六年级数学三角形单元复习鲁教版

六年级数学六年级数学三角形单元复习鲁教版三角形单元复习鲁教版 本讲教育信息本讲教育信息 一 教学内容 一 教学内容 三角形单元复习 1 三角形三边的关系 三角形任意两边之和大于第三边 三角形任意两边之差小于第三 边 2 三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于 180 直角三角形两锐角互余 3 三角形中的三条主要的线段 三角形的三条角平分线交于一点 三条中线交于一点 三角形的三条高所在的直线交于一点 4 全等三角形的性质 全等三角形的对应边相等 对应角相等 5 三角形全等的判定 三边对应相等的两个三角形全等 简写成 边边边 或 SSS 两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 简写成 角边角 或 ASA 两角和其 中一角的对边对应相等的两个三角形全等 简写成 角角边 或 AAS 两边和它们的 夹角对应相等的两个三角形全等 简写成 边角边 或 SAS 6 直角三角形全等的判定 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 简写成 斜边 直角边 或 HL 二 复习指导二 复习指导 1 应用全等三角形性质解决问题的前提是准确地确定全等三角形的对应边和对应角 其 规律主要有以下几点 1 以对应顶点为顶点的角是对应角 2 对应顶点所对应的边是对应边 3 公 共边 角 是对应边 角 4 对顶角是对应角 5 最大边 角 是对应边 角 最小边 角 是对应边 角 全等三角形的对应边和对应角可以依据字母的对应位置来确定 如若 ABC DEF 说明 A 与 D B 与 E C 与 F 是对应点 则 ABC 与 DEF 是对应角 边 AC 与边 DF 是对应边 2 判定两个三角形全等的解题思路 3 运用三角形全等可以证明两线段或两角相等 在直接找不到两个全等三角形时 可考 虑添加辅助线构造全等三角形 三 思想方法三 思想方法 1 转化思想 应用全等三角形的知识解决测河宽 测池塘宽 测工件内径等实际问题就 是转化思想的运用 2 运动变化思想 在研究三角形全等时 经常会出现三角形按照某种特定的规律变化 需要运用运动变化的思想进行解决 3 构造图形法 在直接找不到两个全等三角形时 常常通过平移 对称 旋转等图形变 换的方法构造全等三角形 4 分析综合法 从已知条件出发探索解题途径的方法叫综合法 从结论出发不断寻找使 结论成立的条件与已知条件关系的方法叫分析法 两头凑的方法就是综合运用分析综合法 去寻找证题的一种方法 四 学习重难点 四 学习重难点 1 两个能够重合的三角形叫做全等三角形 全等三角形的对应边相等 对应角相等 2 全等三角形的判定方法有 1 SAS 2 ASA 3 AAS 4 SSS 对直角三角 形全等的判定除以上方法外 还有 HL 3 两个三角形的两边和一角对应相等 或两个三角形的三个角对应相等 这两个三角形 不一定全等 典型例题典型例题 考查要点 1 三角形三边关系 例 1 如果三角形的两边长为 2 和 9 且周长为奇数 那么满足条件的三角形共有 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 分析 分析 本题主要考查三角形三边之间的关系 三角形任意两边之和大于第三边 三角 形任意两边之差小于第三边 即 a b c a b 解 解 设三角形的第三边的长为 x 则 9 2 x 9 2 即 7 x 11 由于三角形的周长为奇 数 而两边的和 2 9 11 为奇数 因此 第三边必须为偶数 所以 第三边的长可以为 8 和 10 因此 满足条件的三角形有两个 选 B 例 2 已知等腰三角形的周长是 24cm 1 腰长是底边长的 2 倍 求腰长 2 已知其中一边长为 6cm 求其他两边长 分析 分析 1 计算 1 可以通过设未知数来进行计算 得出方程 通过求方程的解从而 求出答案 其中体现了方程思想 2 计算 2 要注意分两种情况考虑 因为题目中没有 说明这条边究竟是腰还是底边 所以通过其中一边长为 6cm 求其他两边的长应该分成两 种情况考虑 一种是 6cm 长的边为腰 另一种是 6cm 长的边为底 体现了数学中的分类讨 论思想 并且计算结果还要注意检查是否符合两边之和大于第三边 解解 1 设底边长 xcm 则腰长为 2xcm 根据题意 得 x 2x 2x 24 x 4 8 腰长 2x 2 4 8 9 6 cm 2 因为长为 6cm 的边可能是腰 也可能是底 所以要分两种情况计算 当长为 6cm 的边为腰时 则底边为 24 6 2 12 cm 6 6 12 两边之和等于第三边 所以 6cm 长为腰不能组成三角形 舍去 当长为 6 cm 的边为底边时 则腰长为 24 6 2 9 cm 6cm 9cm 9cm 可以组成三角形 三角形其他两边长为 9 cm 做一做 1 已知等腰三角形的两条边长分别为 2 和 5 则它的周长为 A 9 B 12 C 9 或 12 D 5 答案答案 B 2 现有 2cm 4cm 5cm 8cm 长的四根木棒 任意选取三根组成一个三角形 那么可 以组成三角形的个数为 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 答案答案 B 3 甲地离学校4km 乙地离学校1km 记甲乙两地之间的距离为kmd 则d的取值为 A 3B 5C 3或5D 35d 答案 答案 D 考查要点 2 三角形内角和 例 3 如图 已知 A 27 CBE 90 C 30 求 ADE 的度数 分析 分析 1 要求一个角的度数 可以先看一下它所处的位置 如果是某个三角形的一个 内角 可以考虑用三角形内角和定理来计算 如果是某个三角形的外角 可以考虑用三角 形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和来计算 本题中的 ADE 只能是 BFD 或者 AED 的内角 不可能是某个三角形的外角 2 本题可以通过设未知数 找相等关系 列方程来解 体现了几何问题中的方程思想 解解 设 ADE X CBE 90 C 30 已知 DEC 180 CBE C 180 90 30 60 三角形内角和定理 又 DEC A ADE 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 60 27 X X 60 27 33 即 ADE 33 练一练 1 三角形的三个内角的度数比为 1 2 3 则这个三角形的三个内角分别为 A 10 20 30 B 30 60 90 C 30 70 80 D 不确定 2 下面对三角形三个角的判断正确的有 至少有一个角小于 60 不可能三个角都大于 60 可以有两个角大于 60 一定要有两个角小于 60 三个角都可以是 60 A 2 个B 3 个C 4 个D 5 个 3 如图所示 EC AF 于点 E F 40 C 20 求 FBA 的度数 4 ACD 叫 ABC 的外角 它与 ACB 相邻 与另两个角不相邻 猜想 ACD 与 A B 的关系并利用所学的知识验证 考查要点 3 三角形的三线 角平分线 中线 高线 例 4 如图 ABC 和ACB 的平分线交于点O 1 填空 当60A 时 BOC 当100A 时 BOC 2 当135BOC 时 A 例 5 ABC 中 BM 是 ABC 的中线 已知 AB 5cm BC 3cm 求 ABM 与 BCM 的周长的差 例 6 如图 ABC 中 ABCC BDAC 于D 猜想DBC 与A 的关 系 并说明你的理由 试一试 1 已知 2ABCACB 72A CD为ACB 的角平分线 则BDC A 82 B 88 C 90 D 92 2 具备下列条件的三角形 不是直角三角形的是 A ABC B 1 2 ABC C 90AB D 90AB 3 在ABC 中 BAC 为钝角 画出 1 ABC 的平分线 2 AC边上的中 线 3 AB边上的高线 4 三角形的三条高所在的直线 交于一点 填 能 或 不能 5 如图 AE是ABC 的角平分线 则 1 2 AD是ABC 的中线 则 1 2 BC 6 如图 在AEC 中 AE边上的高是 考查要点 4 三角形全等的判定 例 7 如图 有一块边长为 4 的正方形塑料模板 ABCD 将一块足够大的直角三角板的 直角顶点落在 A 点 两条直角边分别与 CD 交于点 F 与 CB 延长线交于点 E 则四边形 AECF 的面积是 分析分析 本例看似是正方形的问题 其实质是考查全等三角形的判定 由于 EAF BAD 90 可得出 EAB DAF ABE D 90 AB AD ABE ADF 所以 四边形 AECF 的面积等于正方形 ABCD 的面积等于 16 解解 因为 EAF BAD 90 所以 EAB DAF ADAB D ABE DAF EAB ABE ADF 四边形 AECF 的面积等于正方形 ABCD 的面积等于 16 例 8 如图 在 ABC 与 DEF 中 给出以下六个条件 AB DE BC EF AC DF A D B E C F 以其中三个 条件作为已知 不能判断 ABC 与 DEF 全等的是 A B C D 分析分析 三角形全等的判定方法有 边 边 边 边 角 边 角 边 角 或 角 角 边 本题可采用排除法寻找答案 真 为 边角边 判定方 法 真 为 边边边 判定方法 真 为 角角边 判定方法 假 为两边和其中一边的对角没有这样的判定方法 因此 不能判断 ABC 与 DEF 全等的是 D 例 9 如图 已知 CE AD 于 E BF AD 于 F 你能说明 BDF 和 CDE 全等吗 若能 请你说明理由 若不能 在不用增加辅助线的情况下 请添加其中一个适当的条件 这个条件是 说明这两个三角形全等 并写出证明过程 分析分析 题目要证明的两个三角形全等已满足两组角对应相等 但三角形全等至少要有 一组边对应相等 因此 需要补充一组边对应相等 解解 补充的条件为 BD CD DE DF 或 BF CE 若补充 BD CD 证明过程如下 CE AD 于 E BF AD 于 F 所以 F CED CDBD CDE BDF CED F BDF CDE 例 10 将一张矩形纸片沿对角线剪开 得到两张三角形纸片 再将这两张三角形纸片摆 放成如图的形式 使点 B F C D 在同一条直线上 1 求证 AB ED 2 若 PB BC 请找出图中与此条件有关的一对全等三角形 并给予证明 分析 分析 充分利用边相等或角相等或互余的关系 1 证明 证明 由题意可知 ABC DEF 因而 A D 而 A B 90 故 D B 90 即 BPD 90 所以 AB ED 也可以利用两直线平行 内错角相等证明 A D 2 若 PB BC 则有 ABC DBP BCBP D A B B ABC DBP 注 图中与此条件有关的全等三角形还有如下几对 APN DCN DEF DBP EPM BFM 考查要点 5 三角形全等的判定的开放性问题 类型 1 条件探索型 例 11 1 如图 点 B 在 AE 上 CAB DAB 要使 ABC ABD 可补充的一 个条件是 写一个即可 2 如图 AB CD 相交于点 O AB CD 试添加一个条件使得 AOD COB 你 添加的条件是 只需写一个 3 如图 已知 1 2 AC AD 增加下列条件 AB AE BC ED C D B E 其中能使ABCAED 成立的条件 有 A 4个B 3个C 2个D 1个 图 3 2 1 B A C E D 解析解析 两个三角形全等的条件是 SAS ASA AAS SSS 结合题设中的已知 选择 恰当的三角形全等条件是解决此类问题的关键 1 已知 CAB DAB 隐含有 AB AB 即有一边和一角 故选择 SAS ASA AAS 可以填写 AC AD ABC ABD 和 ACB ADB 中的任一个 2 隐含有 AOB COD 利用已知 AB CD 故 AO OC 或 OB OD 3 已知 1 2 AC AD 从而 DAE CAB 即有一边和一角 故选择 SAS ASA AAS 可以填写 AB AE ACB ADE 和 B E 类型 2 结论探索型 例 12 如图 点 E 在 AB 上 AC AD 请你添加一个条件 使图中存在全等三角形 并给予证明 所添条件为 你得到的一对全等三角形是 E D B C A 图 4 解析 解析 该题是结论探索题 题设已有 AC AD 隐含 AB AB 故根据 SSS 和 SAS 寻 找条件 即添加 BC BD CAB DAB 得 CAB DAB 隐含 AE AE 故根据 SSS 和 SAS 寻找条件 即添加 CE DE CAE DAE 得 CAE DAE 证明略 类型 3 猜想证明型 例 13 如图 在 ABD 和 ACE 中 有下列四个等式 AB AC AD AE 1 2 BD CE 请你以其中三个等式作为题设 余下的作为结论 写出一个 真命题 要求写出已知 求证及证明过程 2 1 图 5 E D A B C 解析 解析 此题为探索 猜想 判断并证明的试题 我们要认真观察 作出判断再加以说 明 考题提供了四个论断 让我们创编一道 知其三可推一 的数学问题 我们的思路就 是按着两个三角形全等的条件是 SAS ASA AAS SSS 逐一验证 通过验证发现 满足 SSS 得 ABD ACE 有 1 2 满足 SAS 得 ABD ACE 有 BD CE 和 满足 SSA 得不出三角形全等 故符合 要求的问题有两个 现列举一个 已知 如图 5 在 ABD 和 ACE 中 AB AC AD AE 1 2 则 BD CE 证明 在 ABD 和 ACE 中 由 1 2 得 BAD CAE 又 AB AC AD AE 所以 ABD ACE 所以 BD CE 练习巩固 练习巩固 1 如图 已知 B DEF BC EF 现要说明 ABC DEF 若要以 SAS 为 依据 还缺条件 若要以 ASA 为依据 还缺条件 若要以 AAS 为依据 还缺条件 并说明理由 2 已知 如图 AB AC AD BC 垂足是 F P 是 AD 上任意的一点 请说明 PB PC 3 如图 ABC 中 ACB 90 AC BC AE 是 BC 边上的中线 过 C 作 CF AE 垂足为 F 过 B 作 BD BC 交 CF 的延长线于 D 请说明 AE CD 4 如图 AB CD AB CD 点 B E F D 在一条直线上 A C 请说明 AE CF 5 如图 已知 AB DE AB DE AF DC 请问图中有哪几对全等三角形 并任选其 中一对给予说明 6 如图 AB CD 相交于点 O AO BO AC DB 那么 OC 与 OD 相等吗 说明你的 理由 7 如图 在一小水库的两测有 A B 两点 请设计一种方案能用皮尺测量出 A B 两点 的距离 只说明设计方案 不要求数据计算 要求画出草图 并说明理由 8 已知 如图 AE CF DAF BCE AD CB 问 ADF 与 CBE 全等吗 请说明理由 考查要点 6 三角形全等的应用 例 14 某铁路施工队在建设铁路的过程中 需要打通一座小山 设计时要测量隧道的长 度 小山前面恰好是一块空地 利用这样的有利地形 测量人员是否可以利用三角形全等 的知识测量出需要开挖的隧道的长度 说明道理 点拨 点拨 A B 两点直接测量有难度 因此 可利用山前面的空地 构造全等的两个三角 形 使含 AB 的一对对应边相等 则测量出对应边的长 即得出 AB 的长 解解 方法 可在空地上取一个能直接到达 A 点 B 点的点 O 连结 AO 延长到 D 使 OD OA 连接 BO 延长到 E 使 OE OB 连结 DE 并测出它的长度 则 DE 的长就是 A B 间的距离 理由 AOB DOE SAS AB DE 全等三角形 对应边相等 例 15 如图 要测量河两岸两点 A B 间的距离 可用什么方法 并说明这样做的合理 性 点拨 点拨 直接测量 A B 间的距离有困难 而若用上题中的方法 则会出现这种情况 得到的 O 点在河中间 很难取到 即使 O 点取好 而寻找的全等三角形中 AB 的对应 边 CD 的两点仍然在河的两岸 与 A B 的位置相同 因此此法不可取 要寻求另一种使对 应边在岸上的方法 利用下面图示 5 68 的方法就可以 解 解 方法 在 AB 的垂线 BE 上取两点 C D 使 CD BC 过点 D 作 BE 的垂线 DG 并在 DG 上取一点 F 使 A C F 在一条直线上 这时测得的 DF 的长就是 A B 间 的距离 理由 AB BE DG BE B BDF 90 ABC FDC ASA AB DF 全等三角形对应边相等 注意注意 要注意区分这两种情况 根据具体情况或题目的语言叙述来判断 最明显的区 别是第一种没有垂直的情况 利用 SAS 证全等 而第二种有垂直的情况 利用 ASA 证明三 角形全等 当然 若特殊情况 需具体分析 课堂小结课堂小结 同学们今天我们主要复习了三角形一章 本章的内容非常重要 它是今后进一步学习 的基础 全等三角形在今后的学习中尤为重要 望同学们认真复习巩固 模拟试题模拟试题 答题时间 90 分钟 一 选择题 每题 3 分 共 30 分 1 现有两根木棒 它们的长度分别为 20cm 和 30cm 若不改变木棒的长度 要钉成一个 三角形木架 则应在下列四根木棒中选取 A 10cm 的木棒 B 20cm 的木棒 C 50cm 的木棒 D 60cm 的木棒 2 在下图中 正确画出 AC 边上高的是 E B ACCA B CA B CA B E E E A B C D 3 如图 PD AB PE AC 垂足分别为 D E 且 PD PE 则 APD 与 APE 全等 的理由是 A SAS B AAS C SSS D HL 4 已知 ABC 的三个内角 A B C 满足关系式 B C 3 A 则此三角 A 一定有一个内角为 45 B 一定有一个内角为 60 C 一定是直角三角形D 一定是钝角三角形 5 在下列条件中 A B C A B C 1 2 3 A 90 B A B C 中 能确定 ABC 是直角三角形的条件有 1 2 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 6 如果一个三角形的三条高所在直线的交点在三角形外部 那么这个三角形是 A 锐角三角形 B 直角三角形 C 钝角三角形 D 等边三角形 7 如图 已知 ABC 的六个元素 则下面甲 乙 丙三个三角形中和 ABC 全等的图形 是 A 甲和乙 B 乙和丙 C 只有乙 D 只有丙 8 下列说法正确的是 三角形的三条角平分线必交于一点 且交点必定在三角形的内部 全等三角形的边 角对应相等 两个内角分别对应相等的两个三角形全等 有两边及一角对应相等的两个三角形全等 A B C D 9 如图 已知 CD AB BE AC 垂足分别为 D E BE CD 交于点 O 且 AO 平分 BAC 那么图中全等三角形共有 对 A 3 B 4 C 5 D 6 10 如图 已知在 ABC 中 AB 3 AC 4 AD 是 BC 边上的中线 则 AD 的取值范 围 A 3 AD 4B 1 AD 7C AD 3D 1 2 AD 7 2 二 填空题 每题 2 分 共 20 分 11 为了使一扇旧木门不变形 木工师傅在木门的背面加钉了一根木条 这样做的道理 是 12 一个等腰三角形的两边长分别是 4 cm 和 6 cm 则它的周长是 cm 13 如果一个三角形的两个内角是 20 30 那么这个三角形是 三角形 14 直角三角形两个锐角的平分线所构成的钝角等于 15 如图 ABD ABC C 100 ABD 30 那么 DAB A B C D 16 已知 ABC A B C 若 ABC 的周长为 23 AB 8 BC 6 则 AC B1C1 A B C A B C 17 如图 在 ABC 与 DEF 中 如果 AB DE BE CF 只要加上 或 就可证明 ABC DEF D 图7 B F A CE 18 ABC 中 若 A 80 I 为三条角平分线交点 则 BIC 19 若三角形的三边长分别为 x 1 x x 1 则 x 的取值范围是 20 我们来探究 雪花曲线 的有关问题 下图 3 是边长为 1 的正三角形 将此正 三角形的每条边三等分 而以居中的那一条线段为底边再作正三角形 然后以其两腰代替 底边 得到第二个图形如下图 4 再将下图 2 的每条边三等分 并重复上述的作法 得到第三个图形如下图 5 如此继续下去 得到的第五个图形的周长应等于 三 操作与解释 21 题 8 分 22 题 4 分 23 24 每题 6 分 21 没有量角器 利用刻度尺或三角板也能画出一个角的平分线吗 下面是小彬与小红 的做法 他们的画法正确吗 请说明理由 1 小彬的做法 如图 角平分线刻度尺画法 利用刻度尺在 AOB 的两边上 分别取 OD OC 连结 CD 利用刻度尺画出 CD 的中点 E 画射线 OE 所以射线 OE 为 AOB 的角平分线 2 小红的做法 如图 角平分线三角板画法 利用三角板在 AOB 的两边上 分别取 OM ON 分别过 M N 画 OM ON 的垂线 交点为 P 画射线 OE 所以射线 OP 为 AOB 的角平分线 22 初一 1 班的篮球拉拉队同学 为了在明天的比赛中给同学加油助威 提前每人 制作了一面同一规格的三角形彩旗 小明放学回家后 发现自己的彩旗破损了一角 他想 用彩纸重新制作一面彩旗 1 请你帮助小明 用直尺与圆规在彩纸上作出一个与破损前完全一样的三角形 2 解释你作图的理由 23 如图 AB CD AB CD 点 B E F D 在一条直线上 A C 求证 AE CF 说明 证明过程中要写出每步的证明依据 24 如图 已知 AB DE AB DE AF DC 请问图中有哪几对全等三角形 并任选其 中一对给予证明 四 观察与比较 25 26 每题 6 分 27 28 每题 8 分 25 如图 AB CD 相交于点 O AO BO AC DB 那么 OC 与 OD 相等吗 说明你的 理由 A A C C D D B B O O 26 如图 在一小水库的两测有 A B 两点 请设计一种方案能用皮尺测量出 A B 两点 的距离 只说明设计方案 不要求数据计算 要求画出草图 并说明理由 27 如图 AB 12 米 CA AB 于 A DB AB 于 B 且 AC 4 米 点 P 从点 B 向点 A 运动 每分钟走 1 米 点 Q 从点 B 向点 D 运动 每分钟走 2 米 P Q 两点同时出发 运 动几分钟后 CAP PBQ 并说理由 28 已知如图 1 2 3 4 点 P 在 AB 上 可以得出 PC PD 吗 为什么 五 探究与思考 29 题 10 分 30 题 8 分 29 1 已知 如图 AE CF DAF BCE AD CB 问 ADF 与 CBE 全等吗 请说明理由 2 如果将 BEC 沿 CA 边方向平行移动 可有下列 幅图 如上面的条件不变 结论仍成立吗 请说明理由 30 1 如图 有一块直角三角板 XYZ 放置在 ABC 上 恰好三角板 XYZ 的两条 直角边 XY XZ 分别经过点 B C ABC 中 A 30 则 ABC ACB 度 XBC XCB 度 X X Y A B CCB A