基于MATLAB的IIR滤波器的设计及应用

1 摘摘 要要 根据IIR数字滤波器的设计原理 提出了IIR数字滤波器的快速设计方法 并在matlab环境下做出了实现快速设计IIR 数字滤波器的设计系统 在该系统中 只需要将数字滤波器的技术性能指标根据指定的或是需要的设计方法 如双线 性变换法或脉冲响应不变法等 转换为模拟滤波器的技术性能指标 根据指 定的模拟滤波器设计出相应的数字滤波器 该系统中指定的模拟滤波器为巴特 沃斯滤波器和切比雪夫滤波器 该系统为快速 高效地设计IIR数字滤波器提供 了一个可靠而有效的工作平台 本文首先对MATLAB软件进行了介绍 并对数字滤波器在其环境下如何实现 进行了介绍 其次描述了数字滤波器的基本概念 其包括系统的描述 系统的 传递函数 基本结构运算单元 本文重点描述了IIR数字滤波器的设计过程及几 种设计方法 并对IIR滤波器的仿真做了一些介绍 关键词关键词 IIR数字滤波器 模拟滤波器 脉冲响应 数字频率 设计系统 双线 性变换 幅频特性 Abstract The fast design method of IIR Infinite Impulse response filter is provided based on the principle of filter design and the design system of the IIR filter worked out under the MATLAB environment It is necessary that the parameter of digital filter is transformed to the parameter of analog filter based on the indicated method for example the method of double linear transform or the method of non changing impulse response etc and the digital filter is designed based on the indicated analog filter The Butterworth filter and the Chebyshev filter both are analog filter are indicated A reliable and efficient work station is provided in order to design filter quickly and efficiently First this text carries on the introduction to the software of MATLAB and describes the design of digital filter based on MATLAB Describes the basic concept of the digital filter the next in order it includes the description of system delivering function of the system the basic structure operation unit This text point describes design process and several design methods of the IIR digital filter and the simulation of the IIR filter to do some introduction Key words IIR digital filter analog filter impulse response digital frequency design system double linear transformation 2 character of magnitude and frequency 第一章第一章 前言前言 1 1 数字滤波器技术的发展状况 数字滤波器是数字信号处理理论的一部分 数字信号处理主要是研究用数 字或符号的序列来表示信号波形 并用数字的方式去处理这些序列 把它们改 变成在某种意义上更为有希望的形式 以便估计信号的特征参量 或削弱信号 中的多余分量和增强信号中的有用分量 具体来说 凡是用数字方式对信号进 行滤波 变换 调制 解调 均衡 增强 压缩 固定 识别 产生等加工处 理 都可纳入数字信号处理领域 数字信号处理学科的一项重大进展是关于数字滤波器设计方法的研究 关 于数字滤波器 早在上世纪 40 年代末期就有人讨论它的可能性问题 在 50 年 代也有人讨论过数字滤波器 但直到 60 年代中期 才开始形成关于数字滤波器 的一整套完整的正规理论 在这一时期 提出了各种各样的数字滤波器结构 有的以运算误差最小为特点 有的则以运算速度高见长 而有的则二者兼而有 之 出现了数字滤波器的各种通近访法和实现方法 对递归和非递归两类滤波 器作了全面的比较 统一了数字滤波器的基本概念和理论 数字滤波器的领域的一个重要发展是对有限冲激响应 FIR 和无限冲激响应 IIR 关系的认识的转化 在初期 一般认为 IIR 滤波器比 FIR 滤波器具有更高 的运算效率 因而明显的倾向前者 但当人们提出用快速傅立叶变换 FFT 实现 卷积运算的概念之后 发现高阶 FIR 滤波器也可以用很高的运算效率来实现 这就促使人们对高性能 FIR 滤波器的设计方法和滤波器的频域设计方法进行了 大量的研究 从而出现了此后数字滤波器设计中频域方法和适于方法并驾齐驱 的局面 然而 这些均属数字滤波器的早期研究 早期的数字滤波器尽管在语 音 声纳 地震和医学的信号处理中曾经发挥过作用 但由于当时计算机主机 的价格很昂贵 严重地阻碍了专用数字滤波器的发展 70 年代科学技术的蓬勃 发展 数字信号处理开始与大规模和超大规模集成电路技术 微处理技术 高 速数字算术单元 双极性高密度半导体存储器 电荷转移器件等新技术 新工 艺结合了起来 并且引进了计算机辅助设计方法 它使数字滤波器的设计不仅 仅是对相应模拟滤波器的逼近 一般说来 通过对模拟滤波器函数的变换来设 计数字滤波器 很难达到逼近任意频率响应或冲激响应 而采用计算机辅助设 计则有可能实现频域或时域的最佳逼近 或频域时域联合最佳逼近 这样 数 字滤波器的分析与设计其内容也更既丰富起来 各种新的数字信号处理系统 3 也都能用专用数字硬件实时加以实现 数字信号处理理论与技术的发展 主要是由于电子计算机与大规模集成电 路的大量生产和广泛应用 替代了原来的模拟信号处理中的线性滤波与频谱分 析所应用的模拟计算机和分立元件 L C R 线性网络 高度发挥了计算技术与 数字技术相结合的特色和优越性 特别是微处理器和微型计算机技术日新月异 的发展 经更有利于电子仪器与电子技术应用系统朝着数字化 小型化 自动 化以及多功能等方向发展 促使它们成为富有智能型的电子系统 现在 包括 数字滤波在内的数字信号处理技术正以惊人的速度向纵深和高级的方向发展 据统计这种趋势还要持续一个较长的时期 未来的发展可能会比过去的进程更 为激动人心 必将引起某些领域的飞跃性发展 1 2 MATLAB 软件简介 MATLAB 是英文 Matrix Laboratory 矩阵实验室 的缩写 它是由美国 Mathworks 公司推出的用于数值计算和图形处理的数学计算环境 在 MATLAB 环 境下 用户可以集成地进行程序设计 数值计算 图形绘制 输入输出 文件 管理等各项操作 它优秀的数值计算能力和卓越的数据可视化能力使其很快在 同类软件中脱颖而出 MATLAB 系统最初是由 Cleve Moler 用 FORTRAN 语言设计的 现在的 MATLAB 程序是 Mathworks 公司用 C 语言开发的 它的第一版 DOS 版本 1 0 发 行于 1984 年 经过 20 年的不断改进 MATLAB 已经成为国际上最流行的科学与 工程计算的软件工具 最流行的计算机高级编程语言了 有人称它为 第四代 计算机语言 它在国内外高校和研究部门正扮演着重要的角色 MATLAB 语言的 功能也越来越强大 不断适应新的要求提出新的解决方法 可以预见 在科学 运算 自动控制与科学绘图领域 MATLAB 语言将长期保持其独一无二的地位 MATLAB 语言之所以能如此迅速地普及 显示出如此旺盛的生命力 是由于 它有着不同其他语言的特点 1 语言简洁紧凑 使用方便灵活 库函数极其丰富 MATLAB 程序书写形 式自由 利用其丰富的库函数避开了繁杂的子程序编程任务 压缩了一切不必 要的编纂工作 由于库函数都是由本领域的专家编写 所以用户不必担心函数 的可靠性 2 运算符号丰富 由于 MATLAB 是用 C 语言编写的 所以 MATLAB 提供了 C 语言几乎一样多的运算符 灵活使用 MATLAB 的运算符将使程序变得极为简短 3 高效方便的矩阵和数组运算 MATLAB 语言像 Basic Fortran C 语言 一样规定了矩阵的算术运算符 关系运算符 逻辑运算符 条件运算符及赋值 4 运算符 而且这些运算符大部分可以毫无改变地照搬到数组间的运算 另外 它不需要定义数组的唯数 并给出矩阵函数 特殊矩阵函数 特殊矩阵专门的 库函数 使之在求解诸如信号处理 建模 系统识别 控制 优化等领域的问 题时 显得大为简捷 高效 方便 这是其它高级语言所不能比拟的 在此基 础上 高版本的 MATLAB 已逐步发展到科学及工程计算的其它领域 因此 不久 的将来 它一定能名副其实地成为 万能演算纸式的 科学算法语言 4 MATLAB 即具有结构化的控制语句 又有面向对象编成的特性 5 语法限制不严格 程序设计自由度大 为了充分利用 Fortran C 等语言 的资源 包括用户已编好的 Fortran C 语言程序 通过建立 M 文件的的形式 混合编程 方便地调用有关的 Fortran C 语言的子程序 6 程序的可移植性很好 基本上不做修改就可以在各种型号的计算机和操 作系统上运行 7 MATLAB 的图形功能强大 在 C 和 FORTRAN 语言里 绘图都很不容易 但 在 MATLAB 里 数据的可视化非常简单 此外 MATLAB 还具有较强的编辑图形 界面的能力 8 MATLAB 具有的一项重要特色是拥有功能强大的工具箱 MATLAB 包含两 个部分 核心部分和各种可选的工具箱 功能性工具箱主要用来扩充其符号计 算功能 图示建模仿真功能 文字处理功能以及与硬件实施交互功能 功能性 工具箱能用于多种学科 而学科性工具箱是专业性比较强的 如 Control toolbox Signal processing toolbox Communication toolbox 等 这些工 具箱都是由该领域内的学术水平很高的专家编写的 所以用户无需编写自己学 科范围内的基础程序 而直接进行高 精 尖的研究 9 源程序的开放性 除内部函数以外 所有 MATLAB 的核心文件和工具箱文 件都是可读可改变的源文件 用户可通过对源文件的修改以及加入自己的文件 构成新的工具箱 MATLAB 软件自 1984 年推向市场以来 历经十几年的发展和竞争 现已成 为 IEEE 评述 国际公认的最优秀的科技应用软件 它功能强大 界面友好 语 言自然 开放性强的特点是它获得了对应用学科 特别是边缘学科和交叉学科 的季强是盈利 并且很快成为应用学科计算机辅助分析 设计 仿真 教学乃 至科技文字处理不可缺少的基础软件 在欧美等高校 MATLAB 已成为理工科高 级课程的基本工具 成为攻读学位的大学生 硕士生 博士生必须掌握的技能 在设计研究单位和工业部门 MATLAB 已经成为研究和解决各种具体工程问题的 一种标准软件 近年来该软件系统开始在我国国内流行 受到理工科大中专院 校释省级科研人员的重视 这也是本文选择用它来设计实现数学滤波器原因所 在 5 1 3 数字滤波器及其 MATLAB 实现 数字滤波器是数字信号处理中最重要的组成部分之一 在许多科学技术领 域中 广泛使用滤波器对信号进行了处理 滤波器是一种选频装置 它对某一 个或几个频率范围 频带 内的电信号给以很小的衰减 使这部分信号能够顺利 通过 对其它频带内的电信号则给以很大的衰减 从而尽可能地阻止这部分信 号的通过 通过滤波器时不经受衰减或经受很小的衰减的频带称为通带 经受 的衰减超过某一规定值的频带称为阻带 位于通带和阻带之间的频带称为过渡 带 于是 根据通带的不同 滤波器可分为低通滤波器 高通滤波器 带通滤 波器 带阻滤波器等 此外 根据它所处理的信号型类 滤波器又可分为模拟 滤波器和数字滤波器 模拟滤波器用来处理连续信号 而数字滤波器用来处理 离散信号 后者是在前者基础上发展起来的 数字滤波器与模拟滤波器比较 其主要优点精度和稳定性高 系统函数容易改变 因而灵活性高 不存在阻抗 匹配问题 便于大规模集成 可以实现多维滤波 因此 目前在诸如通信 雷 达 遥感 声纳 卫星通信 宇宙航行 测量 语言和生物医学等科学领域的 信号处理中 已经运用了数字滤波技术 而且随着大规模集成电路技术和数字 计算技术的发展 它的应用会越来越广泛 数字滤波器实际上就是一种数字信号处理系统的算法或设备 数字滤波器 实际上是一种运算过程 数字滤波器的功能是将一组输入的数字序列通过一定 的运算后转变为另一组输出的数字序列 因此它本身就是一台数字式的处理设 备 数字滤波器的基本原理是 先利用取样开关和模拟 数字转换器将一个 联系性的信号转换成数字信号 在数字计算器中完成所要求的传输函数运算之 后 再通过数字 模拟转换器和保持电路 使信号形成最后要求的波形 数字滤波器一般可用两种方法实现 一种是根据描述数字滤波器的数字模 型或信号流图 用数字硬件装配成一台专门的设备 构成专用的信号处理机 这就是硬件实现方式 另一种方法就是直接利用通用计算机 将所需要的运算 编成程序来让计算机来执行 这就是软件实现方式 在硬件实现方式中 是一 数字组件如延迟器 加法器和乘法器作为基本部件构成专用数字信号处理系统 不像模拟滤波器需要用电感和电容元件 因此数字信号处理机很容易用数字集 成电路来制成 而且它的转移函数可变 各回路之间不存在阻抗匹配问题 因 此可以很容易做成最佳冲激响应和恒定延迟的线性相移网络 在软件实现方式 中 它是借助于通用计算机机器语言 汇编语言或高级语言程序来做数字滤波 器的运算过程 数字滤波器的设计与实现 通常按下属步骤进行 首先 根据不同用途提 出数字滤波器的技术指标 在设计一个滤波器前 必须由一些指标 这些指标 6 要根据应用要求确定 然后 设计一个稳定的 因果的数字模型 H Z 来逼近所 要求的技术指标 最后 设计专用的数字硬件来实现这个数字模型 或者用通 用电子计算机来运行程序软件予以实现 第二章第二章 数字滤波器的基本概念数字滤波器的基本概念 2 1 IIR 数字滤波器的基本概念 这里所讲的数字滤波器都是一个离散的 LTI 系统 离散 LTI 系统模型如图 2 1 图 2 1 注 X n y n 分别是系统的输入输出序列 H E 是系统本身的特性 转移算子 系统对于输入的离散序列 x n 总有对应的输出 y n x n 是离散的信号 每个 x i 可能有不同的幅值 有了前后不同幅值的变化 就可以引出离散信号的 频率这一性质 数字滤波器就是对不同频率的数字信号从频域进行信号分离的 时序电路或器件或一段程序 数字滤波器按功能分为低通 高通 带通 带阻 全通滤波器 2 jjn n X ex n e 1 2 1 2 jjn x nX eed 2 由序列傅氏变换公式可知 离散信号的傅氏变化是的函数 周期为 2 只需研究 不需要在整个轴上分析其信号 所以 数字滤波器的通带 分布如图 2 2 7 图 2 2 2 1 1 系统的描述 模拟系统通常用微分方程描述 离散系统则用差分方程来描述 差分方程可分 为非递归和递归型两大类 1 非递归型 输出对输入无反馈 输出值仅仅取决于输入值 2 y nf x n 1 x n x n 1 3 若系统是线性 非移变 因果的 则有 为常数 2 4 0 1 i i y na x n i a 若又有 i N 时 0 则 i a 为常数 2 5 0 1 i i y na x n i a 2 递归型 输出对输入有反馈 输出取决于输入和反馈 2 y nf x n 1 x n x n 1 g y n 1 y n 1 8 6 若系统是线性 非移变 因果的 则有 为常数 2 7 01 1 MN ii ii y na x nb y ni i a i b 2 1 2 系统的传递函数 对 IIR 数字滤波器的差分方程的一般形式 为常数 2 8 01 1 MN ii ii y na x nb y ni i a i b 两边同时进行双边 z 变换得 2 1 1 01 MN ii ii Y za z X zb z Y z 9 得 IIR 数字滤波器的传递函数 2 10 1 0 1 1 1 M i i N i i a z Y z H z X z b z 2 1 3 基本结构运算单元 加法器 y n x1 n x2 n 1 x 2 x 乘法器 y n ax n 延迟单元 y n x n 1 1 直接 I 型 按给出的差分方程直接实现 9 2 级联型 将系统函数 H z 因式分解为较低的二阶节的乘积 每个双二阶 用一个直接型实现 整个系统用双二阶的级联实现 3 并联型 将系统函数 H z 因式分解为双二阶之和 每个双二阶用一个直接 型实现 整个系统函数作为二阶节的并联网络实现 下面举一 4 阶差分方程为例 叙述三种结构 设有 4 阶差分方程 01234 1 2 3 4 y nb x nb x nb x nb x nb x n 1234 1 2 3 4 a y na y na y na y n 其中 1 2 11 44 00 ii ii a y nib x ni 0 a 对方程两边同时取双边 z 变换得传递函数 H z 传递函数直接得到信号流图 2 12 4 0 4 1 1 i i i i i i a z Y z H z X z b z 输出序列的最高差分阶数 4 即系统的阶数 由梅森公式得信号流图 图 2 3 整个滤波器由两个网络级联 级联系统总的输入输出和子系统的级联次序无 关 10 2 1 1221 1 Y zY zY z H zH z HzHz H z X zX zY z 13 从而上述 4 阶的信号流图级联次序可以交换 图 2 4 直接型 正准 的共同缺点 1 系统对滤波器的性能控制作用不明显 2 极点对系数的变化对于灵敏 易出现不稳定或较大误差 3 运算的累积误差较大 级联型结构是将系统传递函数 H z 写成具有实系数的二阶节的乘积 将分 子和分母多项式分解为各自的根 然后将一对复数共轭根 或者任意两个实数 根 组合成二阶多项式 例如 H z 为 N 阶方程 N 为偶数 1 1 0100 0 11 11 1 11 N N N NN NN bb zz bbzbb H zb a za za za z N b 12 1 2 0 12 1 1 2 1 1 K kk k kk B zBz b A zAz 2 14 式中 K N 2 都是代表实数的二阶节系数 这些二阶节是 1k B 2k B 1k A 2k A k 1 k 2 15 12 1 2 12 1 2 1 1 kk k kk B zBz Hz A zAz 上述 4 阶系统的级联形式为 11 图 2 5 应该特别指出 1 级联型结构的灵敏度特性优于直接型和正准型结构 2 每一级分子的系数确定一对零点 分母的系数确定一对极点 因为子网络的 零极点也即整体网络的零极点 所以整个系统的零极点都可以准确的由每一 级的系数来调整和控制 这样便于调整滤波器的频率响应性能 3 级联结构具有最少的存储器 并联结构是将 N 阶的系统函数 H z 利用部分分式展开写成二阶节之和 1 1 0 1 01 112 010 1 1 2 11 M MNKMN kkkk M kk N k Nkk M NM N BB zbb zb z Y z H zC zC z X za za zA zA z 2 16 其中每一个二阶节 k 1 k 2 17 1 0 1 12 1 2 1 kk k kk BB z Hz A zAz 上述 4 阶 IIR 滤波器用并联形式实现如图 2 6 12 图 2 6 并联支路的极点也是整个网络的极点 而并联支路的零点却不是整个网络 的零点 因此并联网络能独立的调整系统的极点位置 但不能控制零点 并联 结构的灵敏度由于直接型和正准型 运算累积误差比级联型小 2 2 模拟滤波器的特性 下面先叙述模拟滤波器的特性 再举例由已知的模拟滤波器传递函数来变 换为相应的数字滤波器 一般情况下的理想低通滤波器的幅频特性如下图所示 1 0 c c a Hj 图 2 7 根据傅氏变换的对偶性可知频带有限信号在时域中是无时限信号 所以如 图所示理想的低通滤波器在实际中是做不出来的 因为实际上真正的时域无时 限信号是不存在的 也没有单位冲击响应是无时限响应的非因果系统 13 图 2 8 频域 时域 由对偶性 得 2 18 2 2 2 c cac StP 2 sin c cc ac t StP t 所以 实际的滤波器都是通过在频域人为的构造一些函数 使之幅频特性 尽可能的接近理想的滤波特性 Butterworth 逼近 图 2 9 幅频特性在小于处接近于 1 在大于处接近于 0 并且随着 N 的增大 c c 幅频特性越逼近于理想低通的滤波特性 Chebyshev 逼近 14 图 2 10 其中 为一常数 为 Chebyshev 多项式 N c 2 20 cos arccos cosh cosh N NNar C 这两种滤波器的传递函数可以由幅频特性推得 Butterworth 2 aaaaa HjHjHjHjHj 22 1 1 1 1 NN aa cc j HjHj j 2 1 1 N aa c s Hs Hs j 2 21 011 N c a N Hs ssssss Chebyshev 2 22 11 12 2 N a N Hs ssssss 第三章第三章 IIRIIR 数字滤波器的设计过程及方法数字滤波器的设计过程及方法 1 按设计任务 确定滤波器性能要求 制定技术指标 2 用一个因果稳定的离散系统的系统函数 H z 逼近此性能指标 3 利用有限精度算法实现此系统函数 如运算结构 字长的选择等 15 4 实际技术实现 软件法 硬件法或 DSP 芯片法 IIR 数字滤波器的系统函数是 z 的有理函数 可表示为 3 1 1 01 1 01 1 1 1 MM i ii ii NN i ii ii c zb z H zA a zd z 系统函数的设计就是要确定系数或者零 极点 以使滤波器满足给 ii ab ii c d 定的性能要求 这种设计一般有 3 种方法 1 零极点位置累试法 当滤波器性能未达到要求时 通过多次改变零极点的位 置来达到要求 此方法只适用于简单滤波器 2 用模拟滤波器理论来设计数字滤波器 在 IIR 数字滤波器的设计中较多的采 用这种方法 本节将详细介绍这种方法 3 用计算机辅助设计 优化技术设计 第四章第四章 IIRIIR 数字滤波器的实现方法数字滤波器的实现方法 4 1 脉冲响应不变法 要设计一个数字滤波器去仿真一个模拟滤波器有脉冲响应不变法和双线性 变换法 其设计过程都是由给定的模拟滤波器的系统函数去变换出相应 a Hs 的数字滤波器的系统函数 脉冲响应不变法的设计过程如下 H z 1 已知一模拟滤波器系统函数 设 M N 4 1 01 01 MM i ii ii aNN i ii ii sqa s HsA bssp 2 为方便求出其时域的单位脉冲响应 将上式化为部分分式之和的形式 4 1 N i a i i A Hs sp 2 16 3 由拉氏反变换得模拟滤波器在时域的单位脉冲响应 0 0 0 122 2 2 1 j n ms a N M j t j i j i aN i i i j c aazcNss X ex n e H c s a s HsA bs u tse x t y t tt xcHz ff f 1 1 i N p t aai i h tLHsAe u t 4 由时域的数字仿真条件 即脉冲响应不变准则 可得到相应的数字滤波器的 脉冲响应 4 3 1 i N p nT i i h nTh nTTAeu nT 5 再对两边进行 Z 变换 即可得到数字滤波器的系统函数 1 i N p nTnn i nni H zh n zTAeu nT z 4 4 1 1 101 1 i i NN pTn i i pT ini A TAezT ez 1 1 ii pTpT ROC ezze 用脉冲响应不变法来设计数字滤波器 只需将给出的模拟滤波器的系统函数 化为部分分式之和的形式 找出极点和系数 带入数字滤波器传函 a Hs i p i A 当中即可 4 1 11 1 i NN ii a pT ii i AA HsH zT spez 5 由上述和的表达式可看出 是模拟滤波器的一个极点 a Hs H z ii sp 则相应的就是数字滤波器里的一个极点 推而广之 则可得到脉冲响 i pT i ze 17 应不变法下的 s 平面和 z 平面的映射关系 令 可 sT ze j ze sj 得 z 平面的模 幅角和 s 平面的实部 虚部之间的关系 jTj T eee T e T 图 4 1 由的周期是 2可推得的周期是 2 T 注意 由的周期性可见 必须满足模拟滤波器的最高频率或频 2 ms 率响应必须在 T T 上严格限带的 a H 4 2 双线性变换法 双线性变换法的思想是 将模拟滤波器的传递函数形式化为完全以积分器 1 s 构成的网络函数形式 然后由数字网络来代替模拟积分器 从而整个滤 波器网络都转化成了数字的 双线性变换法的设计过程如下 1 由积分器构成的模拟滤波器的系统函数形式 设 M N 以方便说明 0 0 0 2 N M j t j i j i aN i i i c s a s HsA bs 4 6 2 由传递函数得信流图 18 图 4 2 3 积分器的数字形式推导 已知 若积分器的输入输出为 则有 1 u ts a x t a y t 4 0 t aa y txd 7 设有 0 0 9 时 r 和宽带 bw 间的近 似关系由下式给定 1 s rbw F 本题中 bw 10Hz 500Hz 那么可得 极零图如图所 s F1 10 500 0 937r 示 22 2 222 1 1 11 0 8779691 0 877969 jj zzzz H z zrezrezz 差分方程为 y n 0 877969y n 2 x n x n 2 将传递函数 H z 和通常的 IIR 方程进行比较 我们发现这个滤波器是二阶的 它的系数为 1 0 1 0 0 877969 0 b 1 b 2 b 1 a 2 a 例 利用极 零点放置法来计算一个陷波滤波器的系数 求一个简单的陷波数字 滤波器的传递函数和差分方程 这个滤波器满足以下规范 陷波频率 50Hz 陷波的 3dB 带宽 5Hz 抽样频率 500Hz 解 为了滤去 50Hz 的分量 我们在单位圆上对应 50Hz 的位置放置相应的复零点对 就是在处 36050 50036 为了得到一个尖锐的陷波滤波器 并且改善陷波频率两边的幅度响应 一对复 共轭极点放置在半径 r 1 处 陷波的宽度是由极点的位置决定的 可利用上例 28 提供的带宽和半径的关系式 这样得到的极点的半径 0 9372 极零点图如图所示 从图中可得到滤波器的传递函数为 exp 36 exp 36 0 937exp 36 0 9372exp 36 zjzj H zz z 212 212 1 618011 1 6180 1 51640 87831 1 51640 8783 zzzz zzzz 差分方程为 y n x n 1 6180 x n 1 x n 2 1 5164y n 1 0 8783y n 2 把 H z 和 IIR 进行比较 可以看出陷波滤波器的系数为 1 1 6180 1 1 5164 0 8783 0 b 1 b 2 b 1 a 2 a 第五章第五章 各种设计方法的各种设计方法的 MATLABMATLAB 实现实现 5 1 基于模拟低通滤波器原型的 MATLAB 实现 通过模拟低通原型滤波器进行数字带通设计程序 fp 480 模拟低通通带上限频率 fs 520 模拟低通阻带下限频率 wp 2 pi fp 模拟低通通带上限角频率 ws 2 pi fs 模拟低通阻带下限角频率 rp 3 通带波动 rs 20 阻带衰减 巴特沃斯模拟低通原型滤波器设计 n wn buttord wp ws rp rs s z p k buttap n 模拟低通原型零 极点系数 b1 a1 zp2tf z p k 零 极点系数转换为传递函 数 巴特沃斯模拟低通原型滤波器频率响应 h1 w1 freqs b1 a1 mag1 abs h1 模拟低通原型滤波器幅频特性曲线 subplot 221 semilogx w1 mag1 fw 40 模拟带通滤波器带宽频率 bw 2 pi fw 模拟带通滤波器带宽角频率 由模拟低通原型转变为模拟带通滤波器 b2 a2 1p2bp b1 a1 wn bw 模拟带通滤波函数 巴特沃斯模拟带通滤波器频率响应 h2 w2 freqs b2 a2 mag2 abs h2 29 模拟带通滤波器幅频特性曲线 db subplot 222 plot 20 log10 mag2 冲击响应不变法进行离散化设计 fo 2000 采样频率 bz az impinvar b2 a2 2000 数字带通滤波函数系数 巴特沃斯数字带通滤波器频率响应 hz w freqz bz az magz abs hz phz unwrap angle hz subplot 223 plot magz 数字带通滤波器幅频特性曲 线 subplot 224 plot phz 数字带通滤波器相频特性曲线 5 2 基于合适类型模拟滤波器的 MATLAB 实现 通过合适类型模拟滤波器进行数字带通设计程序 fp 480 520 fs 450 550 模拟通带 阻带频率 wp 480 520 pi 2 模拟通带角频率 ws 450 550 pi 2 模拟阻带角频率 rp 3 rs 20 通带波动 阻带衰减 巴特沃斯模拟带通滤波器设计 n wn buttord wp ws rp rs s b a butter n wn s 模拟带通滤波函数系数 巴特沃斯模拟带通滤波器频率响应 ha w freqs b a ma abs ha pha unwrap angle ha subplot 421 plot w 2 pi ma 模拟幅频曲线 subplot 431 plot w 2 pi pha 模拟相频曲线 冲击响应不变法进行离散化设计 fo 5000 采样频率 bn an impinvar b a 5000 数字带通滤波函数系数 巴特沃斯数字带通滤波器频率响应 hz w freqz bn an mz abs hz phz unwrap angle hz subplot 422 plot w mz 数字滤波器幅频曲线 subplot 424 plot w phz 数字滤波器相频曲线 hi impz bn an 数字滤波器冲击响应 subplot 425 plot hi 冲击响应曲线 n 0 300 t n fo x1 2 square 2 pi 500 t 500Hz 方波波形 yi conv hi x1 时域卷积输出 subplot 427 plot yi 卷积输出波形 y1 filter bn an x1 数字滤波函数输出 subplot 428 plot y1 数字滤波器输出波形 30 5 3 基于直接原型变换法的 MATLAB 实现 数字带通滤波器直接设计程序 fp 480 520 fs 450 550 模拟通带 阻带频率 rp 3 rs 20 通带波动 阻带衰减 fo 10000 采样频率 频率指标变换 wp 2 pi fp fo 数字通带频率 wp 2 pi fs fo 数字阻带频率 切比雪夫 I 型数字带通滤波器直接设计 n wn cheblord wp pi ws pi rp rs b a cheby1 n rp wn 数字带通滤波器系数 切比雪夫 I 型数字带通滤波器频率响应 h w freqz b a 128 10000 mag abs h pha unwrap angle h subplot 321 plot w mag 幅频曲线 subplot 322 plot w pha 相频曲线 hi impz b a 冲击响应 subplot 324 plot hi 响应曲线 n 0 500 t n fc x1 2 square 2 pi 500 t 500Hz 方波信号 subplot 323 plot t x1 500Hz 方波波形 yi conv hi x1 时域卷积输出 subplot 326 plot yi 卷积输出波形 y1 filter b a x1 数字滤波函数输出 subplot 325 stem y1 数字滤波器输出波形 总总 结结 MATLAB 是一款高效 直观且方便的工程软件 在利用其作 IIR 数字滤波器设计的过 程中更是体现了这两方面特点 本文主要介绍了基于 MATLAB 的 IIR 无限长冲击响应数 字滤波器的设计