专题六---几何探究题的解题思路

专题六专题六 几何探究题的解题思路几何探究题的解题思路 一 方法简述一 方法简述 随着中考的改革 几何的综合题不再是定格在 条件 演绎 结论 这样封闭的模式 中 而是必须利用题设大胆猜想 分析 比较 归纳 推理 或由条件去探索不明确的结论 或 由结论去探索未给予的条件 或讨论存在的各种可能性 探索图形的运动 变换规律更是中考的 热点题型 解决此类问题 数学思想的合理应用起着关键性的作用 一个题目往往需要几个思想 方法交织应用 二 思想方法二 思想方法 1 分类讨论思想分类讨论思想 分类讨论思想是数学中的重要思想方法之一 数学中的许多问题由于题设交代笼统 需要 进行讨论 另外由于题意复杂 包含情况多也需要讨论 分类是按照数学对象的相同点或差异 点 将数学对象分为不同种类的方法 其目的是复杂问题简单化 正确的分类必须周全 不重 不漏 分类的原则是 1 分类中的每一部分必须是独立的 2 一次分类必须是一个标准 3 分类讨论应逐级进行 2 2 数形结合思想数形结合思想 数型结合就是将数和有关的图形结合起来 通过对图形的研究探索数量之间的关系 从而 达到解决问题的方法 利用数型结合思想 可以将复杂的形化为具体的数 由形索数 由数导 形 将数形有机地结合起来 加强数形思想的训练 对巩固数学知识 提高问题的解决能力 至关重要 3 3 函数与方程思想函数与方程思想 函数关系是指某个变化过程中两个变量之间的对应关系 方程是由已知量和未知量构成的 矛盾的统一体 它是由已知探知未知的桥梁 从分析问题的数量关系入手 抓住问题的函数关 系或等量关系 用数学语言将函数或等量关系转化为函数关系式或方程式 在通过函数的性质 或方程的理论使问题获得解决的思想方法 就称为函数与方程思想 4 4 转化与化归思想转化与化归思想 转化与化归思想 也是初中数学常用的思想方法之一 是将不熟悉的问题转化 归结成熟 悉问题的思想方法 就是将待解决的问题 通过分析 联想 类比等过程 选择恰当的方法进 行变换 转化到已解决或比较容易解决的问题上 最终达到解决问题的目的 解决问题的过程 图 3 y x O P D C B A 图 2 P D C B A 图 1 P D C B A 实际上就是转化的过程 转化与化归原则主要有 熟悉化原则 简单化原则 直观性原则 正 难则反原则 三 典例分析三 典例分析 例 1 阅读理解 阅读理解 如图 1 在直角 梯形中 ABCDABCD O 90B 点在边上 当 时 PBC O 90APD 易证 从而得到 ABP PCD CDABPCBP 解答下列问题 1 模型探究 模型探究 如图 2 在四边形中 ABCD 点在边上 当 时 PBCBCAPD 求证 CDABPCBP 2 拓展应用 拓展应用 如图 3 在四边形中 ABCD 4 AB 6 CD10 BC B O 60C 于点 以为原点 以所在的直线AOBCOOBC 为轴 建立平面直角坐标系 点为线段上一动点 不与端点 重合 xPOCOC 当 时 求点的坐标 O APD60 P 过点作 交轴于点 设 求与的函数关系式 PPEPDyExOP yOE yx 并写出自变量的取值范围 x 1 证明 如图 2 1 180 B 2 3 180 APD 2 B APD 00 1 3 又 B C ABP PCD CD BP PC AB CDABPCBP 2 如图 3 当 APD 60 时 OB 0 2 2 1 AB 设 P 点坐标为 x 0 0 x 8 则 BP 2 x PC 8 x 图 3 图 2 y x E2 E1 M P2P1P O D C B A 3 2 1 32 1 P D C B A B C APD 60 0 即 2 x 8 x 解得 x 2 4CDABPCBP 64 12 x 点 P 的坐标为 P 2 0 或 P 4 0 解法一 如图 3 过点 D 作 DM x 轴于点 M 则 CM DM OM 53 2 1 CD33 当点 P 在线段 OM 上设为 P P M x 5 0 x 5 11 E OP DMP E P D 90 11111 0 OP P M OE DM 即 0 x 5 111 xx 5 33 yxxy 9 35 9 3 2 当点 P 在线段 CM 上设为 P P M x 5 5 x 8 22 1 3 90 2 3 90 1 2 Rt E OP Rt P MD 00 222 即 x x 5 DM OP MP OE 2 2 2 DMOEMPOP 222 33 y 5 x 8 xxy 9 35 9 3 2 解法二 如图 3 过点 D 作 DM x 轴于点 M 则 CM DM OM 5 D 5 3 2 1 CD3333 当点 P 在线段 OM 上设为 P P M 5 x 0 x 5 连接 DE 11 即 x y 5 2 1 2 1 2 11 DEDPPE x5 22 y 2 33 2 33 22 0 x 5 xxy 9 35 9 3 2 当点 P 在线段 CM 上设为 P P M x 5 5 x 8 连接 DE 222 即 5 y 5 2 2 2 2 2 22 DEDPPE xxy 22 2 33 2 33 22 5 x 8 xxy 9 35 9 3 2 评析 本题通过 阅读理解 模型探究 拓展应用 三环节问题设置 实际上向学生展示 3 2 P N M F E D C B A P F E D CB A 1 F E O D CB A 了一个研究具有一般性问题的较完整的过程 先从这个一般性问题的 特殊 图 1 为直角情 形 入手 到 一般 图 2 为非直角情形 再从 一般 问题 2 上升到新背景中的 特殊 问题 2 使学生经历了 特殊 一般 特殊 由浅入深 归纳与演绎交替变 化的思维过程 试题在第一环节中提供了 易证 的启示 学生在解破ABP PCD 易证 中的具有广泛意义的思考或研究方法 即所谓 一般性方法 后 就能类比解决后 续的各个问题 考查学生利用类比方法进行自主探究学习的能力 本题的价值不仅在于环环相扣 层层推进的精彩设置 更在于其本身突出地展示着 一般性方法 的深刻含义和普遍适用性 能掌握并善于运用一般性方法 就显示出较高的数学学习能力 例例 2 已知菱形的边长为 1 等边两边分别交边 ABCD 0 60ADC AEF DC 于点 CBEF 1 特殊发现 如图 1 若点 分别是边 的中点 求证 菱形对角线EFDCCBABCD 的交点即为等边的外心 ACBDOAEF 2 若点 始终在分别在边 上移动 记等边的外心为点 EFDCCBAEF P 猜想验证 如图 2 猜想的外心落在哪一直线上 并加以证明 AEF P 拓展运用 如图 3 当面积最小时 过点任作一直线分别交边于点 AEF PDAN 交边的延长线于点 试判断是否为定值 若是 请求出该定值 若不DCM 11 DMDN 是 请说明理由 解 1 证明 如图 1 分别连接 OEOF 四边形是菱形ABCD 平分 ACBD BDADC BCDCAD O AODCOBCOD90 OO ADCADO3060 2 1 2 1 又 分别为 中点EFDCCB CDOE 2 1 BCOF 2 1 ADAO 2 1 O 图 1 F E D CB A 点即为的外心OAOFOE OAEF 2 猜想 外心一定落在直线上PDB 证明 如图 2 分别连接 过点分别作于 于 PEPAPPICD IPJAD J 则 O PJDPIE90 O ADC60 JDIPJDPIEIPJ O 360 OOOOO IPJ120609090360 点是等边的外心 PAEF O EPA120 PAPE EPAIPJ JPAIPJ PIE PJA PJPI 点在的平分线上 即点落在直线上PADC PDB 分析 证点落在的平分线上 也就证明点到直线 的距离相等 如PADC PADAC 此便可构造两个直角三角形证明全等 若考虑对角互补 便可联想到四点共圆 从而利用圆的性质便有下面两种解法 另解法一 分别连接 四边形是菱形 PAPCPDABCD O ADC60 O BCD120 CDAD 点是等边的外心 PAEF O EAF60 O BCEEAF180 四点共圆 AFCEPCPA DCDA CDP ADP ADPCDP 落在的平分线上 即点落在直线上 PADC PDB 另解法二 分别连接 PAPEPD 点是等边的外心PAEF O EPA120 PAPE O PEA30 O EPAADC180 四点共圆 APED O PEAPDA30 图 2J I P F E D CB A 图 3 P F E D CB A 图 4 P F E D CB A 图 5 P M G F E D CB A N 落在的平分线上 即点落在直线上 PADC PDB 为定值 2 11 DMDN 当时 面积最小 AEDC AEF 此时点 分别为 中点EFDCCB 连接 交于点 由 1 BDACP 可得点即为的外心PAEF 解法一 如图 设交于点MNBCG 设 则 0 0 DMx DNy xy 1CNy 且 是的中点 BCDADABC PBDGBP MDP xDMBG xCG 1BCDANCG NDM 即 DM CG DN CN x x y y 11 xyyx2 2 11 yx 2 11 DNDM 分析 观察图形 得到结论 把 1 用或代替 把要计算的线段或相CGAM ADCD 关线段集中到两个相似的三角形 中 并把长度用字母表示 化简含字母的NCG NDM 代数式从而得到结论 依据此策略 可得到解法二 三 四 解法二 如图 连接 点 分别为 的中点PEPEACDC 2 1 2 1 DAPEPEDA NEP NDM DM EP ND NE 设 则 DMx DNy 2 1 yNE xy y 2 1 2 1 yxxy 2 1 2 1 2 11 2 11 DNDMyx 则 解法三 过点作直线 交于点 GGHCDADH GHCDHMG DMN DM HM DN HG DM DMDM DM AMDM DN 1 1 2 11 DNDM 图 6 P N M GF E D CB A H 图 7 P N M GF E D CB A 解法四 过点作直线 交于点 过点作 交于 CCKMNBDKAAHMNBDH CKMNAHMN DCK DNP DMP DAH DP DK DN DC DP DH DM DA DP DK DN 1 DP DH DM 1 DP DHDK DNDM 11 由 得 CKP AHP HPKP DPDHDK2 2 11 DNDM 解法五 如图 过点作于 于 则PPIDC IPJDA J 3 4 PIPJ DMNDMPDNP SSS o DNDMPJDMPIDN60sin 2 1 2 1 2 1 2 3 2 1 4 3 2 1 4 3 2 1 DNDMDMDN DNDMDNDM 22 11 DNDM 分析 因为 而正与的面积有关 其中 11DMDN DMDNDMDN DMDN DMN 也可以看成是将分为和后 计算面积过程中涉及的底边 DMDNDMN DNP DMP 这种对所求的结论作等份变形 找寻解题思路的方法是我们分析问题时常采用的一种重要方法 解法六 如图 4 以点为坐标原点 所在直线为轴 建立平面直角坐标系DDAx 设直线的解析式为MNykxb 可求得点的坐标为 P 33 44 33 44 kb kb 4 3 4 3 直线的解析式为MNkkxy 4 3 4 3 K H 图 8 P N M GF E D CB A 图 9 J I N M P F E D C B A 图 10 y x P MO F E D CB A N 求得直线的解析式为DN3yx 令 33 3 44 kxkx 33 44 3 k x k 3 2 3 2 3 60cos k k x DN o 令 33 0 44 kxk 33 44 k x k k k DM 4 3 4 3 2 33 2 1 33 2 3 2 3 3 4 3 4 3 11 k k k k k k DNDM 评析 本题是一道集阅读理解 实验操作 猜想证明 应用探究于一体的综合题型 试题 以菱形中的一个等边三角形旋转作为载体 综合考查了等边三角形 菱形两个基本图形的性质 同时考查了等边三角形的外心 中心 三角形的中位线 相似 全等等初中数学几何主干知 识 试题源于教材 立足数学通性 通法 具有公平性 原创性 既紧扣双基 又突出能力要 求 本题就改变了传统几何证明题的模式 已知 求证 证明 将合情推理与演绎推理有机 融合在一起 试题引导学生学会一种解决问题的策略 试验 发现 联想 推广 其新意主 要体现在让学生在操作 实验等尝试性活动中表现出对基础知识的理解水平 对图形的分解与 组合的能力 考查了学生的分析 观察 猜测 验证 计算与推理能力 本题结论开放 方法 开放 思路开放 能有效地反映高层次思维 融会了特殊与一般 转化思想 数学建模思想 函数思想 数形结合思想 其中第一道小题在静态图形中考查了特殊点下等边三角形外心 中心 的的判定 属于 基础题 第二问为先猜想 因有第一步作铺垫不难猜测点 P 落在直线 DB 上 证点 P 落在 ADC 的平分线上 也就证明点 P 到直线 AD AC 的距离相等 结论转换 如此便可构造两 个直角三角形证明相等 思路自然 知识基本 方法核心 属于能力考查范围 第 2 小 题第 以探究性问题让学生先判断 后推理 重思维 轻计算 对学生的思维能力要求较高 四 强化训练四 强化训练 1 如图 在矩形ABCD中 9AB 3 3AD 点P是边BC上的动点 点P不与 点B 点C重合 过点P作直线PQBD 交CD边于Q点 再把PQC 沿着动直线 PQ对折 点C的对应点是R点 设CP的长度为x PQR 与矩形ABCD重叠部分的面 积为y 1 求CQP 的度数 2 当x取何值时 点R落在矩形ABCD的AB边上 3 求y与x之间的函数关系式 2 如图 1 在中 是边上一点 是在ABCRt 0 90 C6 BCACDABE 边上的一个动点 与点 不重合 与射线相交于点 ACACDEDF DFCBF 1 如图 1 如果点是边的中点 求证 DABDFDE D Q C B P R A 第 1 题图 B A DC 备用图 1 B A DC 备用图 2 备用图图 2图 1 D C BA F E D C BA F E D C BA 2 如图 2 如果 求的值 m DB AD DF DE 3 如果 设 求关于的函数关系式 并写出的取值范 2 1 DB AD xAE yBF yxx 围 3 四边形是矩形 点是射线上的一个动点 点不ABCD2 AB3 ADMDCM 与点重合 是点关于的对称点 射线交射线于 设 DNMADAMBCEmDM 2 D C B A 1 N M E D C B A 的面积为 nCE ANE S 1 如图 1 当点在边上运动时 试用的代数式表示 并写出的取值范围 MDCmnm 2 当点在射线上运动时 判断的面积是否为定值 若是定值 请求出MDCANE S 该定值 若不是 请用的代数式表示 并写出的取值范围 mSm 4 已知 在矩形中 四边形的三个顶点 ABCD10 AB12 BCEFGHE 分别在矩形边 DA上 FHABCDABBC2 AE 2 1 H H G F E D CB A G F E D CB A 1 如图 1 当四边形为正方形时 求的面积 EFGHGFC 2 如图 2 当四边形为菱形 且时 求的面积 用含的代数式表EFGHaBF GFC a 示 3 在 2 的条件下 的面积能否等于 请说明理由 GFC 2 5 已知 是等腰直角三角形 是线段上一点 ABC 0 90 BAC2 BCDBC 以为边 在的右侧作正方形 直线与直线交于点 连接 ADADADEFAEBCGCF 1 如图 1 当时 求证 1 BDACF ABD 2 如图 2 当时 请在图中作出相应的图形 猜测线段与线段的关系 并1 BDCFBD 说明理由 3 连接 判断线段为何值时 是等腰三角形 GFBDGFC 6 有公共顶点大小不等的正方形与正方形 两个正方形分别绕着点旋ABCDAEFGA 转至下列图形的位置 其中 BAE 1800 00 A BC F D E G 图 1 A B C D 图 2 3 2 1 P H G F E D C B A G F E D C B A G F E D C B A 1 如图 1 连接 判断线段与的数量及位置之间的关系 并说明理由 BGDEBGDE 2 连接 过点的直线垂直于交于 BEDGADGHBEP 如图 2 求证与的面积相等 ABE ADG 如图 3 试判断是否为定值 如果是定值 求出该定值 如果不是 请说明理由 DG AP 7 1 如图 1 在中 点在边上ABC 22 BCAC O ACB90 EAC 图 2 图 1 M E D C BA M E D C B A 不与点重合 过作于 连接 为的中点 连接CA EABDE DBECD MBE DMCM 求证 是等腰直角三角形 CDM 若 的面积为 求与的函数关系式 并写出自变量的取值范围 xAD CDM SSxx 2 如果把图 1 中的绕着点逆时针旋转至图 2 的位置 其它的条件不变 那么ADE A 是否还是等腰直角三角形 请说明理由 CDM 8 如图 1 在菱形中 4 是边上的点 ABCDAB O BAD120 MBC 点在边上 分别与 BAM O 0 O 60NCD O MAN60 AMAN 相交于 两点 当 绕着点旋转时 点 也随之运动 请解BDPQMANAMNPQ 答下列问题 1 求证 是等边三角形 AMN 2 在 旋转的过程中 当为何值时 四边形的周长最小 求四边形MAN AMCN 周长的最小值 AMCN 3 如图 2 当时 判断与之间的数量关系 并说明理由 DQBP2 PQDQ 图 1图 2 QP N M D C B A QP N M D C B A O P Q E D CB A 9 如图 在中 过点作 点 分别ABC 5 BCAB6 ACAADCBPQ 是射线 线段上的动点 且 过点作 交线段于 交ADABBQAP PPEACAQO 于 设的面积为 BCEPOQ yxAP 1 用的代数式表示 xPO 2 求与的函数关系式 并写出的取值范围 yxx 3 连接 若与相似 求的长 QEPQE POQ AP D E H Q P C B A 10 如图 点 都是斜边上的动ABCRt 0 90 C6 BC8 ACPQAB 点 点从 向运动 不与点重合 点从向运动 点 分PBABQABAQBP DE 别是点 以 为对称中心的对称点 于交于点 当点到达ABQPABHQ QACHE 顶点时 同时停止运动 设的长为 的面积为 APQBPxHDE y 1 求证 DHQ ABC 2 求关于的函数解析式并求的最大值 yxy 3 当为何值时 为等腰三角形 xHDE 图 3 图 2图 1 F E N M D CB AF E N M D CB A NF E D C B A M 11 1 在正方形中 点在延长线上 且 为边上一点 ABCDFADDCDF MAB 为的中点 点在直线上 点 不重合 NMDECFEC 如图 1 点 重合 为的中点 试探究与的位置关系及的值 MAECFBNNE BM CE 并证明你的结论 如图 2 点 不重合 你在 中得到的两个结论是否成立 若成立 MANEBN 请加以证明 若不成立 请说明理由 2 如图 3 如果把 1 中的 正方形 改为 矩形 其他条件不ABCDABCD 变 那么你在 中得到的两个结论是否成立 请直接写出你的结论 备用图 C BA C BA 1 R Q P D C B A 2 N M R Q P D C B A 1 F E D C B A 12 如图 在中 点P到ACB 两边的距离相等 且 ABC 0 90 ACBPBPA 1 先用尺规作出符合要求的点 保留作图痕迹 不需要写作法 然后判断 ABP的形P 状 并说明理由 2 设mPA nPC 试用m n的代数式表示的周长和面积 ABC 3 设与交于点 试探索当边 的长度变化时 BC CD AC CD 的值是否发CPABDACBC 生变化 若不变 试求出这个不变的值 若变化 试说明理由 专题六专题六 几何探究题几何探究题 1 解 1 PQ BD CQP BDC 在 Rt BDC 种 C 90 tan BDC CQP BDC 30 o 3 3 DC BC o 2 如备用图 1 点 R 落在 AB 上 CPQ 90 CQP 60 oo RPQ CPQ 60 o RPB 60 o BP PR CP 2 1 2 1 x 2 1 则 33 2 1 xx32 x 3 有两种情况 当时 320 x 2 2 3 xy 当时 如备用图 2 3332 x PB PN 2PB x 33x236 RN 363 xPNx 63 3 3 xRNRM 318183 2 1 2 3 22 xxRMRNxy 2 1 证明 连接 CD 如图 1 ABC 是直角三角形 C 90 AC BC o 2 G F E D C B A G F E D C B A n m 图 1 N M E D C B A 点 D 是 AB 的中点 CD AB CD DB FCD B 45 o BDF 90 FDC o EDF 90 o CDE 90 FDC BDF CDE CDE BDF DE DF o 2 过 D 作 DG AB 交 AC 于 G 如图 2 则 AD DG EGD B 45 o 又 EDG FDB GDE BDF DB DG DF DE m DB AD DF DE 3 AB 26 AD DB 1 2 DG AD BD 22 3 1 AB24 AG 4 2 2 22 30cos o AD 有两种情况 如图 2 当时 40 x 由 GDE BDF 得 DB DG FB EG 24 224 y x xy28 如备用图 当时 64 x 由 GDE BDF 得 DB DG FB EG 24 224 y x 82 xy 3 解 1 如图 1 当时 20 m 四边形是矩形ABCD ADBCADCE AMD EMC n m 图 2 N M E D C B A CM DM EC AD m m n 2 3 m m n 36 20 m 当时 2 m0 n 2 为定值 分三种情况 S6 当当时 如图时 如图 1 1 20 m 方法一 mnmCEMNADMNSSS EMNAMN 3 2 1 2 1 由 1 得 m m n 36 6 36 3 m m mmS 方法二 BEABCECNBCCNABSSSS ABENCEABCN 2 1 2 1 2 1 梯形 3 2 2 1 2 2 1 3 22 2 1 nnmm mnm 2 1 2 3 3 由 1 得 m m n 36 6 36 2 1 2 3 3 m m mmS 当当时 点时 点 重合 重合 2 mMEC 623 2 1 22 ACDANDACD SSSS 当当时 如图时 如图 2 2 2 m 方法一 四边形是矩形ABCD ADBCADCE AMD EMC CM DM EC AD 2 3 m m nm m n 63 ECMNADMNSSS EMNAMN 2 1 2 1 nmm 2 2 1 32 2 1 6 63 33 m m mmmnm 方法二 四边形是矩形 ABCDDCABCMAB MEC AEB AB MC AE ME AB ABMC AE AEME 2 M H G F E D CB A 1 M H G F E D CB A mmABMC AB AM AE2 2 2 2 又 AM AE S S AMN AEN 632 2 12 m m S AM AE S AMN 综上所述 综上所述 为定值为定值 S6 4 解 1 如图 1 过点G作于M GMBC 在正方形EFGH中 90 HEFEHEF 90 90 AEHBEF AEHAHE AHEBEF 又 90AB AHE BEF 同理可证 MFG BEF GM BF AE 2 FC BC BF 10 2 如图 2 过点 G 作于 M 连接 HF GMBC ADBCAHFMFH EHFGEHFGFH AHEMFG 又90 AGMFEHGF AHE MFG GM AE 2 11 12 12 22 GFC SFC GMaa A 3 GFC的面积不能等于 2 若则 12 a 2 a 10 2 GFC S A 此时 在 BEF中 2222 102 10164 EFBEBF 在 AHE中 22222 164216012AHEHAEEFAE AH AD 即点H已经不在边AB上 故不可能有 2 GFC S A 解法二 GFC的面积不能等于 2 点H在AD上 菱形边长EH的最大值为 2 37 BF 的最大值为 2 21 又因为函数的值随着a的增大而减小 12 GFC Sa A 所以的最小值为 又 GFC的面积不能等于 2 GFC SA122 21 122 212 5 解 1 四边形ADEF是正方形 ABC是等腰直角三角形 AB AC AD AF BAC DAF 90 BAD CAF ABD ACF 2 作图如右 猜测 CF BD CF BD 理由是 同 1 可得 ABD ACF CF BD ACF ABD ACB 45 FCB 90 CF BD 3 连接GF AE是正方形ADEF的对角线 FAE DAE 45 又AD AF AG AG AFG ADG FG DG 若 Rt CFG是等腰三角形 则CG CF 设CF x 得CG CF BD x 如图 1 当BD 1 时 FG DG 2 2x 在 Rt CFG中 根据勾股定理得 FG 2 CG 2 CF2 2 2x 2 2x2 解得 x1 2 1 舍去 x2 2 22 如图 2 当BD 1 时 CG BD FG DG BC 2 在 Rt CFG中 根据勾股定理得 FG 2 CG 2 CF2 22 2x2 解得 x1 舍去 x2 22 综上所得 当BD等于 2 或时 CFG是等腰三角形 22 6 解 1 1 DEBG DEBG O 1 G F E D C B A 2 N M G F E D C B A 3 P M H G F E D C B A 理由 方法一 方法一 四边形与四边形都是正方形ABCDAEFG ABAD AGAE 0 90 EAGDAB 0 90BAGDAE 可以看作由顺时针旋转得到的 或可以看作DAE BAG BAG DAE 0 90DAE 由逆时针旋转得到的 故 BAG 0 90DEBG DEBG 方法二 方法二 连接如图 BD 证 得 DAE BAG DEBG ABGADE ABGABDADEADBOBDODB 0 90 ABDADB 0 90 BODDEBG 2 2 方法一 方法一 过作 EMABEM于 过 NDAGNG的延长线于作 则 MEANEANAEM AEMMAE 0 90EANNAG 0 90 NAGMAE 又 AEAG 0 90 ANGAME AME ANG GNEM EMABS ABE 2 1 GNADS ADG 2 1 ADAB ADGABE SS 方法二 方法二 过作 交直线于 则BBMAEHPMMAEBMA GAHMAE 0 90GAHAGD 0 90AGDMAE 同理 AGDBMA ADGBAM 又 ADAB ABM DAG DAGABM SS AGBM AGAE AEBM 又 EPABPM BPM EPA EPABPM SS ABEABM SS 3 P N M H G F E D C B A 3 N M H P G F E D C B A ADGABE SS ABM DAG DGAM BPM EPA APMP 所以为定值APAM2 DGAP 2 1 DG AP 2 1 方法三 方法三 过作交 AMBEAM于 NDG于 DAHBAP 0 90DAHADN 0 90 ADNBAP BAMABP 0 90BAMDAN 0 90 又 DANABP DAAB ABP DAN DNAABP SS 同理可证 GNAAPE SS GNADANAPEABP SSSS 即 ADGABE SS ABP DAN DNAP APE GNA GNAP 所以为定值DGAP 2 1 DG AP 2 1 方法四 方法四 过作 直线于 过作 直线于BBMHPMEBNHPN BAMABM 0 90BAMDAH 0 90 又 DAHABM 0 90 DHAAMB DAAB ABM DAH DAHABM SS 同理可证 AHBM AEN GAH GAHAEN SS AHEN 又 ENBM 0 90 ENPBMPEPNBPM BPM EPN EPNBPM SS AENABMABE SSS 又 AENABMGAHDAHADG SSSSS ADGABE SS 由 得 ABM DAH AEN GAH DHAM GHAN F 图 1 2 M E D C BA 图 1 1 65 4 3 2 1 M E D C BA 又 DGANAM BPM EPN NPMP 所以为定值APANAM2 DGAP 2 1 DG AP 2 1 7 1 方法一 方法一 如图 1 1 O ACBEDB90 MBEM BMEBDMCM 2 1 42431 62652 又 BCAC O ABC45 即 O ABC90264221 O CMD90 是等腰直角三角形CDM 方法二 方法二 如图 1 2 把绕着点逆时针旋转 点落在点处 点落在点处 连接 ACD C O 90ABDFMF 则 ADBF CDCF ACDBCF ADBF DEAD O A45 四边形是矩形 DEAD DEBF BFDEDBFE 又 点是矩形的中心 MBEM MDBFEMFDM 点 在同一直线上 且 DMFMFDM 又 O ACDDCBBCFDCBDCF90 所以是等腰直角三角形DMCM O CMD90 CDM 方法三 方法三 如图 1 2 延长到 使得 连接 DMFMFDM BFEFCF 于 ABDE D O EDB90 又 四边形是矩形 MBEM DBFE AABCCBF O 45900 又 ACBC ADDEBF BCF ACD ACDBCF CDCF O ACDDCBBCFDCBDCF90 所以是等腰直角三角形 O CMD90 DMCM CDM 方法一 方法一 在中 ADERt O ADE90 O A45 xAD xAE2 xAEACCE222 又 O ECB90 22 BC H 图 1 3 M E D C BA 图 2 1 F M E D C BA 图 2 2 4 3 2 1M F E D C B A 8 2 2 222 22 222222 xxCEBCBE 1 2 4 1 8 1 2 1 222 xBECMS20 x 方法二 方法二 如图 1 3 过点作于 CABCH H 22 BCAC O ACB90 4 22 BCACAB2 2 1 ABCHAH xDH 24 2 2222 xCHDHCD 又 DMCM O CMD90 22 2 1 CDCM 1 2 4 1 4 1 2 1 222 xCDCMS20 x 2 2 方法一 方法一 如图 2 1 把绕着点逆时针旋转 点落在点处 点落在点处 连接 ACD C O 90ABDFMFEF 则 ADBF CFCD ACDBCF ADBF DEAD O EAD45 DEAD DEBF BFDE 四边形是平行四边形 DBFE 又 点是平行四边形的中心MBEM MDBFE 点 在同一直线上 且 DMFMFDM 又 O ACDDCBBCFDCBDCF90 O CMD90 DMCM 所以是等腰直角三角形CDM 方法二 方法二 如图 2 2 延长到 使得 连接 DMFMFDM BFEFCFMF 则四边形是平行四边形 DBFE DEBF DEAD O EAD45 DEAD ADBF 213 O AED45 2145345 OO AEB 设绕点逆时针旋转角ADE A DAB 则 o 454 O EAB45 T P Q P N M D C B A 245 O ABE O ABEEABAEB180 OOOO 180 245 45 2145 41 又 ACBC BCF ACD ACDBCF O ACDDCBBCFDCBDCF90 所以是等腰直角三角形 O CMD90 DMCM CDM 8 1 连接 AC 如图 1 四边形ABCD 是菱形 BAD 120 ACB ABC CAB ACN 60 00 AC AB 又 MAN 60 BAM CAN 60 MAN BAM CAN 00 AM AN AMN是等边三角形 2 BAM CAN BM CN CM CN BC AB 4 四边形AMCN的周长 AM CM CN AN 四边形AMCN的周长 2AM 4 当 AM最小时 四边形 AMCN 的周长最小 即 当AM BC 30时 四边形 AMCN 的周长最小 0 此时 AMB 90 BAM 30 BM AB 2 00 2 1 四边形 AMCN 的周长最小值为 322 4BM ABAM 2222 434 3 DQ3PQ 理由 方法一 把 ABM绕着点A顺时针旋转 使得点B与点D重合 点P落在点处如图 P 则BP D 2DQ DA PBA ADQ 30 P P 0 DQ 60 连接Q 记D的中点为T P 0 P P 连接TQ 又 TD DQ DP 2 1 DTQ是等边三角形 TQ TD T DQ QT 30 P P P 0 DQT 60 DQ 90 0 P 0 Q 3 P 22 2 DQ DP 2 DQ DQ3QP PAQ 60 BAD 120 00 PAB DAQ 60 0 AD PAB AQ PAQ 60 P P 0 又A AP AQ AQ P D T QP N M D C B A 图 2 O E D Q P CB A 图 3 M O E D Q P CB A 图 4 O E D Q P CB A AQ PAQ PQ Q P P DQ3PQ 方法二 作点D关于直线AN的对称点 D 连接Q P A 取P的 D D D D 中点T 连接QT 则DQ Q AD A D D 证 AP BAP 得 P BP 其它步骤与 D D 方法一类似 9 解 1 如图 2 OEAC BOE BAC AOP BAC 即 CA PO BC AP BA AO 655 POxAO xAO xPO 5 6 2 如图 3 在等腰中 ABC 5 BCAB6 AC 则边上的高为 AC4 所以 由 12 ABC SAOP BAC 得 即 2 BC AP S S BAC AOP 2 5 12 xS AOP 所以 2 25 12 xS AOP 又 与是同高三角形 AOP POQ 所以 x x AO OQ S S AOP POQ25 于是 xxx x x Sy POQ 5 12 25 24 25 1225 22 2 5 0 x 3 如图 4 xAQ 5xBOBE 5BOAQ 又 APBCBPAQ PAQ QBE 是等腰三角形QEPQ PQE 与有一个公共的 PQE POQ P 2 1 H Q P E D C B A H Q P ED C B A 而且PEQPOQ 只存在的情况 PEQPOQ 当 时 也是等腰三角形 PQE POQ POQ OQOP 解得 xx25 5 6 16 25 xAP 10 1 A D 关于点 Q 成中心对称 HQ AB 90 HD HA CHQD AHDQ DHQ ABC 2 如图 1 当时 5 20 x ED QH x410 xAAQ 4 3 tan 此时 xxxxy 4 15 2 3 4 3 410 2 1 2 当时 最大值 4 5 x 32 75 y 如图 2 当时 55 2 x ED QH 104 xxAAQ 4 3 tan 此时 当时 最大值 xxxxy 4 15 2 3 4 3 104 2 1 2 5 x 4 75 y y 与 x 之间的函数解析式为 55 2 4 15 2 3 5 20 4 15 2 3 2 2 xxx xxx y y 的最大值是 4 75 3 如图 1 当时 5 20 x 若 DE DH DH AH DE x A QA 4 5 cos x410 x410 x 4 5 21 40 x 显然 ED EH HD HE 不可能 图 1 3 2 1 G A M NF E D CB 图 2 H G N M F E D C B A 如图 2 当时 55 2 x 若 DE DH 104 xx 4 5 11 40 x 若 HD HE 此时点 D E 分别与点 B A 重合 5 x 若 ED EH 则 EDH HDA 当 x 的值为时 AD DH DH ED x x x x 2 4 5 4 5 104 103 320 x 103 320 5 11 40 21 40 HDE 是等腰三角形 11 解 1 与的位置关系是 BNNENEBN 2 2 BM CE 证明 如图 1 过点作于 则 EAFEG G 0 90 EGN 矩形中 矩形为正方形 ABCDBCAB ABCD CDADAB 0 90 DCBADCA EGCDAEGN 0 90 CDF 为的中点 ECFEGCD CDDFDGGF 2 1 2 1 CDCE 2 1 为 的中点 NMD ADCDADNDAN 2 1 2 1 ANGE ABADDGNDNG NGE BAN 21 0 9032 0 9031 0 90 BNENEBN 0 90 CDFDFCD 0 45 FCDF2 CF CD 于是 2 2 2 1 CD CF CD CE BA CE BM CE 2 在 1 中得到的两个结论均成立 证明 如图 2 延长交的延长线于点