2012高考数学 考前30天之备战冲刺押题系列二 概率与统计 理 教师版

用心 爱心 专心1 考前考前 3030 天之备战天之备战 20122012 高考数学冲刺押题系列二高考数学冲刺押题系列二 概率与统计 理 概率与统计 理 教师版教师版 命题趋势命题趋势 概率是高考的必考内容 主要考查的内容有 等可能性事件的概率 互斥事件有一 个发生的概率 相互独立事件同时发生的概率 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率 及离散型随机变量的分布列 期望与方差等 一般会有一道选择题或填空题与一道解答题 在高考中所占的比重大于 10 近年来 高考中的应用题基本是考查离散型随机变量的期望 与方差的解答题 统计知识则主要考查抽样方法 频率分布直方图 正态分布等知识 主要 以选择题和填空题的形式出现 方法与技巧方法与技巧 4 解决概率问题要注意解决概率问题要注意 四个步骤 一个结合四个步骤 一个结合 求概率的步骤是 第一步 确定事件性质 等可能事件 互斥事件 独立事件 n次独立重复试验 即所给的问题归结为四类事件中的某一种 第二步 判断事件的运算 和事件 积事件 即是至少有一个发生 还是同时发生 分别运用相加或 相乘事件 用心 爱心 专心2 第三步 运用公式 1 kkn k nn m P A n P ABP AP B P A BP AP B P kC pp 等可能事件 互斥事件 独立事件 n次独立重复试验 求解 第四步 答 即给提出的问题有一个明确的答复 三 三 随机变量的数学期望和方差 1 离散型随机变量的数学期望 1122 Ex px p 期望反映随机变量取值的平均水平 离散型随机变量的方差 22 1122 DxEpxEp 2 nn xEp 方差反映随机变量取值的稳定与波动 集中与离散的程度 基本性质 E abaEb 2 D aba D 4 若 B n p 则 Enp D npq 这里q 1 p 如果随机变量 服从几何分布 Pkg k p 则 1 E p D 2 q p 其中q 1 p 高考冲刺押题高考冲刺押题 用心 爱心 专心3 押题 1 2011 年 3 月 11 日日本发生 9 0 级地震后 某国派遣了由 9 名医护人员 和 27 名搜救人员组成的救援队到日本救援 谁知日本福岛核电站连续爆炸 使该救援队 2 3 的 医护人员和 1 3 的搜救人员遭轻微核辐射 在该救援队中随机抽查 3 名救援队员 求 恰有 1 名遭轻微核辐射的医护人员且至多 1 名遭轻微核辐射的搜救人员的概率 在 该救援队中随机抽查 3 名医护人员 设其中遭轻微核辐射的人数为随机变量 求 的分 布列及数学期望E 押题 2 某重点高校数学教育专业的三位毕业生甲 乙 丙参加了一所中学的招聘面试 面试合格者可以正式签约 毕业生甲表示只要面试合格就签约 毕业生乙和丙则约定 两 人面试都合格就一同签约 否则两人都不签约 设每人面试合格的概率都是 1 3 且面试是 否合格互不影响 求 I 至少有 1 人面试合格的概率 II 签约人数 的分布列和数 学期望 押题指数 用心 爱心 专心4 解析 I 至少有 1 人面试合格的概率为 3 219 1 327 P II 22221222116 0 33333333327 P 22221222116 0 33333333327 1221 1 3333 P P 从而 的分布列为 0123 P 16 27 8 27 2 27 1 27 168215 0123 272727279 E 押题 4 某商场准备在新年元旦期间举行促销活动 据市场调查 商场决定从 2 种不同型 用心 爱心 专心5 号的洗衣机 2 种不同型号的电视机和 3 种不同型号的空调中 不同种商品的型号不同 选出 4 种不同型号的商品进行促销 商场对选出的商品采州的促销方案娃有奖销售 即在该 商品现价的基础上将价格提高150元 同时 若顾客购买该商品 则允许有3次抽奖的机 会 若中奖 则每次 屮奖都获得m元奖金 假设顾客每次抽奖时获奖与否的概率都是 设顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额 单位 元 为随机变锹 1 求选出的 4 种不同型号商品中 洗衣机 电视机 空调都至少有一种型号的概率 2 请写出的分布列 并求 的数学期望 3 在 2 的条件下 问商场若想采用此促销方案获利 则每次中奖奖金要低于多少元 押题指数 押题 5 某班共有学生 40 人 将一次数学考试成绩 单位 分 绘制成频率分布直方图 如图所示 请根据图中所给 数据 求出a的值 用心 爱心 专心6 从成绩在 50 70 内的学生中随机选 3 名学生 求这 3 名学生的成绩都在 60 70 内的概率 为了了解学生本次考试的失分情况 从成绩在 50 70 内的学生中随机选取 3 人的 成绩进行分析 用X表示所选学生成绩在 60 70 内的人数 求X的分布列和数学期望 押题 6 某中学选派 40 名同学参加北京市高中生技术设计创意大赛的培训 他们参加 培训的次数统计如表所示 培训次数 123 参加人数 51520 1 从这 40 人中任意选 3 名学生 求这 3 名同学中至少有 2 名同学参加培训次数恰好相 等的概率 2 从 40 人中任选两名学生 用X表示这两人参加培训次数之差的绝对值 用心 爱心 专心7 求随机变量X的分布列及数学期望EX 押题指数 解析 1 这 3 名同学中至少有 2 名同学参加培训次数恰好相等的概率为 111 51520 3 40 419 1 494 C C C P C 2 由题意知X 0 1 2 222 51520 2 40 61 0 156 CCC P X C 111111 5151520520 22 4040 755 1 2 15639 C CC CC C P XP X CC 则随机变量X的分布列 X 0 1 2 P 156 61 156 75 39 5 61755115 012XEX 所以的数学期望 押题 8 中国 黄石第三届国际矿冶文化旅游节将于 2012 年 8 月 20 日在黄石铁山举行 为了搞好接待工作 组委会准备在湖北理工学院和湖北师范学院分别招募 8 名和 12 名志愿 者 将这 20 名志愿者的身高编成如下茎叶图 单位 cm 用心 爱心 专心8 若身高在 175cm 以上 包括 175cm 定义为 高个子 身高在 175cm 以下 不包括 175cm 定义为 非高个子 且只有湖北师范学院的 高个子 才能担任 兼职导游 1 根据志愿者的身高编茎叶图指出湖北师范学院志愿者身高的中位数 2 如果用分 层抽样的方法从 高个子 和 非高个子 中抽取 5 人 再从这 5 人中选 2 人 那么至少 有一人是 高个子 的概率是多少 3 若从所有 高个子 中选 3 名志愿者 用 表示 所选志愿者中能担任 兼职导游 的人数 试写出 的分布列 并求 的数学期望 即 的分布列为 0123 用心 爱心 专心9 P10 56 30 56 15 56 1 56 E 0 10 56 1 30 56 2 15 56 3 1 56 9 8 押题 9 某次有 1000 人参加的数学摸底考试 其成绩的频率分布直方图如图所示 规定 85 分及其以上为优秀 下表是这次考试成绩的频数分布表 求正整数a b的值 区间 75 80 80 8 5 85 9 0 90 9 5 95 10 0 人数 50a350300b II 现在要用分层抽样的方法从这 1000 人中抽取 40 人的成 绩进行分析 求其中成绩为优秀的学生人数 在 II 中抽取的 40 名学生中 要随机选取 2 名学生参 加座谈会 记 其中成绩为优秀的人数 为X 求X的分布列 与数学期望 押题指数 押题 10 一个盒子装有六张卡片 上面分别写着如下六个函数 3 1 f xx 2 5 x fx 3 2fx 4 21 21 x x fx 5 sin 2 fxx 6 cosfxxx 从中任意拿取2张卡片 若其中有一张卡片上写着的函数为奇函数 在此条件下 求两张 卡片上写着的函数相加得到的新函数为奇函数的概率 现从盒子中逐一抽取卡片 且每次取出后均不放回 若取到一张写有偶函数的卡片 则停止抽取 否则继续进行 求抽取次数 的分布列和数学期望 85809010095 O 频率 组距 分数 75 0 01 0 02 0 03 0 04 0 05 0 06 0 07 用心 爱心 专心10 押题指数 解析 3 1 fxx 为奇函数 2 5 x fx 为偶函数 3 2fx 为偶函数 4 21 21 x x fx 为奇函数 5 sin 2 fxx 为偶函数 6 cosfxxx 为奇函数 3 分 注 每对两个得 1 分 该步评分采用去尾法 所有的基本事件包括两类 一类为两张卡 片上写的函数均为奇函数 另一类为两张卡片上写的函数为一个是奇函数 一个为偶函数 故基本事件总数为 112 333 C CC 名校试题名校试题 1 甲 乙两位同学进行篮球三分球投篮比赛 甲每次投中的概率为 3 1 乙每次投中的概 率为 2 1 每人分别进行三次投篮 记甲投中的次数为 求 的分布列及数学期望 E 求乙至多投中 2 次的概率 求乙恰好比甲多投进 2 次的概率 试题出处 2012 年北京市石景山区高三一模理科数学 用心 爱心 专心11 解析 的可能取值为 0 1 2 3 1 分 27 8 3 2 0 3 0 3 CP 9 4 3 2 3 1 1 2 1 3 CP 9 2 3 2 3 1 2 2 2 3 CP 27 1 3 1 3 3 3 3 CP 的分布列如下表 0123 P 27 8 9 4 9 2 27 1 4 分 解析 由已知 甲 乙两名运动员在每一局比赛中获胜的概率都是 2 1 1 分 记 甲以4比1获胜 为事件A 则 334 3 4 1111 C 2228 P A 4 分 记 乙获胜且比赛局数多于5局 为事件B 因为乙以4比2获胜的概率为 335 3 15 1115 C 22232 P 6 分 乙以4比3获胜的概率为 336 3 26 1115 C 22232 P 7 分 所以 12 5 16 P BPP 8 分 解 设比赛的局数为X 则X的可能取值为4 5 6 7 用心 爱心 专心12 44 4 11 4 2C 28 P X 9 分 334 3 4 1111 5 2C 2224 P X 10 分 335 2 5 1115 6 2C 22216 P X 11 分 336 3 6 1115 7 2C 22216 P X 12 分 比赛局数的分布列为 X4567 P 1 8 1 4 5 16 5 16 13 分 4 甲 乙两同学进行投篮比赛 每一局每人各投两次球 规定进球数多者该局获胜 进 球数相同则为平局 已知甲每次投进的概率为 2 3 乙每次投进的概率为 1 2 甲 乙之间的投 篮相互独立 1 求甲 乙两同学进行一局比赛的结果不是平局的概率 2 设3局比 赛中 甲每局进两球获胜的局数为 求 的分布列及数学期望 试题出处 四川省达县中学高 2012 级 3 月月考试题数学 理科 解析 1 设 一局比赛出现平局 为事件A 则 2211222 22 112 112113 323 323236 P ACC 所以 23 1 36 P AP A 即一 局比赛的结果不是平局的概率为 23 36 2 设 在一局比赛中甲进两球获胜 为事件B 因为 可取 0 1 2 3 所以 用心 爱心 专心13 3 28 0 327 P 12 3 124 1 339 PC 22 3 122 2 339 PC 3 11 3 327 P 分布列为 0123 P 27 8 9 4 9 2 27 1 1 27 1 3 9 2 2 9 4 1 27 8 0 E 5 一次考试共有 12 道选择题 每道选择题都有 4 个选项 其中有且只有一个是正确的 评分标准规定 每题只选一个选项 答对得 5 分 不答或答错得零分 某考生已确定有 8 道题的答案是正确的 其余题中 有两道题都可判断两个选项是错误的 有一道题可以 判断一个选项是错误的 还有一道题因不理解题意只好乱猜 请求出该考生 1 得 60 分的概率 2 所得分数 的分布列和数学期望 试题出处 山东省济南市 2012 届高三 3 月 二模 月考数学 理 试题 6 今年雷锋日 某中学从高中三个年级选派 4 名教师和 20 名学生去当雷锋志愿者 学生 的名额分配如下 高一年级高二年级高三年级 用心 爱心 专心14 10 人6 人4 人 I 若从 20 名学生中选出 3 人参加文明交通宣传 求他们中恰好有 1 人是高一年级学生 的概率 II 若将 4 名教师安排到三个年级 假设每名教师加入各年级是等可能的 且 各位教师的选择是相互独立的 记安排到高一年级的教师人数为X 求随机变量X的分 布列和数学期望 试题出处 北京市房山区 2012 年高三第一次模拟试题数学 理科 解法 2 由题意可知 每位教师选择高一年级的概率均为 3 1 5 分 则随机变量 服从参数为 4 3 1 的二项分布 即 3 1 4 B 7 分随机变量 的分布 列为 01234 用心 爱心 专心15 P 81 16 81 32 27 8 81 8 81 1 所以 14 4 33 Enp 13 分 7 某工厂生产甲 乙两种产品 甲产品的一等品率为80 二等品率为20 乙产品的 一等品率为90 二等品率为10 生产1件甲产品 若是一等品 则获利4万元 若是 二等品 则亏损1万元 生产1件乙产品 若是一等品 则获利6万元 若是二等品 则亏 损2万元 两种产品生产的质量相互独立 设生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总 利润为X 单位 万元 求X的分布列 求生产4件甲产品所获得的利润不少于 10万元的概率 8 某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间 单位 分钟 并将所得数据绘制成频 率分布直方图 如图 其中 上学所需时间的范围是 0 100 样本数据分组为 0 20 20 40 40 60 60 80 80 100 求直方图中x的值 如果上学所需时间不少于 1 小时的学生可申请 在学校住宿 请估计学校 600 名新生中有多少名学生 可以申请住宿 时 时 时 时 时 时 x 0 003 0 0065 0 025 10080604020 O 用心 爱心 专心16 从学校的新生中任选 4 名学生 这 4 名学生中上学所需时间少于 20 分钟的人数记为 X 求X的分布列和数学期望 以直方图中新生上学所需时间少于 20 分钟的频率作为 每名学生上学所需时间少于 20 分钟的概率 所以X的分布列为 X01234 P 81 256 27 64 27 128 3 64 1 256 12 分 81272731 012341 2566412864256 EX 或 1 41 4 EX 所以X的数学期望为 1 13 分 9 甲 乙两班各派三名同学参加青奥知识竞赛 每人回答一个问题 答对得 10 分 答错 得 0 分 假设甲班三名同学答对的概率都是 乙班三名同学答对的概率分别是 且 2 3 2 3 2 3 1 2 这六个同学答题正确与否相互之间没有影响 1 用X表示甲班总得分 求随机变量X的 概率分布和数学期望 2 记 两班得分之和是 30 分 为事件A 甲班得分大于乙班得 分 为事件B 求事件A B同时发生的概率 试题出处 南京市 2012 年届高三第二次模拟考试数学试卷 解析 1 随机变量X的可能取值是 0 10 20 30 且 用心 爱心 专心17 P X 0 C 1 3 P X 10 C 1 2 0 3 2 3 1 271 3 2 3 2 3 2 9 P X 20 C 2 1 P X 30 C 3 2 3 2 3 2 3 4 93 3 2 3 8 27 所以 X的概率分布为 X0102030 P 1 27 2 9 4 9 8 27 3 分 随机变量X的数学期望E X 0 10 20 30 20 5 分 1 27 2 9 4 9 8 27 11 某学校为了准备参加市运动会 对本校甲 乙两个田径队中 30 名跳高运动员进行了 测试 并用茎叶图表示出本次测试 30 人的跳高成绩 单位 cm 跳高成绩在 175cm 以上 用心 爱心 专心18 包括 175cm 定义为 合格 成绩在 175cm 以下 不包括 175cm 定义为 不合格 鉴于乙队组队晚 跳高成绩相对较弱 为激励乙队队员 学校决定只有乙队中 合格 者 才能参加市运动会开幕式旗林队 1 求甲队队员跳高成绩的中位数 2 如果用分层抽样的方法从甲 乙两队所有的运 动员共抽取 5 人 则 5 人中 合格 与 不合格 的人数各为多少 3 若从所有 合格 运动员中选取 2 名 用 X 表示所选运动员中 能参加市运动会开幕式旗林队的人数 试写出 X 的分布列 并求 X 的数学期望 试题出处 河北省 2012 年普通高考模拟考试数学试题 理 12 某批发市场对某种商品的日销售量 单位 吨 进行统计 最近 50 天的统计结果如 下 1 填充上表 2 若以上表频率作为概率 且每天的销售量相互独立 5 天中该种商 品恰好有 2 天的销售量为 1 5 吨的概率 已知每吨该商品的销售利润为 2 千元 表示 该种商品两天销售利润的和 单位 千元 求 的分布列 试题出处 东莞市 2012 届高三理科数学模拟试题 二 日销售量 11 52 频数 102515 频率 0 2 用心 爱心 专心19 解析 1 求得 a0 5 b0 3 2 分 2 依题意 随机选取一天 销售量为 1 5 吨的概率5 0 p 3 分 设 5 天中该种商品有X天的销售量为 1 5 吨 则X B 5 0 5 4 分 3125 0 5 01 5 0 2 322 5 CXP 6 分 的可能取值为 4 5 6 7 8 则04 0 2 0 4 2 P 2 05 02 02 5 P 37 0 3 02 025 0 6 2 P 3 05 03 02 7 P 09 0 3 0 8 2 P 每个 1 分 11 分 的分布列 45678 p0 040 20 370 30 09 12 分 试题出处 惠州市 2012 届高三第三次调研考试理科数学 解析 1 由题意可得 x 100 10 10 35 45 y 1 0 1 0 1 0 45 0 35 用心 爱心 专心20 因为乙运动员的射击环数为 9 时的频率为 1 0 1 0 15 0 35 0 4 所以 z 0 4 80 32 由上可得表中 x 处填 45 y 处填 0 35 z 处填 32 3 分 设 甲运动员击中 10 环 为事件 A 则 0 35P A 即甲运动员击中 10 环的概率为0 35 5 分 14 为了解今年某校高三毕业班准备报考飞行员学生的体重 单位 千克 情 况 将所得的数据整理后 画出了频率分布直方图 如图 4 已知图中从左到右的前 3 个小组的频率之比为 1 2 3 其中第 2 小组的频数为 12 1 求该校报考飞行员的总人数 2 以这所学校的样本数据来估计全省的总体 数据 若从全省报考飞行员的同学中任选三人 设 X 表示体重超过 60 千克的学生人数 求 X 的 分布列和数学期望 试题出处 2012 年广州一摸推荐高三调研测试题 解析 1 设报考飞行员的人数为 n 前三小组的频率分别为 pl p2 p3 则 用心 爱心 专心21 15 0125 0 0375 0 3 2 321 13 12 ppp pp pp 3 分 解得 375 0 25 0 125 0 3 2 1 p p p 4 分 因为 n p 12 25 0 2 3 分 所以 n 48 6 分 17 由 1 可得 一个报考学生体重超过 60 公斤的概率为 15 2012 年 3 月 2 日 国家环保部发布了新修订的 环境空气质量标准 其中规定 居 民区中的 PM2 5 年平均浓度不得超过 35 微克 立方米 PM2 5 的 24 小时平均浓度不得超 过 75 微克 立方米 某城市环保部门随机抽取了一居民区去年 40 天的 PM2 5 的 24 小时平 均浓度的监测数据 数据统计如下 组别PM2 5 微克 立方米 频数 天 频率 第一组 0 15 40 1 第二组 15 30 120 3 第三组 30 45 80 2 第四组 45 60 80 2 第三组 60 75 40 1 第四组 75 90 40 1 用心 爱心 专心22 写出该样本的众数和中位数 不必写出计算过程 求该样本的平均数 并根据样本估计总体的思想 从 PM2 5 的年平均浓度考虑 判断该居民区的环境是否需要 改进 说明理由 将频率视为概率 对于去年的某 2 天 记这 2 天中该居 民区 PM2 5 的 24 小时平均浓度符合环境空气质量标准的天数为 求 的分布 列及数学期望E 试题出处 2012 年福建省普通高中毕业班质量检查理科数学 16 某高中为了推进新课程改革 满足不同层次学生的需求 决定从高一年级开 始 在每周的周一 周三 周五的课外活动期间同时开设数学 物理 化学 生物和 信息技术辅导讲座 每位有兴趣的同学可以在期间的任何一天参加任何一门科目的辅 导讲座 也可以放弃任何一门科目的辅导讲座 规定 各科达到预先设定的人数时称 为满座 否则称为不满座 统计数据表明 各学科讲座各天的满座的概率如下表 用心 爱心 专心23 根据上表 1 求数学辅导讲座在周一 周三 周五都不满座的概率 2 设周三各辅 导讲座满座的科目数为 求随机变量 的分布列和数学期望 试题出处 2012 年洛阳市示范高中联考高三理科数学试卷 17 为增强市民的节能环保意识 某市面向全市征召义务宣传志愿者 从符合条件的 500 名志愿者中随机抽取 100 名志愿者的年龄情况如下表所示 1 频率分布表中的 处应填什么数据 并在答题卡中补全频率分布直方图 如图 再根据频率分布 直方图估计这 500 名志愿者中年龄在 30 35岁的人数 2 在抽出的 100 名志愿者 中按年龄采用分层抽样法抽取 20 人参加中心广场的宣传活动 再从这 20 人中选取 2 名志愿者担任主要负责人 记这 2 名志愿者中 年龄低于 30 岁 的人数为 X 求 X 的 分布列及数学期望 用心 爱心 专心24 试题出处 河南 2011 2012 学年度高三年级第一次模拟考试数学试题 理 解析 处填 20 处填 0 35 2 分 补全频率分布直方向图如图所示 4 分 500 名志愿者中年龄在 30 35 的人数为 0 35 500 175 人 6 分 用分层抽样的方法 从中选取 20 人 则其中 年龄低于 30 岁 的有 5 人 年龄不低于 30 岁 的有 15 人 7 分故 X 的可能取值为 0 1 2 P X 0 2 15 2 20 21 38 C C P X 1 11 155 2 20 15 38 C C C P X 2 2 5 2 20 2 38 C C 10 分 所以 X 的分布列为 X012 P 21 38 15 38 2 38 EX 0 21 38 1 15 38 2 2 38 12 12 分 18 现对某市工薪阶层关于 楼市限购政策 的态度进行调查 随机抽查了 50 人 他们月 收入 单位 百元 的频数分布及对 楼市限购政策 赞成人数如下表 I 根据以上统计数据填写下面 2x2 列联表 并回答是否有 99 的把握认为月收入以 用心 爱心 专心25 5500 元为分界点对 楼市限购政策 的态度有差异 II 若从月收入在 15 25 25 35 的被调查对象中各随机选取两人进行调查 记 选中的 4 人中不赞成 楼市限购政策 人数为 求随机变量 的分布列及数学期望 试题出处 安徽省马鞍山市 2012 届高三第二次教学质量检测数学理 解析 根据题目得 2 2 列联表 月收入不低于 55 百元人数月收入低于 55 百元人数合计 赞成 3a 29b 32 不赞成 7c 11d 18 合计 104050 2 分 假设月收入以 5500 为分界点对 楼市限购政策 的态度没有差异 根据列联表中的数据 得到 2 2 50 3 11 729 6 276 635 37 29 11 329 711 K 4 分 假设不成立 所以没有 99 的把握认为月收入以 5500 为分界点对 楼市限购政策 的态度 有差异 6 分 的可能取值有 0 1 2 3 22 84 22 510 62884 0 1045225 CC P CC 21112 88244 2222 510510 428616104 1 10451045225 CC CCC P CCCC 11122 82442 2222 510510 4166135 2 10451045225 C CCCC P CCCC 12 42 22 510 412 3 10