高中数学《抛物线及其标准方程》学案1 新人教A版选修1-1

用心 爱心 专心1 典型例题一典型例题一 例例 1 1 指出抛物线的焦点坐标 准线方程 1 yx4 2 2 0 2 aayx 分析 分析 1 先根据抛物线方程确定抛物线是四种中哪一种 求出p 再写出焦点坐标 和准线方程 2 先把方程化为标准方程形式 再对a进行讨论 确定是哪一种后 求p及焦点 坐标与准线方程 解 解 1 2 p 焦点坐标是 0 1 准线方程是 1 y 2 原抛物线方程为 x a y 1 2 a p 1 2 当0 a时 a p 4 1 2 抛物线开口向右 焦点坐标是 0 4 1 a 准线方程是 a x 4 1 当0 a时 a p 4 1 2 抛物线开口向左 焦点坐标是 0 4 1 a 准线方程是 a x 4 1 综合上述 当0 a时 抛物线 2 ayx 的焦点坐标为 0 4 1 a 准线方程是 a x 4 1 典型例题二典型例题二 例例 2 2 若直线2 kxy与抛物线xy8 2 交于A B两点 且AB中点的横坐标为 2 求此直线方程 分析 分析 由直线与抛物线相交利用韦达定理列出k的方程求解 另由于已知与直线斜率 及弦中点坐标有关 故也可利用 作差法 求k 解法一 解法一 设 11 yxA 22 yxB 则由 xy kxy 8 2 2 可得 04 84 22 xkxk 直线与抛物线相交 0 k且0 则1 k AB中点横坐标为 2 84 2 2 21 k kxx 解得 2 k或1 k 舍去 用心 爱心 专心2 故所求直线方程为 22 xy 解法二 解法二 设 11 yxA 22 yxB 则有 2 2 21 2 1 88xyxy 两式作差解 8 212121 xxyyyy 即 2121 21 8 yyxx yy 4 21 xx 444 22 212121 kxxkkxkxyy 44 8 k k故2 k或1 k 舍去 则所求直线方程为 22 xy 典型例题三典型例题三 例例 3 3 求证 以抛物线的焦点弦为直径的圆心与抛物线的准线相切 分析 分析 可设抛物线方程为 0 2 2 ppxy 如图所示 只须证明 1 2 MM AB 则 以AB为直径的圆 必与抛物线准线相切 证明 证明 作lAA 1 于lBBA 11 于 1 B M为AB中点 作 lMM 1 于 1 M 则由抛物线的定义可知 BFBBAFAA 11 在直角梯形AABB 11 中 ABBFAFBBAAMM 2 1 2 1 2 1 111 ABMM 2 1 1 故以AB为直径的圆 必与抛物线的准线相切 说明 说明 类似有 以椭圆焦点弦为直径的圆与相对应的准线相离 以双曲线焦点弦为直 径的圆与相应的准线相交 典型例题四典型例题四 例例 4 4 1 设抛物线xy4 2 被直线kxy 2截得的弦长为53 求k值 2 以 1 中的弦为底边 以x轴上的点P为顶点作三角形 当三角形的面积为 9 时 求P点坐标 分析 分析 1 题可利用弦长公式求k 2 题可利用面积求高 再用点到直线距离求P 点坐标 解 解 1 由 kxy xy 2 4 2 得 0 44 4 22 kxkx 用心 爱心 专心3 设直线与抛物线交于 11 yxA与 22 yxB两点 则有 4 1 2 2121 k xxkxx 21 5 1 54 5 21 22 21 2 21 2 21 2 kkkxxxxxxAB 53 21 5 53 kAB 即4 k 2 9 S 底边长为53 三角形高 5 56 53 92 h 点P在x轴上 设P点坐标是 0 0 x 则点P到直线42 xy的距离就等于h 即 5 56 12 402 22 0 x 1 0 x或5 0 x 即所求P点坐标是 1 0 或 5 0 典型例题五典型例题五 例例 5 5 已知定直线l及定点A A不在l上 n为过A且垂直于l的直线 设N为l上 任一点 AN的垂直平分线交n于B 点B关于AN的对称点为P 求证P的轨迹为抛物线 分析 分析 要证P的轨迹为抛物线 有两个途径 一个证明P点的轨迹符合抛物线的定义 二是证明P的轨迹方程为抛物线的方程 可先用第一种方法 由A为定点 l为定直线 为我们提供了利用定义的信息 若能证明PNPA 且lPN 即可 证明 证明 如图所示 连结PA PN NB 由已知条件可知 PB垂直平分NA 且B关于AN的对称点为P AN也垂直平分PB 则四边形PABN为菱形 即有PNPA lPNlAB 则P点符合抛物线上点的条件 到定点A的距离与到定直线的距离相等 所以P点的 轨迹为抛物线 典型例题六典型例题六 例例 6 6 若线段 21P P为抛物线 0 2 2 ppxyC 的一条焦点弦 F为C的焦点 求证 pFPFP 211 21 用心 爱心 专心4 分析 分析 此题证的是距离问题 如果把它们用两点间的距离表示出来 其计算量是很大 的 我们可以用抛物线的定义 巧妙运用韦达定理 也可以用抛物线的定义与平面几何知 识 把结论证明出来 证法一 证法一 0 2 p F 若过F的直线即线段 21P P所在直线斜率不存在时 则有pFPFP 21 pppFPFP 21111 21 若线段 21P P所在直线斜率存在时 设为k 则此直线为 0 2 k p xky 且设 222111 yxPyxP 由 2 2 p xky p xky 得 0 4 2 22 222 pk xkpxk 2 2 21 2 k kp xx 4 2 21 p xx 根据抛物线定义有 pxxPP p xFP p xFP 21211211 2 2 则 FPFP FPFP FPFP 21 21 21 11 4 2 2 2 2 2121 21 21 21 p xx p xx pxx p x p x pxx 请将 代入并化简得 pFPFP 211 21 证法二 证法二 如图所示 设 1 P 2 P F点在C的准线l上的射影分别是 1 P 2 P F 且不妨设 1122 PPmnPP 又设 2 P点在F F 11P P 上的射影分别是A B点 由抛 物线定义知 pFFmFPnFP 12 又AFP2 12BP P 12 2 1 PP FP BP AF 即 nm n nm np 用心 爱心 专心5 pnm mnnmp 211 2 故原命题成立 典型例题七典型例题七 例例 7 7 设抛物线方程为 0 2 2 ppxy 过焦点F的弦AB的倾斜角为 求证 焦 点弦长为 2 sin 2p AB 分析 分析 此题做法跟上题类似 也可采用韦达定理与抛物线定义解决问题 证法一 证法一 抛物线 0 2 2 ppxy的焦点为 0 2 p 过焦点的弦AB所在的直线方程为 2 tan p xy 由方程组 pxy p xy 2 2 tan 2 消去y得 0tan tan4tan4 22222 ppx 设 2211 yxByxA 则 4 cot21 tan 2 tan 2 21 2 2 2 21 p xx p p xx 又 tan 2121 xxyy 2 4 2 2222 2 222 21 2 21 2 2 21 2 sin 2 sin 1 4 cot1 cot4sec 4 4 cot1 tan1 4 tan1 tan1 p p p p p xxxx xxAB 用心 爱心 专心6 即 2 sin 2p AB 证法二 证法二 如图所示 分别作 1 AA 1 BB垂直于准线l 由抛物线定义有 cos cos 1 1 BFpBBBF pAFAAAF 于是可得出 cos1 p AF cos1 p BF 2 2 sin 2 cos1 2 cos1cos1 p p pp BFAFAB 故原命题成立 典型例题八典型例题八 例例 8 8 已知圆锥曲线C经过定点 32 3 P 它的一个焦点为F 1 0 对应于该焦点 的准线为1 x 过焦点F任意作曲线C的弦AB 若弦AB的长度不超过 8 且直线AB与 椭圆223 22 yx相交于不同的两点 求 1 AB的倾斜角 的取值范围 2 设直线AB与椭圆相交于C D两点 求CD中点M的轨迹方程 分析 分析 由已知条件可确定出圆锥曲线C为抛物线 AB为抛物线的焦点弦 设其斜率为 k 弦AB与椭圆相交于不同的两点 可求出k的取值范围 从而可得 的取值范围 求CD 中点M的轨迹方程时 可设出M的坐标 利用韦达定理化简即可 解 解 1 由已知得4 PF 故P到1 x的距离4 d 从而dPF 曲线C是抛物线 其方程为xy4 2 设直线AB的斜率为k 若k不存在 则直线AB与223 22 yx无交点 k存在 设AB的方程为 1 xky 由 1 4 2 xky xy 可得 044 2 kyky 用心 爱心 专心7 设A B坐标分别为 11 yx 22 yx 则 4 4 2121 yy k yy 2 2 21 2 21 2 2 21 2 1 4 4 1 1 1 k k yyyy k k yy k AB 弦AB的长度不超过 8 8 1 4 2 2 k k 即1 2 k 由 223 1 22 yx xky 得 0 1 24 32 2222 kxkxk AB与椭圆相交于不同的两点 3 2 k 由1 2 k和3 2 k可得 31 k或13 k 故3tan1 或1tan3 又 0 所求 的取值范围是 34 或 4 3 3 2 2 设CD中点 yxM 33 yxC 44 yxD 由 223 1 22 yx xky 得 0 1 24 32 2222 kxkxk 9325 31 32 3 1 32 2 2 32 1 2 32 4 2 2 2 2 2 43 2 2 13 2 2 43 k k k x k kxx x k k xx k k xx 则 3 2 32 1 1 5 2 2 k 即 3 2 5 2 x 用心 爱心 专心8 3 1 2 1 2 32 2 1 2 2 2 2 2 2 x y x y k k x x y k 化简得 0323 22 xyx 所求轨迹方程为 3 2 5 2 0323 22 xxyx 典型例题九典型例题九 例例 9 9 定长为 3 的线段AB的端点A B在抛物线xy 2 上移动 求AB的中点到 y轴的距离的最小值 并求出此时AB中点的坐标 分析 分析 线段AB中点到y轴距离的最小值 就是其横坐标的最小值 这是中点坐标问 题 因此只要研究A B两点的横坐标之和取什么最小值即可 解 解 如图 设F是xy 2 的焦点 A B两点到准线的垂线分别是AC BD 又 M到准线的垂线为MN C D和N是垂足 则 2 3 2 1 2 1 2 1 ABBFAFBDACMN 设M点的横坐标为x 纵坐标为y 4 1 xMN 则 4 5 4 1 2 3 x 等式成立的条件是AB过点F 当 4 5 x时 4 1 2 21 Pyy 故 2 2 1 22 21 2 2 2 1 2 21 xyyyyyy 2 21 yy 2 2 y 用心 爱心 专心9 所以 2 2 4 5 M 此时M到y轴的距离的最小值为 4 5 说明 说明 本题从分析图形性质出发 把三角形的性质应用到解析几何中 解法较简 典型例题十典型例题十 例例 1010 过抛物线pxy2 的焦点F作倾斜角为 的直线 交抛物线于A B两点 求AB的最小值 分析 分析 本题可分 2 和 2 两种情况讨论 当 2 时 先写出AB的表达式 再求范围 解 解 1 若 2 此时pAB2 2 若 2 因有两交点 所以0 2 tan p xyAB 即 2tan py x 代入抛物线方程 有0 tan 2 22 py p y 故 222 2 2 2 12 csc44 tan 4 pp p yy 2 2 2 2 2 12 2 12 tan csc 4 tan p yy xx 故 42 2 22 2 csc4 tan 1 1 csc4ppAB 所以p p AB2 sin 2 2 因 2 所以这里不能取 综合 1 2 当 2 时 pAB2 最小值 说明 说明 1 此题须对 分 2 和 2 两种情况进行讨论 2 从解题过程可知 抛物线点弦长公式为 2 sin 2p l 3 当 2 时 AB叫做抛物线的通径 通径是最短的焦点弦 典型例题十一典型例题十一 用心 爱心 专心10 例例 1111 过抛物线pxy2 2 0 p的焦点F作弦AB l为准线 过A B作l的垂 线 垂足分别为 A B 则 FB A 为 BAF 为 A 大于等于 90 B 小于等于 90 C 等于 90 D 不确定 分析 分析 本题考查抛物线的定义 直线与圆的位置关系等方面的知识 关键是求角的大 小以及判定直线与圆是否相切 解 解 点A在抛物线上 由抛物线定义 则21 AFAA 又xAA 轴31 32 同理64 而 1804632 9063 90 FB A 选 C 过AB中点M作lMM 垂中为 M 则ABBFAFBBAAMM 2 1 2 1 2 1 以AB为直径的圆与直线l相切 切点为 M 又 F在圆的外部 90 B AF 特别地 当xAB 轴时 M与 F重合 90 B AF 即 90 B AF 选 B 典型例题十二典型例题十二 例例 1212 已知点 2