江苏省淮安中学高三数学《第98课 特征值与特征向量》基础教案

用心 爱心 专心 1 第第 9898 课时课时 特征值与特征向量特征值与特征向量 一 课标解读 掌握二阶矩阵特征值与特征向量的意义 会求二阶矩阵特征值与特征向量 并能解决简 单的问题 二 课前预习 1 矩阵 A A 的特征值和特征向量 1 0 0 1 2 矩阵的特征值和特征向量 31 13 A 3 设是把坐标平面上的点的横坐标伸长到倍 纵坐标伸长到倍的伸压变换 M23 则矩阵的特征值及相应的特征向量为 逆矩阵 M 1 M 椭圆在的作用下的新曲线的方程 22 1 49 xy 1 M 4 已知 则 1 2 M 2 1 1 7 50 M 5 已知方程 AX B 其中 A B 则 X 2 1 0 1 1 2 6 已知向量 在矩阵 作用下得到向量 则 OPP 的面积 3 1OP 2 3 2 1 2 1 2 3 OP 7 已知盒子 A 中装有 3 只大小和重量相同的小球 其中 2 只黑色的 1 只白色的 盒子 B 中 装有 5 只大小和重量相同的小球 其中 3 只黑色的 2 只白色的 假定 A B 两个盒子很 难分辨 而且可以任取一个 现在要求先取一个盒子 那么从中摸到一只黑色小球的概 率有 8 A B C 三个城市的交通情况 小月想从其中某一个城市出 发直达另一个城市 她可以有几种选择 如果他想从某一 个城市出发 先经过一个城市 再到达另一个城市 她又 可以有 种选择 三三 典型例题典型例题 例 1 给定矩阵 M N 及向量 3 1 3 2 3 2 3 1 1 2 2 1 1 1 1 e 1 1 2 e 1 证明和同时是 M 和 N 的特征向量 1 e 2 e 2 求出 M 和 N 的特征值 用心 爱心 专心 2 例 2 已知点列满足 且 求 nnn P a bnN 1 1 2 4 nnn nnn aab bab 11 1 2ab 4 P 例 3 在军事密码学中 密码发送的流程如图所示 它的数学原理是 发送方将要传送的信息 数字化后用一个矩阵 X 表示 不足的元素可以补上 0 字与字之间的空格也以 0 记 在 矩阵的左边乘上一个双方约定好的可逆方阵 A 得到 B AX 则 B 即为传送出去的密码 接受方收到密码后 只需左乘 A 的逆矩阵 即可得到发送出去的明码 X B 不妨 1 A 1 A 以二阶矩阵为例 先将英文字母数字化 让 先已知发送方传出的密1 26az 码为 7 13 39 67 双方约定的可逆矩阵为 试破解发送的密码 2 4 3 5 例 4 自然界生物种群的成长受到多种因素影响 比如出生率 死亡率 资源的可利用性与竞 争 捕食者的猎杀乃至自然灾害等等 因此 它们和周边环境是一种既相生又相克的生存 关系 但是 如果没有任何限制 种群也会泛滥成灾 现假设两个相互影响的种群 X Y 随 时间段变化的数量分别为 有关系式 其中 试 nn ab 1 1 2 32 nnn nnn aab bab 11 6 4ab 分析 20 个时段后这两个种群的数量变化趋势 班级 姓名 学号 四 学生作业 1 矩阵 A A 的特征值和特征向量 1 0 0 1 2 矩阵 B B 的特征值和特征向量 1 0 0 2 3 投影变换矩阵 M 的特征值和特征向量为 0 0 0 1 20 2 3 M 4 已知一级路矩阵 表示一个网络图 它们的结点分别是 A B C 试画出一个网 0 1 2 1 0 0 2 0 0 络图 明 码 X 发送方加 密 密 码 B 接受方解 密 明 码 X 用心 爱心 专心 3 5 证明 若是矩阵 M M 对应于特征值的特征向量 则也是矩阵 M M 对应于特征值 0 kk 的特征向量 6 给定矩阵 2 2 30 21 BA 1 求 A 的特征值 及对应的特征向量 21 21 aa 2 求 A4B 7 已知点列满足且 111222 nnn P x yP xyP xy 1 1 20 5 30 5 nnn nnn xxy yxy 问当逐渐变大时 有何变化趋势 11 1 2 1 2 3xyn n nnn P xy 8 写出图示网络表示的一级路矩阵和二级路矩阵 图 2 的圆圈表示自己到自己有 1 条线路 9 已知甲 乙两个种群相互影响 其数量分别为 且有关系 nn ab 11 20 30ab 式 试求 10 个时段后甲 乙两个种群的数量 1 1 1 10 3 0 20 4 nnn nnn aab bab 10 某运动服销售店经销 A B C D 四种品牌的运动服 其尺寸分别有 S 小号 M 中号 L 大号 XL 特大号 四种 一天内该店的销售情况如下表所示 单位 件 假设不同品 牌的运动服的利润是 A 为 20 元 件 B 为