高中数学-柯西不等式与排序不等式

3 1 3 2 柯西不等式 1 二元均值不等式有哪几种形式 答案 及几种变式 0 0 2 ab abab 2 已知a b c d为实数 求证 22222 abcdacbd 证法 比较法 22222 abcdacbd 2 0adbc 定理 若a b c d为实数 则 22222 abcdacbd 变式 或 2222 abcdacbd A 2222 abcdacbd A 或 2222 abcdacbd A 定理 设 则 1212 nn a aa b bbR 2222222 12121 122 nnnn aaabbba ba ba b 当且仅当时取等号 假设 12 12 n n aaa bbb 0 i b 变式 2222 1212 1 nn aaaaaa n 定理 设是两个向量 则 A 等号成立 是零向量 或者共线 练习 已知a b c d为实数 求证 222222 abcdacbd 证法 分析法 平方 应用柯西不等式 讨论 其几何意义 构造三角形 三角不等式 三角不等式 定理 设 则 1122 x y xyR 222222 11221212 xyxyxxyy 变式 若 则结合以上几何意义 可得到怎样的三角不等式 112233 x y xyxyR 例 1 求函数的最大值 31102yxx 分析 如何变形 构造柯西不等式的形式 变式 推广 31102yxx ya bxcd efx a b c d e fR 例 2 若 求证 x yR 2xy 11 2 xy 分析 如何变形后利用柯西不等式 注意对比 构造 要点 2222 11111111 22 xyxy xyxyxy 讨论 其它证法 利用基本不等式 练习 已知 求的最小值 321xy 22 xy 解答要点 凑配法 2222222 111 32 32 131313 xyxyxy 讨论 其它方法 数形结合法 练习 已知 求证 abR 11 4ab ab 例 1 已知 求的最小值 321xyz 222 xyz 练习 若 且 求的最小值 x y zR 111 1 xyz 23 yz x 变式 若 且 求的最小值 x y zR 1xyz 222 xyz 变式 若 且 求的最大值 x y zR 1xyz xyz 例 2 若 求证 abc cacbba 411 要点 2 1111 1 1 4acabbc abbcabbc 例 3 已知正数 a b c满足1abc 证明 222 333 3 abc abc 证明 利用柯西不等式 2 313131 2 222 222222 abca ab bc c 222 333 222 abcabc 2 333 abcabc 1abc 又因为 222 abcabbcca 在此不等式两边同乘以 2 再加上 222 abc 得 222 3abcabc 2 222333222 3abcabcabc 故 222 333 3 abc abc 例 4 设p是ABCA内的一点 x y z是p到三边 a b c的距离 R是ABCA外接圆的半径 证明 222 1 2 xyzabc R 证明 由柯西不等式得 111 xyzaxbycz abc 111 axbycz abc A 记S为ABCA的面积 则22 42 abcabc axbyczS RR A 1 22 abcabbcca xyzabbcca RabcR 222 1 2 abc R 故不等式成立 练习 已知实数 a b c d满足3abcd 2222 2365abcd 试求a的最值 解 由柯西不等式得 有 2 222 111 236 236 bcdbcd 即 2 222 236bcdbcd 由条件可得 2 2 53aa 解得 12a 当且仅当 236 1 21 31 6 bcd 时等号成立 代入 11 1 36 bcd 时 max 2a 21 1 33 bcd 时 min 1a 3 3 排序不等式 排序不等式 即排序原理 设有两个有序实数组 是 的任一排列 则 12 aa n a 12 bb n b 12 c c n c 12 b b n b 有 同序和 1 122 a ba b nn a b 乱序和 1 122 a ca c nn a c 反序和 121nn a ba b 1n a b 当且仅当 或 时 反序和等于同序和 12 aa n a 12 bb n b 排序不等式的应用 排序不等式的应用 例 1 设是n个互不相同的正整数 求证 12 n a aa 32 1 222 111 1 2323 n aaa a nn 证明过程 设是的一个排列 且 则 12 n b bb 12 n a aa 12n bbb 12 1 2 n bbbn 又 由排序不等式 得 222 111 1 23n 3322 11 222222 2323 nn aabbab ab nn 小结 分析目标 构造有序排列 练习 已知为正数 求证 a b c 3332