大值 和最小值 三 考点分析 1 函数 yf x 在区间 12 x x上的平均变化率为 1 f xf x xx 21 2 2 函数 yf x 在区间 a b内有定义 0 xa b 若x 无限趋近于 0 比值 00 f xxf xy xx 无限趋近于一个常数 A 则称 f x在 0 xx 处可导 并称常数 A 为函数 f x在 0 xx 处的导数 记作 0 fx 3 导数的几何意义 函数 yf x 在点 0 x处的导数 就是曲线 yf x 在点 0 x处的切线的斜率 4 yf x 的导函数 yfx 函数 yf x 对于区间 a b内任一点都可导 若x 无限趋近于 0 比值 yf xxf x xx 无限趋近于 fx 称它为 yf x 的导函数 记为 yfx 函数 yf x 在点 0 x处的导数 0 fx 就是导函数 yfx 在 0 xx 处的函数值 5 常见函数的导函数 2 1 1aa ax x a 为常数 2 ln 0 1 xx aaaaa 且 3 1 log ln a x xa 4 xx ee 5 1 ln x x 6 sin cosxx 7 cos sinxx 6 函数的和 差 积 商的导数 u xv xu xv x u xv xu x v xu x v x 2 0 u xu x v xu x v x v x v xvx c u xc u x 7 简单复合函数的导数 xux uyy 8 导数的应用 1 导数和函数的单调性 对于函数 yf x 在某区间上 0fx 那么 yf x 为该区间上的增函数 对于函数 yf x 在某区间上 0fx 那么 yf x 为该区间上的减函数 2 导数和函数的极值点 在 0fx 的点 0 x处的两侧的导数值异号 则 yf x 在 0 xx 处的函数值为极值 在 0fx 的点 0 x处的两侧的导数值左正右负 则 yf x 在 0 xx 处的函数值为 极大值 在 0fx 的点 0 x处的两侧的导数值左负右正 则 yf x 在 0 xx 处的函数值为 极小值 3 导数和函数的最值点 求 yf x 在区间 a b上的最大值 最小值可以分为两步 第一步 求 yf x 在区间 a b上的极值 第二步 将第一步中求得的极值与 f af b 比较 得到 yf x 在区间 a b上 的最大值与最小值 典型例题典型例题 例 1 已知函数cbxaxxxf 23 在2 x处有极值 其图象在1 x处的切线平 行于直线23 xy 试求函数的极大值与极小值的差 解 解 baxxxf 23 2 由于 xf在2 x处有极值 0 2 f 3 即0412 ba 又 3 1 f 332 ba 由 得0 3 ba cxxxf 23 3 令063 2 xxxf 得2 0 21 xx 由于在 0 x 2 x时 0 x f 2 0 x时 0 x f 0 f是极大值 2 f是极小值 4 2 0 ff 例 2 已知 322 3yxaxbxa 在1x 处有极值 0 求常数 a b 错解 错解 y 3x2 6ax b 2 36012 39310 abaa bbaba 或 正确解法 正确解法 下面检验 x 1 是否为极值点 当 a 1 b 3 函数 f x 3x2 6x 3 3 x 1 2 0 因为在 x 1 两侧的导数同号 所以 x 1 不是极值点 当 a 2 b 9 函数 f x 3x2 12x 9 3 x2 4x 3 因为在 x 1 两侧的导数异号 所以 x 1 是极值点 所以 a 2 b 9 例 3 已知函数13 23 xxaxxf在 R 上是减函数 求a的取值范围 解 解 求函数 xf的导数 163 2 xaxxf 1 当 0 Rxxf 时 xf是减函数 0 0163 2 aRxxax 且301236 aa 所以 当3 a时 由0 x f 知 Rxxf 是减函数 2 当3 a时 133 23 xxxxf 9 8 3 1 3 3 x 由函数 3 xy 在 R 上的单调性 可知当3 a时 Rxxf 是减函数 3 当3 a时 在 R 上存在一个区间 其上有0 x f 所以 当3 a时 函数 Rxxf 不是减函数 综上所述 所求a的取值范围是 3 例 4 某厂生产某种产品x件的总成本 C x 3 75 2 1200 x 万元 又知产品单价的 平方与产品件数x成反比 生产 100 件这样的产品单价为 50 万元 问产量定为多少时总利 润最大 解 解 设单价为0 q 由题意 kxq 2 当100 x时 50 q 4 250000 100502 kk 250000 2 xq 即 x q 500 总利润1200 75 2 500 75 2 1200 500 33 xxx x xxCxqy 令 2 3 75 2 2 1 500 x x y 0 25 26250 2 5 x x 026250 2 5 x 解得25 x 当25 x时 0 y 当25 x时 0 y 当25 x时 y有最大值 答 答 当产量为 25 万件时 总利润最大 例 5 偶函数 edxcxbxaxxf 234 的图像过点 1 0P 且在1 x处的切线 方程为2 xy 求 xfy 的解析式 求 xfy 的极大 小 值 解 解 xf是偶函数 则0 db 又图像过 1 0P 则1 e 此时 1 24 cxaxxf cxaxy24 3 124 1 cay x 又切线的切点 1 1 在曲线上 11 ca 由 得 2 5 a 2 9 c 1 2 9 2 5 24 xxxf 2 xxxf910 3 令 0 x f 0 x或 10 3 x通过列表可知 当 10 3 x时 40 41 极小 xf 当0 x时 1 极大 xf 模拟试题模拟试题 答题时间 60 分钟 一 选择题 本大题共 6 小题 每小题 5 分 共 30 分 1 某物体做s 2 1 t 2的直线运动 则t 0 8 s 时的瞬时速度为 A 4 B 4 C 4 8D 0 8 2 函数f x x3 6bx 3b在 0 1 内有极小值 则 5 A b 0B b 2 1 C 0 b 2 2 D b 1 3 函数f x ax loga x 1 在 0 1 上的最大值与最小值之和为a 则a的值为 A 4 1 B 2 1 C 2D 4 4 函数在上的最大值是 A 6B 8C 10D 12 5 函数 xfy 在一点的导数值为0是函数 xfy 在这点取极值的 A 充分条件 B 必要条件 C 充要条件 D 必要非充分条件 6 设函数fn x n2x2 1 x n n为正整数 则fn x 在 0 1 上的最大值为 A 0B 1C n n 2 2 1 D 1 2 4 n n n 二 填空题 本题共 4 小题 每小题 5 分 共 20 分 7 已知曲线1 2 xy与 3 1xy 在 0 xx 处的切线互相垂直 则 0 x的值为 8 若 32 0 f xaxbxcxd a 在R上为增函数 则 a b c的关系式为 9 若 则 10 若函数f x x3 x2 mx 1 是 R R 上的单调函数 则实数m的取值范围是 三 解答题 本大题共 4 题 共 50 分 11 设f x x3 3ax2 2bx在x 1 处有极小值 1 试求a b的值 并求出f x 的 单调区间 12 设eexaxxf x 1 2 为自然对数的底 a为常数且Rxa 0 xf取极小值时 求x的值 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 13 请您设计一个帐篷 它下部的形状是高为 1m 的正六棱柱 上部的形状是侧棱长为 3m 的正六棱锥 如下图所示 试问当帐篷的顶点 O 到底面中心 O1的距离为多少时 帐篷 的体积最大 14 设x 0 是函数 2 x f xxaxb exR 的一个极值点 I 求a与b的关系式 用a表示b 并求 xf的单调区间 II 设 2 2 1 0 21 22 问是否存在 x eaaxga 使得 1 21 gf成立 若存在 求a的取值范围 若不存在 说明理由 6 试题答案试题答案 1 解析 s 4 1 t 当t 0 8s 时 v 0 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头8 答案 D 2 解析 x f 3x2 6b 令 x f 0 得x 2b f x 在 0 1 内有极小值 0 2b 1 0 b 2 2 答案 C 3 解析 f x axlna 1 1 x logae x 0 1 当a 1 时 axlna 1 1 x logae 0 f x 为增函数 当 0 a 1 时 axlna 1 1 x logae 0 f x 为减函数 f 0 f 1 a 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 a 2 1 答案 B 4 解 令 解得 函数的最大值应是中最大的 函数在 6 8 上的最大值为 答案 C 5 对于 3 2 3 0 0 f xxfxxf 不能推出 f x在0 x 取极值 反之成立 答案 D 6 解析 f n x 2xn2 1 x n n3x2 1 x n 1 n2x 1 x n 1 2 1 x nx 令 f n x 0 得x1 0 x2 1 x3 n 2 2 易知fn x 在x n 2 2 时取得最大值 最大值fn n 2 2 n2 n 2 2 2 1 n 2 2 n 4 n n 2 n 1 答案 D 7 解 00 2 2 1020 2 2 3 3 x xx x yx kyxyxkyx 3 3 1200 36 1 61 6 k kxx 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 8 解 ac3b 0a 2 且 2 320fxaxbxc 恒成立 则 2 2 0 0 3 4120 a abac bac 且 9 解 10 1 3 11 解 f x 3x2 6ax 2b 由题意知 7 112131 021613 23 2 ba ba 即 0 232 0263 ba ba 解之得a 3 1 b 2 1 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 此时f x x3 x2 x f x 3x2 2x 1 3 x 3 1 x 1 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 当 f x 0 时 x 1 或x 3 1 当 f x 0 时 3 1 x 1 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 函数f x 的单调增区间为 3 1 和 1 减区间为 3 1 1 12 解 1 1 12 2 xx exaxeaxxf 2x 1ax e x 令2 1 0 或 a xxf 1 0 2 1 2 1 a a 即当 由表 x 2 2 a 1 2 a 1 1 a f x 0 0 f x 极大值 极小值 1 xf a x时 取极小值 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 2 0 2x e 2 1 x f 2 1 a2 a 1 2x 时即当无极值 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 3 2 1 a2 a 1 即当时 由表 x a 1 a 1 2 a 1 2 2 f x 0 0 f x 极大值 极小值 取极小值时时综上 当 取极小值时 x f a 1 x 0a 2 1 x f 2x 取极小值时时当 x f 2x 2 1 a 13 解 设 OO1为 x m 则由题设可得正六棱锥底面边长为 单位 m 222 3 1 82xxx 于是底面正六边形的面积为 单位 m2 8 2 2 2 2 22 xx28 2 33 xx28 4 3 61x3 4 3 6 帐篷的体积为 单位 m3 23 3 313 82 1 1 16 12 232 V xxxxxx 求导数 得 2 3 123 2 V xx 令 0V x 解得 x 2 不合题意 舍去 x 2 当 1 x 2 时 0V x V x 为增函数 当 2 x 4 时 0V x V x 为减函数 所以当 x 2 时 V x 最大 答 当 OO1为 2m 时 帐篷的体积最大 14 解 I x ebaxaxxf 2 2 由abf 得 0 0 2a xx x f0 x 2ax 0 x 0 x f e 2ax xe x 2a x x f e aaxx x f 21