刘改琴---振动、波动部分答案

大学物理学 振动和波 振振 动动 班级班级 学号学号 姓名姓名 成绩成绩 内容提要内容提要 1 简谐振动的三个判据 1 2 3 2 描述简谐振动的特征量 A T T 1 2 2 T 3 简谐振动的描述 1 公式法 2 图像法 3 旋转矢量法 4 简谐振动的速度和加速度 2 cos sin v 00 tvtA dt dx m a 0m0 2 2 2 tatcos dt xd A 5 振动的相位随时间变化的关系 6 简谐振动实例 弹簧振子 单摆小角度振动 复摆 T 20 mgh dt d 2 2 Jmgh J 7 简谐振动的能量 222 m 2 1 k 2 1 AAE 系统的动能为 tsinm 2 1 mv 2 1 2222 AEK 系统的势能为 t cosk 2 1 kx 2 1 222 AEP 8 两个简谐振动的合成 1 两个同方向同频率的简谐振动的合成 合振动方程为 tcosxA 其中 其中 2 两个同方向不同频率简谐振动的合成 拍 当频率较大而频率之差很小的两个同方向简谐运动合成时 其合振动的振幅表现为时而加强时而 减弱的现象 拍频 12 3 两个相互垂直简谐振动的合成 合振动方程 为椭圆方程 12 2 12 21 2 2 2 2 1 2 sin cos xy2yx AAAA 练习一练习一 一 填空题 1 一劲度系数为 k 的轻弹簧 下端挂一质量为 m 的物体 系统的振动周期为 T1 若将此弹簧截去一半的 长度 下端挂一质量为 m 2 的物体 则系统的周期 T2等于 2 一简谐振动用余弦函数表示 其振动曲线如图所示 则此简谐振动 的三个特征量为 A 3 如图 一长为 的均匀细棒悬于通过其一端的光滑水平固定轴上 做成一复摆 l已 知细棒绕过其一端的轴的转动惯量 J 此摆作微小振动的周期为 3 2 ml 4 试在下图中画出谐振子的动能 振动势能和机械能随时间而变化的三条曲线 设 t 0 时物体经过平衡位置 5 图中所示为两个简谐振动曲线 若以余弦函数表示这两个振动的 合成结果 则合振动的方程为 二 计算题 1 水面上浮沉的木块是在作简谐振动吗 如果是 其周期是多少 假设木块的边长为 L 平衡时浸入水 中的高度为 h 2 弹簧振子的运动方程为 写出此谐振动的振幅 角频率 频率 周期和 30 0 7 0cos 40 0 SItx 初相 3 一个弹簧振子沿 x 轴作简谐振动 已知弹簧的劲度系数为 物体质量为 m 0 1kg 在mNk 0 15 t 0 时物体对平衡位置的位移 速度 写出此简谐振动的表达式 mx05 0 0 smv 82 0 0 4 一质点沿 x 轴作简谐振动 振幅 A 0 12m 周期 T 2s 当 t 0 时 质点对平衡位置的位移 x0 0 06m 此时刻质点向 x 正向运动 求 1 简谐振动的运动方程 2 t T 4 时 质点的位移 速度 加速度 5 有一个质点参与两个简谐振动 其中第一个分振动为 合振动为 tx cos3 0 1 tx sin4 0 求第二个分振动 6 一弹簧振子 弹簧的劲度系数 k 25N m 1 当物体以初动能 0 2J 和初势能 0 6J 振动时 求 1 振幅 2 位移是多大时 势能和动能相等 3 位移是振幅的一半时 势能是多大 大学物理学 振动和波 波波 动动 班级班级 学号学号 姓名姓名 成绩成绩 内容提要内容提要 1 波动的描述 1 波的几何描述 波线 波面 波前 在各项同性介质中 波线总垂直于波面 2 描述波动的物理量波长 波的周期 波速 三者的关系为 Tu 2 波线上两点之间的波程 l 两点振动的相位差为 3 平面简谐波的波动方程 式中负号对应于正行波 正号对应于反行波 4 波的能量和能流 1 波的能量 体积元的总机械能为 u x tsin www 222 pk VA 2 平均能量密度 22 2 1 v w A 3 平均能流密度 u 2 1 u 22 A S P I 5 波的干涉 1 波的干涉条件 两列波的振动方向相同 频率相同和相位差恒定 2 干涉加强 减弱条件 为干涉极大点 若为干涉极小点 6 驻波和半波损失 1 驻波方程 txcos 2 cos2yyy 21 A 2 波腹 k 0 1x 2 cos k 2 2 kx 21 波节 0 x x 2 cos 2 2 12k 210k 4 12k 3 半波损失 波从波疏介质入射到波密介质 在分界面处反射时 反射点有半波损失 即有相位 的 突变 出现波节 波从波密介质入射到波疏介质 反射点没有半波损失 出现波腹 7 多普勒效应 若波源 观察者或两者同时相对介质运动时 观察者所接收到的频率不同于波源的频 率 若波源的频率为 则观察者接收到的频率为 其中 u 为波速 u 0 0 s v u vu R R 为观察者相对介质的速度 为波源相对介质的速度 R v s v 练习二练习二 一 选择题 1 一平面简谐波表达式为 则该波的频率 Hz 波速及 2 sin05 0SIxty u sm 波线上各点的振幅 A m 依次为 A 0 05 B 1 0 05 C 0 05 D 2 2 0 05 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 把一根十分长的绳子拉成水平 用手握其一端 维持拉力恒定 使绳端在垂直于绳子的方向上作简谐 运动 则 A 振动频率越高 波长越长 B 振动频率越低 波长越长 C 振动频率越高 波速越大 D 振动频率越低 波速越大 3 一平面简谐波沿 Ox 正方向传播 波动方程为 该波在 t 0 5s 时 2 42 2cos 10 0 SI xt y 刻的波形图是 4 一平面谐波在弹性介质中传播 在介质元从最大位移处返回平衡位置的过程中 A 它的势能转换为动能 B 它的动能转换为势能 C 它从相邻一段介质元中获得能量 其能量逐渐增加 D 它把自己的能量传给相邻的一段介质元 其能量逐渐减少 二 填空题 1 已知 14 时空气中的声速为 340 m s 人可以听到频率为 20 20 00OHz 范围内的声波 可以引起听 觉的声波在空气中波长的范围约为 2 在简谐波的一条射线上 相距 0 2 m 的两点的振动相位差为 又知振动周期为 0 4s 则波长为 6 波速为 3 一平面简谐波沿 Ox 轴传播 波动方程为 则处介质质点振 2cos xtAyLx 1 动的初相位是 与处质点振动状态相同的其他质点的位置是 与处质 1 x 1 x 点速度大小相同 但方向相反的其他各质点的位置是 4 球面波在各向同性均匀介质中传播 已知波源的功率为 100 W 若介质不吸收能量 则距波源 10m 处的波的平均能流密度为 5 机械波在介质中传播 当某一质元振动动能相位是 时 它的弹性势能的相位是 2 6 一驻波中相邻两波节的距离为 d 5 00cm 质元的振动频率为 则形成该驻波的两HZ 3 101 0 个相干行波的传播速度 u 和波长 三 计算题 1 有平面简谐波沿 x 轴正方向传播 波长为 见下图 如果 x 轴上坐标为x0处质点的振动方程为 试求 1 波动方程 2 坐标原点处质点的振动方程 3 原点处质点的速度 cos 0 0 tAyx 和加速度 2 一简谐波逆着 x 轴传播 波速 u 8 0m s 设 t 0 时的波形曲线如图所示 求 1 原点处质点的振动 方程 2 简谐波的波动方程 3 t 时的波形曲线 T 4 3 3 用聚焦超声波的方法 可以在液体中产生强度达 120kW cm2的超声波 设波源作简谐振动 频率为 500kHz 水的密度为103kg m3 声速为 1500m s 求这时液体质点的位移振幅 速度振幅和加速度振幅 4 在 x 轴上有两个波源 S1的位置在x1 0处 S2的位置在x2 5处 它们的振幅均为 a S1的相位比 S2超前 2 假设每个波源都向 x 轴的正方向和负方向发出简谐波 每列波都可以传播到无穷远处 波 长为 4 1 求 x5 区间合成波的振幅 5 速度的火车和速度的火车 B 相向行驶 火车 A 以频率 1 20 smvs 1 15 smvr 鸣汽笛 就下列情况求火车 B 中乘客听到的声音频率 设声速为 340 HZ500 1 sm 1 A B 相遇之前 2 A B 相遇之后 大学物理学 振动和波 振动 波动自测题振动 波动自测题 班级班级 学号学号 姓名姓名 成绩成绩 一 选择题一 选择题 共 共 3030 分 分 1 一个弹簧振子和一个单摆 只考虑小幅度摆动 在地面上的固有振动周期分别为T1和T2 将它们拿 到月球上去 相应的周期分别为和 则有 1 T 2 T A 且 B 且 11 TT 22 TT 11 TT 22 TT C 且 D 且 11 TT 22 TT 11 TT 22 TT 2 一轻弹簧 上端固定 下端挂有质量为 m 的重物 其自由振动的周期为 T 今已知振子离开平衡位置 为 x 时 其振动速度为 v 加速度为 a 则下列计算该振子劲度系数的公式中 错误的是 A B 2 max 2 max vxmk xmgk C D 22 4Tmk xmak 3 一质点作简谐振动 其运动速度与时间的曲线如图所示 若质点的振动规律用余弦函数描述 则其初 相应为 A B C 6 6 5 6 5 D E 6 3 2 4 一质点在 x 轴上作简谐振动 振辐 A 4 cm 周期 T 2 s 其平衡位置取作坐标原点 若 t 0 时 刻质点第一次通过 x 2 cm 处 且向 x 轴负方向运动 则质点第二次通过 x 2 cm 处的时刻为 A 1 s B 2 3 s C 4 3 s D 2 s 5 图中三条曲线分别表示简谐振动中的位移 x 速度 v 和加速度 a 下列说法中哪一个是正确的 A 曲线 3 1 2 分别表示 x v a 曲线 B 曲线 2 1 3 分别表示 x v a 曲线 C 曲线 1 3 2 分别表示 x v a 曲线 D 曲线 2 3 1 分别表示 x v a 曲线 E 曲线 1 2 3 分别表示 x v a 曲线 6 在下面几种说法中 正确的说法是 x v a t O 12 3 v m s t s O vm m v 2 1 A 波源不动时 波源的振动周期与波动的周期在数值上是不同的 B 波源振动的速度与波速相同 C 在波传播方向上的任一质点振动相位总是比波源的相位滞后 按差值不大于计 D 在波传播方向上的任一质点的振动相位总是比波源的相位超前 按差值不大于计 7 一简谐横波沿 Ox 轴传播 若 Ox 轴上 P1和 P2两点相距 其中为该波的波长 则在波的传播8 过程中 这两点振动速度的 A 方向总是相同 B 方向总是相反 C 方向有时相同 有时相反 D 大小总是不相等 8 下列函数 f x t 可表示弹性介质中的一维波动 式中 A a 和 b 是正的常量 其中哪个函数表示沿 x 轴负向传播的行波 A B cos btaxAtxf cos btaxAtxf C D btaxAtxfcoscos btaxAtxfsinsin 9 图中画出一平面简谐波在 t 2 s 时刻的波形 图 则平衡位置在 P 点的质点的振动方程是 A 3 1 2 cos 01 0 tyP SI B 3 1 2 cos 01 0 tyP SI C SI 3 1 2 2cos 01 0 tyP D SI 3 1 2 2cos 01 0 tyP 10 如图所示 S1和 S2为两相干波源 它们的振动方向均垂直于图 面 发出波长为 的简谐波 P 点是两列波相遇区域中的一点 已知 两列波在 P 点发生相消干 2 1 PS 2 2 2 PS 涉 若S1的振动方程为 则S2的振动 2 1 2cos 1 tAy 方程为 A B 2 1 2cos 2 tAy 2cos 2 tAy C D 2 1 2cos 2 tAy 1 02cos 2 2 tAy 二 填空题 共 共 3030 分 分 1 一弹簧振子作简谐振动 振幅为 A 周期为 T 其运动方程用余弦函数表示 若 t 0 时 1 振子在负的最大位移处 则初相为 y m x m 0 005 0 01 u 200 m s P O 100 S1 S2 P x t 0 O 2 振子在平衡位置向正方向运动 则初相为 3 振子在位移为 A 2 处 且向负方向运动 则初相为 2 图中用旋转矢量法表示了一个简谐振动 旋转矢量的长度为 0 04 m 旋转角 速度 4rad s 此简谐振动以余弦函数表示的振动方程为 x SI 3 一水平弹簧简谐振子的振动曲线如图所示 当振子处在位移为零 速度为 A 加速度为零和弹性力为零的状态时 应对应 于曲线上 的 点 当振子处在位移的绝对值为 A 速度为零 加速度为 A 和弹性力为 kA 的状态时 应对应于曲线上的 2 点 4 一物块悬挂在弹簧下方作简谐振动 当这物块的位移等于振幅的一半时 其动能 是总能量的 设平衡位置处势能为零 当这物块在平衡位置时 弹簧的长度比原长长 这一振动系统的周期为 l 5 一平面简谐波的表达式为 其中 x u cosuxtAy cos uxtA 表示 表示 ux y 表示 6 一列波由波疏介质向波密介质传播 在两介质的分界面上反射 则反射波的相位将 这个现象称为 7 设沿弦线传播的一入射波的表达式为 2cos 1 x T t Ay 波在 x L 处 B 点 发生反射 反射点为固定端 如图 设波在传播和反射过 程中振幅不变 则反射波的表达式为 y2 8 如图所示 一列平面波入射到两种介质的分界面上 AB 为 t 时刻的波前 波从 B 点传播到 C 点需用时间 已知波在 介质 1 中的速度u1大于波在介质 2 中的速度u2 试根据 惠更斯 原理定性地画出 t 时刻波在介质 2 中的波前 9 一个波源位于 O 点 以 O 为圆心作两个同心球面 它们的半径分别为R1和R2 在两个球面上分别取相 等的面积和 则通过它们的平均能流之比 1 s 2 s 21 P P 10 多普勒效应指的是 三 计算题 共三 计算题 共 4040 分 分 1 水面上浮沉的木块是在作简谐振动吗 如果是 其周期是多少 假设木块的边长为 L 平衡时浸入水 x t O A A a b c d e f y x L B O A B C 介质 1 介质 2 中的高度为 h 2 质量为 m 的质点沿 y 轴运动 其振动方程为 y 试求 mt 2 5cos 06 0 1 质点在起始位置时所受的力 2 s 时的位移 速度和加速度 t 3 质点运动到什么位置时 动能和势能相等 4 质点从平衡位置移动到动能和势能相等位置处所需要的最短时间 3 一简谐波 振动周期s 波长 10 m 振幅 A 0 1 m 当 t 0时 波源振动的位移恰 2 1 T 好为正方向的最大值 若坐标原点和波源重合 且波沿 Ox 轴正方向传播 求 1 此波的表达式 2 t1 T 4时刻 x1 4处质点的位移 3 t2 T 2时刻 x1 4处质点的振动速度 4 如图 一平面波在介质中以波速 u 20 m s 沿 x 轴负方向传播 已知 A 点的振动方程为 SI ty 4cos103 2 1 以 A 点为坐标原点写出波的表达式 2 以距 A 点 5 m 处的 B 点为坐标原点 写出波的表达式 振振 动动 AB x u 一 填空题 一 填空题 1 2 2 1 T 10cmA 1 6 srad 3 3 g l 3 2 2 4 略 略 5 SI 2 cos 04 0 21 txxx 二 计算题 二 计算题 1 解 是 解 是 假设木块的边长为假设木块的边长为 L 平衡时浸入水中的 平衡时浸入水中的 高度为高度为 h 平衡时平衡时 hglFmg 2 水浮 在任一位置时 在任一位置时 xllxhhglFmgFg g 222 水水水浮 令令 K g 2 水 l 则则 K 是一个常数 表明木块是一个常数 表明木块 KxF 所作的运动是简谐振动 所作的运动是简谐振动 由由 可得木块运动的微分方程 可得木块运动的微分方程 2 2 dt xd mF 为 为 2 2 dt xd 0 2 mxgl 水 令令 可得其振动周期为 可得其振动周期为 ml g 22 水 2 2 2 lgmT 水 2 解 与简谐振动方程的标准形式 解 与简谐振动方程的标准形式 比较可知 比较可知 tAxcos 振幅 振幅 A 0 40m 角频率 角频率 故周期 故周期 70 0 1 srad 97 8 7 0 22 sT 频率 频率 111 0 2 HZ 初位相 初位相 30 0 rad 3 解 解 设设 简谐振动的表达式为 简谐振动的表达式为 tAxcos 角速度 角速度 2 12 1 0 15 1 s m k A 由初始条件决定 再由由初始条件决定 再由 1038 8 2 12 82 0 05 0 2 2 2 2 2 2 0 2 0 m v xA radarctgarctg x v arctg21 2 93 034 1 05 0 2 12 82 0 0 0 由于由于故故 005 0 cos 0 mAx rad93 0 于是 以平衡位置为原点所求简谐振动的于是 以平衡位置为原点所求简谐振动的 表达式应为表达式应为 m m 4 解 解 1 取平衡位置为坐标原点 设位取平衡位置为坐标原点 设位 移表达式为 移表达式为 tAxcos 其中其中 A 0 12m 1 2 ST 用矢量图来求初相用矢量图来求初相 由初始条件 由初始条件 t 0 时时 x0 0 06m A 2 质点向 质点向 x 正正 向运动 可画出如图向运动 可画出如图 a 所示所示 的旋转矢量的初始位置 图中的旋转矢量的初始位置 图中 略去了参考圆 略去了参考圆 从而得出 从而得出 于 于 是此简谐振动的运动方程为是此简谐振动的运动方程为 2 此简谐振动的速度为此简谐振动的速度为 加速度为加速度为 将将 代入谐振方程 速代入谐振方程 速 度和加速度的表达式可分别得质点在度和加速度的表达式可分别得质点在 t 0 5s 时的位移为时的位移为 x 0 104m 速度为速度为 加速度为加速度为 此时刻旋转矢量的位置如图此时刻旋转矢量的位置如图 b 所示 所示 5 解 由旋转矢量法解 解 由旋转矢量法解 把合振动改写为把合振动改写为 2 cos 4 0 tx t 0 时振动合成的矢量图 如右时振动合成的矢量图 如右 上 上 由于图中的直角三角形 由于图中的直角三角形 OPQ 正好满正好满 足足 勾三股四弦五勾三股四弦五 的条件 于是可直接的条件 于是可直接 由勾股定理得到第二个分振动的振幅 即由勾股定理得到第二个分振动的振幅 即 它的旋转矢量它的旋转矢量 A2 的长度的长度 A2 0 5 亦可直 亦可直 接得到第二个分振动的初相位 即旋转矢接得到第二个分振动的初相位 即旋转矢 量量 A2 与与 x 轴的夹角轴的夹角 故第二个分振动 故第二个分振动 为为 6 解 解 1 由机械能守恒定律 由机械能守恒定律 2 00 2 1 KAEEE PK 得振幅为 得振幅为 A 253 0 25 6 02 0 2 2 00 m K EE PK 2 由题意 由题意 E 22 1 002PK P EE kxE 179 0 25 6 02 0 00 m K EE x KP 3 当 当时 时 2 Ax 势能势能 2 0 6 02 0 4 1 4 1 8 1 2 2 1 00 22 PKP EEKA A KE J 波波 动动 一 一 选择题 选择题 1 C 2 B 3 B 4 c 二 二 填空题 填空题 1 17 1 7 2 2 4 m 2 10 m sm 0 6 3 L L2 3 2 1 KKL 2 12 K 4 1096 7 104 100 4 22 22 0 mw r I I 5 2 6 波长 波长 2d 0 1m 速度 速度 smu 100 三 计算题 三 计算题 1 解解 1 设考察点为设考察点为 x 轴上任意一点 坐标为轴上任意一点 坐标为 x 从 从 x0 到到 x 的波程为的波程为 x x0 按相位落后 按相位落后 的关系 的关系 x 处质点的振动相位比处质点的振动相位比 x0质点落质点落 后后 故 故 x 轴上任意一点的振动轴上任意一点的振动 方程 即波动方程为方程 即波动方程为 1 1 2 2 把把x 0 x 0带入带入 1 1 式 即得原点处质点的式 即得原点处质点的 振动方程振动方程 3 3 原点处质点的速度为原点处质点的速度为 加速度为加速度为 2 2 解 解 1 1 由波形曲线图可看出 波的振幅由波形曲线图可看出 波的振幅 A 0 02mA 0 02m 波长 波长 2 0 2 0 故波的频率为 故波的频率为 角频率为 角频率为 从图中还可以看出 从图中还可以看出 t 0t 0时原点处质点的位移为零 速度为正时原点处质点的位移为零 速度为正 值 可知原点振动的初相为值 可知原点振动的初相为 2 2 故原 故原 点的振动方程为点的振动方程为 2 2 设设x x轴上任意一点的坐标为轴上任意一点的坐标为x x 从该 从该 点点到到原点的波程为原点的波程为x x 按相位落后与距离 按相位落后与距离 的关系 的关系 x x处质点振动的时间比原点处质处质点振动的时间比原点处质 点超前点超前 故 故x x轴上任意一点的振动轴上任意一点的振动 方程 即波动方程为方程 即波动方程为 3 3 经过经过 3 3T T 4 4 后的波形曲线应比图中的后的波形曲线应比图中的 波形曲线向左平移波形曲线向左平移 3 43 4 也相当于向 也相当于向 右平移右平移 4 4 图略 图略 3 解解因波强因波强 所以 所以 4 解解 1 1 在在x 0 x 0区间 如图所示 两区间 如图所示 两 个波源个波源S S1 1和和S S2 2发出的反行波相互干涉形发出的反行波相互干涉形 成反行波 设考察点成反行波 设考察点P P的坐标为任意的坐标为任意 x x S S1 1和和S S2 2到到P P点的波程差为点的波程差为与与x x无无 关 按干涉极值公式 在关 按干涉极值公式 在P P点干涉的相位点干涉的相位 差是差是 与与P P点的位置无关 则该区间的合振幅点的位置无关 则该区间的合振幅 应为极小值 即两列波振幅之差 由于应为极小值 即两列波振幅之差 由于 两列波的振幅相等 故和振幅两列波的振幅相等 故和振幅 A 0A 0 即在即在x 0 x5x 5区间 如图所示 两波源发出区间 如图所示 两波源发出 的正行波干涉形成正行波 设考察点的正行波干涉形成正行波 设考察点Q Q 的坐标为任意的的坐标为任意的x x S S1 1和和S S2 2到到Q Q点的波点的波 程差程差 干涉的相位差 干涉的相位差 按干涉极值公式 该区间的合振幅为极按干涉极值公式 该区间的合振幅为极 大 即两列波振幅之和大 即两列波振幅之和 A 2aA 2a 5 5 解 解 1 1 A A B B 相遇以前 二车相相遇以前 二车相 向运动向运动 B B 中乘客听到汽笛的频率为中乘客听到汽笛的频率为 555500 20340 15340 HZv vu uu v s s s 2 2 A A B B 相遇之后 二车相背运动 相遇之后 二车相背运动 B B 中乘客听到中乘客听到 A A 汽笛的频率为汽笛的频率为 451500 20 340 15 340 HZv vu uu s s r r 振动和波动自振动和波动自 测题测题 一 一 选择题 选择题 1 D 2 B 3 C 4 B 5 E 6 C 7 C 8 A 9 C 10 D 二 填空题二 填空题 2 2 2 1 4cos 04 0 t 3 b f a e 4 3 4 gl 2 5 波从坐标原点传至 波从坐标原点传至 x 处所需时间 处所需时间 x 处质点比原点处质点滞后的振动相处质点比原点处质点滞后的振动相 位位 t 时刻时刻 x 处质点的振动位移处质点的振动位移 6 有 有 的相跃变 半波损失 的相跃变 半波损失 7 或或 2 2 2cos Lx T t A 2 2 2cos