选修4-2矩阵与变换习题

第 1 页 共 16 页 第一讲二阶矩阵 二阶矩阵与平面向量的乘法 二阶矩阵与线性变换二阶矩阵 二阶矩阵与平面向量的乘法 二阶矩阵与线性变换 一 二阶矩阵一 二阶矩阵 1 矩阵的概念 2 3 将的坐标排成一列 并简记为 OP OP 2 3 2 3 某电视台举办歌唱比赛 甲 乙两名选手初 复赛成绩如下 初赛 复赛 甲 80 90 乙 8688 概念一 概念一 象 的矩形数字 或字母 阵列称为矩阵矩阵 通常用大写的拉丁字母 A A B B C C 表示 2 3 80 90 86 88 23 324 m 横排叫做矩阵的行行 竖排叫做矩阵的 列列 名称介绍 名称介绍 上述三个矩阵分别是 2 1 矩阵 2 2 矩阵 二阶矩阵 2 3 矩阵 注意行的个数在前 行的个数在前 矩阵相等 行数 列数相等 对应的元素也相等的两个矩阵 称为 A B 行矩阵 a11 a12 仅有一行 列矩阵 仅有一列 a11 a21 向量 x y 平面上的点 P x y 都可以看成行矩阵或列矩阵 在本书中规定规定所有的平面向a x y x y 量均写成列向量的形式 x y 练习练习 1 1 1 已知 若 A B 试求 24 3x A 2 1 z y Bzyx 2 设 若 A B 求 x y m n 的值 2 3 x A y 2 mnxy B xy mn 概念二 概念二 由 4 个数 a b c d 排成的正方形数表称为二阶矩阵 a b c d 称为矩阵的元素 a b c d 零矩阵 所有元素均为 0 即 记为 0 0 0 0 0 二阶单位矩阵 记为 E2 1 0 0 1 23m 3 2 4 y x2 3 O P 2 3 2 3 80 90 86 88 231 3242 xymz xyz 简记为 23 324 m 第 2 页 共 16 页 二 二阶矩阵与平面向量的乘法二 二阶矩阵与平面向量的乘法 定义 定义 规定二阶矩阵 A 与向量的乘积为 即 a b c d x y axby A cxdy A a b c d x y axby cxdy 练习练习 2 2 1 1 1 3 10 21 2 3 1 10 21 2 求 21 01 y x 1 1 y x 三 二阶矩阵与线性变换三 二阶矩阵与线性变换 1 1 旋转变换旋转变换 问题问题 1 1 P x y 绕原点逆时针旋转 180o得到 P x y 称称 P P 为 为 P P 在此旋转变换作用下的象 在此旋转变换作用下的象 其结果为 也可以表示为 即 怎么算出来的 xx yy 0 0 xxy yxy x y 10 01 y xx y 问题问题 2 P x y 绕原点逆时针旋转 30o得到 P x y 试完成以下任务 写出象 P 写出这个旋转变换的 方程组形式 写出矩阵形式 问题问题 3 3 把问题 2 中的旋转 30o改为旋转角 其结果又如何 2 2 反射变换反射变换 定义 把平面上任意一点 P 对应到它关于直线 的对称点 P 的线性变换叫做关于直线关于直线 的反射 的反射 ll 研究 P x y 关于 x 轴的反射变换下的象 P x y 的坐标公式与二阶矩阵 3 3 伸缩变换伸缩变换 定义 将每个点的横坐标变为原来的倍 纵坐标变为原来的倍 均不为 0 这样的几何变换为伸伸 1 k 2 k 1 k 2 k 缩变换缩变换 试分别研究以下问题 将平面内每一点的纵坐标变为原来的 2 倍 横坐标不变的伸缩变换伸缩变换的坐标公式与二阶矩阵 将每个点的横坐标变为原来的倍 纵坐标变为原来的倍的伸缩变换伸缩变换的坐标公式与二阶矩阵 1 k 2 k 4 4 投影变换投影变换 定义 将平面上每个点 P 对应到它在直线 上的投影 P 即垂足 这个变换称为关于直线 的投影变换 投影变换 ll 研究 P x y 在 x 轴上的 正 投影变换的的坐标公式与二阶矩阵 5 5 切变变换切变变换 定义 将每一点 P x y 沿着与 x 轴平行的方向平移个单位 称为平行于 x 轴的切变变换 切变变换 将每一点ky P x y 沿着与 y 轴平行的方向平移个单位 称为平行于 y 轴的切变变换 切变变换 kx 研究 这两个变换的坐标公式和二阶矩阵 练习 P10 1 2 3 4 30o 第 3 页 共 16 页 四 简单应用四 简单应用 1 设矩阵 A 求点 P 2 2 在 A 所对应的线性变换下的象 1 0 01 练习 P13 1 2 3 4 5 第一讲 作业 1 关于 x 轴的反射变换对应的二阶矩阵是 2 在直角坐标系下 将每个点绕原点逆时针旋转 120o的旋转变换对应的二阶矩阵是 3 如果一种旋转变换对应的矩阵为二阶单位矩阵 则该旋转变换是 4 平面内的一种线性变换使抛物线的焦点变为直线 y x 上的点 则该线性变换对应的二阶矩阵可以是 2 yx 5 平面上一点 A 先作关于 x 轴的反射变换 得到点 A1 在把 A1绕原点逆时针旋转 180o 得到点 A2 若存在一种 反射变换同样可以使 A 变为 A2 则该反射变换对应的二阶矩阵是 6 P 1 2 经过平行于 y 轴的切变变换后变为点 P1 1 5 则该切变变换对应的坐标公式为 7 设 且 A B 则 x 1 21 x A xy 2 2 42 zx B x 8 在平面直角坐标系中 关于直线 y x 的正投影变换对应的矩阵为 9 在矩阵对应的线性变换作用下 点 P 2 1 的像的坐标为 12 21 A 10 已知点 A 2 1 B 2 3 则向量在矩阵对应的线性变换下得到的向量坐标为 AB 1 1 2 0 2 11 向量在矩阵的作用下变为与向量平行的单位向量 则 a 12 01 A 1 1 a 12 已知 设 求 1 5 2 3 4 A a 1 2 b 3 4 ab ab A A 13 已知 若与的夹角为 135o 求 x 10 1 2 A a 1 1 b 1 x Aa Ab 14 一种线性变换对应的矩阵为 若点 A 在该线性变换作用下的像为 5 5 求电 A 的坐标 10 1 0 解释该线性变换的几何意义 15 在平面直角坐标系中 一种线性变换对应的二阶矩阵为 求 点 A 1 5 3 在该变换作用下的像 0 1 1 0 2 圆上任意一点在该变换作用下的像 22 1xy 00 P xy 第 4 页 共 16 页 答案 1 2 3 4 5 6 7 1 8 10 01 1 3 2 2 31 22 360o R 0 0 a a 1 0 01 2 xx yxy 9 0 5 10 2 8 11 12 11 22 11 22 2 2 2 2 2 2 2 2 7 18 19 4 13 2 3 14 5 y 15 1 5 3 2 2 o o x y 第二讲 线性变换的性质线性变换的性质 复合变换与二阶矩阵的乘法复合变换与二阶矩阵的乘法 一 数乘平面向量数乘平面向量与平面向量的加法平面向量的加法运算 1 数乘平面向量数乘平面向量 设 是任意一个实数 则 x y x y 2 平面向量的加法 平面向量的加法 设 则 1 1 x y 2 2 x y 12 12 xx yy 性质性质 1 1 设 A 是一个二阶矩阵 是平面上的任意两个向量 是任意一个实数 则 数乘结合律数乘结合律 分配律分配律 AA AAA 探究 1 对以上的性质进行证明 并且说明其几何意义 二 直线在线性变换下的图形直线在线性变换下的图形 研究分别在以下变换下的像所形成的图形 ykxb 伸缩变换 1 0 0 2 旋转变换 1 3 2 2 13 22 切变变换 1 2 0 1 特别地 直线 x a 关于 x 轴的投影变换 性质性质 2 2 二阶矩阵对应的变换 线性变换 把平面上的直线变成 证明见课本 P19 三 平面图形在线性变换下的像所形成的图形三 平面图形在线性变换下的像所形成的图形 分别研究单位正方形区域在线性变换下的像所形成的图形 恒等变换 1 0 0 1 旋转变换 cossin sincos 第 5 页 共 16 页 切变变换 1 0 1 k 反射变换 10 01 投影变换 1 0 0 0 练习 P27 应用应用 试研究函数在旋转变换作用下得到的新曲线的方程 1 y x 22 22 22 22 四 复合变换与二阶矩阵的乘法四 复合变换与二阶矩阵的乘法 1 研究任意向量先在旋转变换 作用 再经过切变变换 作用的向量 x y 30o R 1 3 2 2 13 22 1 2 0 1 x y 2 二阶矩阵的乘积 定义 设矩阵 A B 则 A 与 B 的乘积 11 11 ab cd 22 22 ab cd AB 11 11 ab cd 22 22 ab cd 应用应用 1 计算 2 1 1 1 2 1 1 0 2 A B 求 AB cos sin sin cos cos sin sin cos 3 求在经过切变变换 A 及切变变换 B 两次变换后的像 1 3 10 2 1 1 2 0 1 4 设压缩变换 A 旋转变换 B 将两个变换进行复合 求向量 1 0 2 1 0 90o R 01 10 90o R 在复合变换下的像 求在复合变换下的像 在复合变换下单位正方形变成什么图形 2 3 x y 第 6 页 共 16 页 5 试研究椭圆 伸缩变换 旋转变换 切变变换 反射变 22 1 34 xy 0 5 0 01 1 3 2 2 13 22 1 2 0 1 换 投影变换 五种变换作用下的新曲线方程 10 01 1 0 0 0 进一步研究在 等变换下的新曲线方程 练习 P35 第二讲 作业 A B C D 1 下列线性变换中不会使正方形变为其他图形的是 A 反射变换 B 投影变换 C 切变变换 D 伸缩变换 2 在切变变换 作用下 直线 y 2x 1 变为 10 2 1 3 在 A 作用下 直线 变为 y 2x 3 则直线 为 0 51 21 ll 4 在对应的线性边变换作用下 椭圆变为 10 1 0 22 1 24 xy 5 已知平面内矩形区域为 0 x1 1 0 x2 2 若一个线性变换将该矩形变为正方形区域 则该线 12 x ix j 性变换对应的矩阵为 6 将椭圆绕原点顺时针旋转 45 后得到新的椭圆方程为 22 1 34 xy 7 在对应的线性边变换作用下 圆 x 1 2 y 1 2 1 变为 1 0 1 0 8 计算 1 3 2 4 1 1 04 2 1 1 1 10 11 10 11 2 1 1 1 9 向量经过和两次变换后得到的向量为 1 2 1 1 0 1 1 0 1 1 10 向量先逆时针旋转 45o 再顺时针旋转 15o得到的向量为 3 1 11 函数的图像经过的伸缩变换 和的反射变换后的函数是 sin 3 yx 2 0 0 1 1 0 01 12 椭圆先后经过反射变换和伸缩变换后得到的曲线方程为 22 1 43 xy 0 1 1 0 10 0 0 5 13 已知 且 求矩阵 2 1 1 1 1 2 0 1 14 分别求出在 对应的线性边变换作用下 椭圆变换后的方程 并作 10 2 0 0 5 0 01 1 0 0 0 2 2 1 4 x y 第 7 页 共 16 页 出图形 15 函数先后经过怎样的变换可以得到 写出相应的矩阵 1 y x 22 1 44 xy 答案 1 2 y 1 3 3x y 3 0 4 y x 5 6 7 y x 2 x 0 8 0 1 1 0 2 22 772240 xyxy 9 10 11 1 13 2 18 11 01 21 01 3 5 1 3 sin 23 x y 12 13 14 y 2x 2 x 2 y 0 2 x 2 15 2 2 1 3 x y 11 1 0 22 1xy 0 2 02 22 22 22 22 11 11 第三讲 矩阵乘法的性质矩阵乘法的性质 逆变换 逆矩阵逆变换 逆矩阵 二 矩阵乘法的性质矩阵乘法的性质 1 设 由 A B C 研究矩阵是否满足 结合律 交换律 消去 0 1 1 1 11 23 0 1 1 0 律 结论结论 2 由结合律研究矩阵 的乘方运算 3 单位矩阵的性质 应用应用 1 设 求 8 0 1 1 1 2 练习 P41 二 逆变换与逆矩阵逆变换与逆矩阵 1 逆变换 逆变换 设是一个线性变换 如果存在一个线性变换 使得 是恒等变换 则称变换可逆可逆 其中是的逆变换 II 2 逆矩阵 设 是一个二阶矩阵 如果存在二阶矩阵 使得 BA AB E2 则称矩阵 可逆矩阵 可逆 其中 为 的逆矩 阵 符号 记法 符号 记法 读作 的逆 1 A 应用应用 1 试寻找 30o的逆变换 应用应用 1 1 A 问 A 是否可逆 若可逆 求其逆矩阵 3 1 4 2 1 A 2 A 问 A 是否可逆 若可逆 求其逆矩阵 2 1 4 2 1 A 第 8 页 共 16 页 由以上两题 总结一般矩阵 A 可逆的必要条件 a b c d 三 逆矩阵的性质三 逆矩阵的性质 1 二阶矩阵可逆的唯一性 二阶矩阵可逆的唯一性 2 设二阶矩阵 A B 均可逆 则也可逆 且AB 111 ABB A 练习 P50 第三讲 作业 1 已知非零二阶矩阵 A B C 下列结论正确的是 A AB BA B AB C A BC C 若 AC BC 则 A B D 若 CA CB 则 A B 2 下列变换不存在逆变换的是 A 沿 x 轴方向 向 y 轴作投影变换 B 变换 C 横坐标不变 纵坐标增加横坐标的两倍的切变变换 60o R D 以 y 轴为反射变换 3 下列矩阵不存在逆矩阵的是 A B C D 0 1 1 0 0 5 0 01 01 10 1 0 1 0 4 设 A B 可逆 下列式子不正确的是 A B 111 ABA B 111 ABB A C D 11 AA 211 2 AA 5 则 2 01 10 N 6 1 0 1 1 1 0 0 2 1 1 0 1 0 1 1 1 7 1 2 0 3 2 3 1 2 46 24 8 设 则向量经过先 再 的变换后的向量为 经过先 再 A 的变 1 0 2 1 A 0 2 1 0 B 1 1 换后的向量为 9 关于 x 轴的反射变换对应矩阵的逆矩阵是 10 变换将 3 2 变成 1 0 设的逆变换为 1 则 1将 1 0 变成点 11 矩阵的逆矩阵为 0 1 1 1 12 设 点 2 3 在 1的作用下的点的坐标为 x y 11 01 x y 13 A 则 11 01 1 3 2 2 31 22 1 A 14 ABC 的顶点 A 0 0 B 2 0 C 0 1 如果将三角形先后经过和两次变换变成 A B C 求 1 1 0 1 1 0 1 1 A B C 的面积 第 9 页 共 16 页 15 已知 A B 求圆在变换作用下的图形 1 3 2 2 31 22 2 0 0 1 22 1xy 1 AB 16 已知 试分别计算 2 1 0 2 A 2 A 3 A 4 A n A 答案 1 B 2 A 3 D 4 A 5 6 7 8 9 10 01 1 2 3 4 2 4 0 6 2 1 2 3 10 01 10 3 2 11 12 1 3 13 14 1 15 1 1 10 1 13 2 2 3 13 2 2 22 41xy 16 2 4 4 0 4 A 3 8 12 08 A 4 16 32 016 A 1 22 02 nn n n n A 第四讲 二阶行列式与逆矩阵二阶行列式与逆矩阵 逆矩阵与二元一次方程组逆矩阵与二元一次方程组 一 二阶行列式与逆矩阵二阶行列式与逆矩阵 概念概念 如果矩阵 A 是可逆的 则0 a b c d adbc 其中称为二阶行列式二阶行列式 记作 即 也称为行列式的展开式 符abcd a b c d a b c d adbc adbc a b c d 号记为 detA 或 A 可逆矩阵的充要条件可逆矩阵的充要条件 定理 二阶矩阵 A 可逆 当且仅当 detA 0 此时 a b c d adbc 请同学一起证明此定理 1detdet detdet db AA A ca AA 应用应用 1 计算二阶行列式 3 1 4 2 22 13 2 判断下列二阶矩阵是否可逆 若可逆 求出逆矩阵 A 01 1 0 B 1 1 0 0 练习 P55 第 10 页 共 16 页 二 二元一次方程组的矩阵形式二元一次方程组的矩阵形式 1 1 二元一次方程组的矩阵形式二元一次方程组的矩阵形式 一般的 方程组可写成矩阵形式为 axbye cxdyf 2 二元一次方程组的线性变换意义二元一次方程组的线性变换意义 设变换 向量 则方程组 意即 a b c d x y e f axbye cxdyf x y e f 三 逆矩阵与二元一次方程组三 逆矩阵与二元一次方程组 1 研究方程组 的矩阵形式与逆矩阵的关系 31 3 22 13 1 22 xy xy 定理定理 如果关于 x y 的二元一次方程组的系数矩阵 A 是可逆的 则该方程组有唯一解 axbye cxdyf a b c d x y 1 a b c d e f 推论推论 关于 x y 的二元一次方程组 a b c d 均不为 0 有非零解 0 0 0 axby cxdy a b c d 应用应用 1 用逆矩阵解二元一次方程组 32 420 xy xy 思考思考 课本课本 6060 页思考页思考 的系数矩阵 A 不可逆 方程组的解如何 axbye cxdyf a b c d 练习 P61 应用应用 1 为何值时 二元一次方程组 有非零解 a b c d x y x y 三 三阶矩阵与三阶行列式三 三阶矩阵与三阶行列式 1 三阶矩阵的形式 2 三阶行列式的运算 第四讲 作业 1 矩阵 A 则 A 3 1 4 2 2 矩阵 A 若 A 是不可逆的 则 x 2 1 510 x 第 11 页 共 16 页 3 的逆矩阵为 12 3 4 4 A B 则 10 31 12 01 1 AB 5 A 若 A 不可逆 则 3 12 x 3 1 A 6 若关于 x y 的二元一次方程组有非零解 则 m 30 4110 xmy xy 7 设二元一次方程组 没有非零解 则 m 所有值的集合为 2 24 m x y x y 8 向量在旋转变换的作用下变为 则向量 60o R 1 3 9 若 则 x y 1 3 0 1 x y 1 2 10 A B 向量满足 则向量 31 10 32 01 1 AB 3 1 11 用逆矩阵的方法解方程组 7113 0 xy xy 30 1240 xy xy 12 求下列未知的二阶矩阵 X 1232 311 1 X 1232 311 1 X 13 当为何值时 二元一次方程组 有非零解 2 2 1 3 x y x y 14 设 A 矩阵 B 满足 求矩阵 B 12 1 1 1 ABA 3 0 1 2 答案 1 2 2 3 4 5 6 33 4 7 8 2 21 55 31 1010 72 31 15 5 3 2 m 9 3 10 11 x k y 3k 12 3 31 2 33 2 3 0 11 66 xy 14 77 105 77 38 77 41 77 13 1 或 4 14 52 33 210 33 第五讲 变换的不变量与特征向量变换的不变量与特征向量 一 特征值与特征向量特征值与特征向量 探究探究 第 12 页 共 16 页 1 计算下列结果 10 01 0 a 10 01 0 b 以上的计算结果与 的关系是怎样的 0 a 0 b 2 计算下列结果 1 0 0 2 0 a 1 0 0 2 0 b 以上的计算结果与 的关系是怎样的 0 a 0 b 定义定义 设矩阵 A 如果存在实数及非零向量 使得 则称是矩阵是矩阵 A A 的一个特征值 的一个特征值 a b c d A 是矩阵是矩阵 A A 的属于特征值的一个特征向量 的属于特征值的一个特征向量 结合探究 1 2 说明 特征值与特征向量 定理定理 1 1 如果如果是矩阵是矩阵 A A 的属于特征值的属于特征值的一个特征向量 则对任意的非零常数的一个特征向量 则对任意的非零常数 k k k k也是矩阵也是矩阵 A A 的属于特征值的属于特征值的特的特 征向量 征向量 其几何意义是什么 定理定理 2 2 属于矩阵的不同特征值的特征向量不共线 属于矩阵的不同特征值的特征向量不共线 应用应用 从几何角度解释旋转变换的特征值与特征向量 1 3 2 2 13 22 二 特征值与特征向量的计算特征值与特征向量的计算 1 设 A 求 A 的特征值及属于每个特征值的一个特征向量 2 2 1 3 总结规律 一般的 矩阵 A 的特征值及属于每个特征值的一个特征向量的求法 a b c d 应用应用 求 A 的特征值及属于每个特征值的一个特征向量 12 1 4 练习 P70 第五讲 作业 第 13 页 共 16 页 1 设反射变换对应的矩阵为 A 则下列不是 A 的特征向量的是 xx yy A B C D 0 1 1 0 0 1 1 1 2 下列说法错误的是 A 矩阵 A 的一个特征向量只能属于 A 的一个特征值 B 每个二阶矩阵均有特征向量 C 属于矩阵 A 的不同 特征值的特征向量一定不共线 D 如果是矩阵 A 的属于特征值的一个特征向量 则对任意的非零常数 k k也是矩阵 A 的属于特征值的特征向量 3 设 分别是恒等变换与零变换的特征值 则 1 2 1 2 4 投影变换的所有特征值组成的集合为 0 0 0 1 5 矩阵的特征多项式为 a b c d 6 已知 A 是二阶矩阵 且 A2 0 则 A 的特征值为 7 若 0 是矩阵 A 的一个特征值 则 A 的属于 0 的特征向量为 1 1 0 x 8 已知 1 2 是矩阵 A 的特征值 则 1 3 m n 1 A 9 若向量是矩阵的一个特征向量 则 m 1 2 1 22 m 10 求下列矩阵的特征值及其对应的所有特征向量 0 1 4 0 1 0 11 3 4 5 2 11 已知向量是矩阵的一个特征向量 求 m 的值 0 k 1 02 m 12 设 A 分别求满足下列条件的所有矩阵 A 是 A 的属于 2 的一个特征向量 是 A 的 2 3 a b 1 2 1 2 一个特征向量 13 对任意实数 x 矩阵总存在特征向量 求 m 的取值范围 3 22 xm m 14 设 A 是可逆的二阶矩阵 求证 A 的特征值一定不是 0 若是 A 的特征值 则 1 是 A 1的特征值 1 2 3 4 0 1 5 6 0 7 8 2 fadadbc k k 9 10 或 或 10 31 22 2 0 2 k k k 2 0 2 k k k 0 1 0k k 第 14 页 共 16 页 或 11 0 2 1 0 k k k 7 0 k k k 4 2 0 5 k k k 12 13 3 2 14 有特征多项式证明 0 2 7 3 2 1 2 2 3 3 2 A 得征 11 AAA 11 AA 1 1 A 第六讲 特征向量的应用特征向量的应用 一 的简单表示 n A 探究探究 1 关于 x 轴的反射变换的坐标公式为 相应的二阶矩阵为 A 矩阵 A 的特征值为 对应于每个特征值的特征向量为 试研究对特征向量作了 n 次变换后的结果 定义定义 设矩阵 A 是矩阵 A 的属于特征值的任意一个特征向量 则 a b c d nn A nN 探究探究 2 设探究 1 中的两个特征向量为 因为这两个向量不共线 所以平面上任意一个向量可以用 为 1 2 1 2 基底表示为 试研究的值 n A 性质性质 1 1 设 是二阶矩阵 A 的两个不同特征值 是矩阵 A 的分别属于特征值 的特征向量 对于平面 1 2 1 2 1 2 上任意一个非零向量 设 则 1122 tt n A 1 11222 nn tt 应用应用 1 P76 1 2 2 人口迁移问题课本 P73 第五讲 作业 1 求矩阵 A 的特征值及其对应的所有特征向量 0 0 a a 2 设是矩阵 A 的一个特征值 求证 是的一个特征值 若 求证 A 的特征值为 0 或 1 2 2 A 2 AA 3 设是矩阵 A 的属于特征值的一个特征向量 求证 是的属于特征值的一个特征向量 n A n 4 2 综合 作业 一 选择题 1 设矩阵 A B 若 A B 则 x 的值为 2 19 0 x 25 9 xa b 第 15 页 共 16 页 A 3 B 9 C 3 D 3 2 矩阵的逆矩阵为 01 10 A B C D 01 1 0 1 0 01 10 01 01 10 3 矩阵 A 则 1 2 3 1 2 3