重庆市重点中学2012届高三数学第三次诊断性考试试题 文 旧人教版

用心 爱心 专心1 重庆市重点中学重庆市重点中学 20122012 届高中毕业班三诊模拟考试届高中毕业班三诊模拟考试 数数 学 文科 学 文科 注意事项 注意事项 1 1 答卷前 考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的班别 姓名 考号填答卷前 考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的班别 姓名 考号填 写在答题写在答题 卡的密封线内卡的密封线内 2 2 选择题每小题选出答案后 用选择题每小题选出答案后 用 2B2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 如需要改动 用橡皮擦干净后 再选涂其它答案 答案不能写在试卷上如需要改动 用橡皮擦干净后 再选涂其它答案 答案不能写在试卷上 3 3 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答 答案必须写在另发的答题卷非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答 答案必须写在另发的答题卷 各题目指定区域内相应的位置上 如需改动 先划掉原来的答案 然后再写各题目指定区域内相应的位置上 如需改动 先划掉原来的答案 然后再写 上新的答案 不准使用铅笔和涂改液上新的答案 不准使用铅笔和涂改液 不按以上要求作答的答案无效不按以上要求作答的答案无效 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 1010 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 满分分 满分 5050 分分 在每小题给出的四个选项中 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的只有一项是符合题目要求的 1 是 直线垂直于直线 的 条件2a 02 yax1 yx A 充分不必要 B 必要不充分 C 充分必要 D 既不充分也不必要 2 已知全集 U 集合关系的韦恩 Venn 图如图 1 所示 则 M N NMCU A B 1 8 9 1 2 8 9 C D 3 4 5 1 2 6 7 8 9 3 已知是定义在上的单调递增函数 且满足 则实数的 f x 0 32 1 fxf x 取值范围是 A B C D 1 2 1 3 2 3 1 4 已知向量 则是 2 cos2 xa 2 1 cosxb baxf xR f x A 最小正周期为的偶函数B 最小正周期为的奇函数 C 最小正周期为的偶函数D 最小正周期为的奇函数 2 2 5 曲线在点处的切线方程为 2 1 2 f xx 1 1 2 A B 2210 xy 2210 xy C D 2210 xy 2230 xy 6 对于函数 的图象关于轴对称 是 是偶函 yf x xR yfx y yf x 数 的 A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 用心 爱心 专心2 7 函数在区间上单调递减 且函数值从 1 减sin yx 0 2 且 2 63 小到 那么此函数图像与轴交点的纵坐标为1 y A B C D 1 2 2 2 3 2 62 4 8 在同一坐标系下 直线和圆的图象axbyab 222 0 0 xaybrabr 可能是 9 直线与曲线有四个交点 则的取值范围是2y 2 yxxa a A B C D 3 1 4 5 1 4 7 2 4 9 2 4 10 若把能表示为两个连续偶数的平方差的正整数称为 和平数 则在 1 100 这 100 个 数中 能称为 和平数 的所有数的和是 A 130 B 325 C 676 D 1300 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 5 5 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 满分分 满分 2525 分分 11 某调查机构就某单位一千多名职工的月收入进行调查 现从 中随机抽出 100 名 已知抽到的职工的月收入都在 元之间 根据调查结果得出职工的月收入情况残 1500 4500 缺的频率分布直方图如图 2 所示 则该单位职工的月收入在 元之间的频率等于 月收入的平均数大约 3000 3500 是 元 12 设函数 对于任意的 f xxa 1g xx xR 不等式恒成立 则实数的取值范围是 f xg x a 13 是双曲线的两个焦点 过点作与轴垂直的直线和双曲线的一个 12 F F 2 2 1 y x m 2 Fx 交点为 满足 则的值为 A 212 AFFF m 14 在 中 角的对边分别为 已知 且ABC A B C a b c 2 7 4sincos2 22 AB C 则 的面积为 5ab 7c ABC 15 已知函数在处取得极大值 在处取得极小值 满足 cbxaxxxf 23 2 1 3 1 1 x 2 x 则的取值范围是 1 1 1 x 2 2 4 x 2ab 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 6 6 小题 满分小题 满分 7575 分分 解答须写出文字说明 证明过程和演算步骤解答须写出文字说明 证明过程和演算步骤 16 本小题满分 13 分 用心 爱心 专心3 数列 的前n项和记为 点在曲线上 n a n S n n S 2 4f xxx xN 1 求数列 的通项公式 n a 2 设 求数列 的前n项和的值 1 5 2n nn ba n b n T 17 本小题满分 13 分 如图 6 某测量人员 为了测量西江北岸不能到达的两点A B之 间的距离 她在西江南岸找到一个点C 从C点可以观察到点A B 找 到一个点D 从D点可以观察到点A C 找到一个点E 从E点可以观 察到点B C 并测量得到数据 90ACD 60ADC DC CE 1 百米 15ACB 105BCE 45CEB 1 求 CDE的面积 2 求A B之间的距离 18 本小题满分 13 分 如图 在某城市中 两地之间有整齐的方格形道路网 是 1 A 2 A 3 A 4 A 道路网中位于一条对角线上的 个交汇处 今在道路网 处的甲 乙两人分别要到 处 他们分别随机地选择一条沿街的最短路径 同时以每 分钟一格的速度分别 向 处行走 直到到达 为止 1 求甲经过的概率 2 A 2 求甲 乙两人相遇经点的概率 2 A 3 求甲 乙两人相遇的概率 19 本小题共 12 分 如图 四棱锥的底面是直角梯形 和PABCD ABCDABAD PAB 是两个边长为的正三角形 为的中点 为的中点 PAD 24DC OBDEPA 1 求证 平面 PO ABCD 2 求证 平面 OEPDC 3 求直线与平面所成角的正弦值 CBPDC A D O C P B E 用心 爱心 专心4 20 本小题满分 12 分 已知点P是圆F1 上任意一点 点F2与点F1关于原点对称 线段 16 3 22 yx PF2的中垂线与PF1交于M点 1 求点M的轨迹C的方程 2 设轨迹C与x轴的两个左右交点分别为A B 点K是轨迹C上异于A B的任意一点 KH x轴 H为垂足 延长HK到点Q使得HK KQ 连结AQ延长交过B且垂直于x轴的直线l于点 D N为DB的中点 试判断直线QN与以AB为直径的圆O的位置关系 21 本小题满分 12 分 已知函数 直线m 又 32 3611f xaxxax 2 3612g xxx 9ykx 1 0f 1 求函数在区间上的极值 32 3611f xaxxax 2 3 2 是否存在k的值 使直线m既是曲线的切线 又是的切线 如 yf x yg x 果存在 求出k的值 如果不存在 说明理由 3 如果对于所有的x 都有成立 求k的取值范围 2x 9 f xkxg x 用心 爱心 专心5 重庆市重点中学 2012 届高中毕业班三诊模拟考试 数数 学 文科 参考答案学 文科 参考答案 一 选择题一 选择题 1C 解析 时两直线垂直 两直线垂直时 故选 C 2a 2a 2D 解析 因为 所以 1 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 UMN 1 2 6 7 8 9 U MN 3B 解析 2 3202 13 3213 1 xx x x x 4A 解析 是偶函数 最小正周期为 2 2cos1cos2f xxx 2 2 T 5C 解析 由 1 1fxxkf 1 12210 2 yxxy 6B 解析 是偶函数 也是偶函数 故它们的图象关于轴对称 若 yf x yfx y 的图象关于轴对称 如 但不是偶函数 yfx y f xx f xx 7A 解析 因为函数的最大值为 1 最小值为 且在区间上单调递减 又函数值1 2 63 从 1 减小到 可知为半周期 则周期为 此时1 2 362 22 2 T 原式为 又由函数过点 代入可得 因此函数为sin 2 yx 1 6 6 令 可得 故选 A sin 2 6 yx 0 x 1 2 y 8D 解析 选项 D 中 直线在轴上的截距分别为和 圆心亦为axbyab x y0b 0a 和 0b 0a 9D 解析 如图 在同一直角坐标系内画出直线与曲线 观图可知 2y 2 2 0 0 xxa x y xxa x 的取值必须满足解得 a 2 41 2 4 a a 9 2 4 a 10C 解析 设两个连续偶数为和 则 故和平数的22k 2k 22 22 2 4 21 kkk 且且 特征是4 的倍数 但不是8 的倍数 故在1 100 之间 能称为和平数的有 用心 爱心 专心6 即1 25 之间的奇数个数 共计13 个 其和为 4 1 4 3 4 5 4 7 4 25 且 67613 2 251 4 二 填空题二 填空题 11 收入在元之间的频率等于 3000 3500 1 0 00020 00040 00050 00030 0001 5000 25 月收入的平均数大约是 0 0002 1 750 0004 2 250 0005 2 750 0005 3 250 0003 3 750 0001 4 25 5003150 12 如图作出函数与的图像 观察图像可知 当且仅当 f xxa 1g xx 1a 即 时 不等式恒成立 因此的取值范围是 1a f xg x a 1 13 由 可知 又 所以有 212 AFFF 2 2 b c a 1a bm 1cm 即 解得 又 21mm 2 44mm 2 448mm 2 2 8m 22 2m 0m 所以 22 2m 14 因为 所以 2 7 4sincos2 22 AB C 2 7 2 1 cos 2cos1 2 ABC 解得 2 7 22cos2cos1 2 CC 2 1 coscos0 4 CC 1 cos 2 C 根据余弦定理有 22 17 cos 22 ab C ab 22 7abab 222 327 725718abababab 6ab 所以 1133 3 sin6 2222 SabC 15 由题意可知 2 fxxaxb 2 2 2 2 1 1 1 10 1 1110 2 22420 4 441640 fabab fabab fabab fabab 所构成的区域即为图中阴影部分 四边形的四个顶点坐标分别为 3 4 1 2 3 2 5 4 可验证得 当时 取得最大值为 3 当时 5 4ab 2zab 3 4ab 取得最小值为 于是的取值范围是 2zab 11 2zab 11 3 用心 爱心 专心7 三 解答题三 解答题 16 本小题满分 12 分 解 1 由点在曲线上 知 1 分 n n S 2 4f xxx xN 2 4 n Snn 当 时 4 分 n 1nnn aSS 22 4 1 4 1 nnnn 25n 当时 满足上式 5 分 1n 11 3aS 数列 的通项公式为 6 分 n a25 n an 2 由得 7 分 1 5 2n nn ba 2n n bn 8 分 231 1 22 23 2 1 22 nn n Tnn 上式两边乘以 2 得 9 分 2341 21 22 23 2 1 22 nn n Tnn 得 10 分 231 22222 nn n Tn 即 13 分 1 2 12 2 12 n n n Tn 1 1 22 n n Tn 17 本小题满分 13 分 解 1 连结DE 在 CDE中 1 分 3609015105150 ooooo DCE 平方百米 4 分 11111 sin150sin30 22224 oo BCD SDC CE 2 依题意知 在 RT ACD中 5 分 tan1 tan603 o ACDCADC 在 BCE中 6 分 1801801054530 ooooo CBEBCECEB 由正弦定理 7 分 sinsin BCCE CEBCBE 得 8 分 1 sinsin452 sinsin30 o o CE BCCEB CBE 9 分 000 cos15cos 6045 cos60 cos45sin60 sin45 oooo 10 分 123262 22224 在 ABC中 由余弦定理 11 分 222 2cosABACBCAC BCACB 可得 12 分 22 2 62 322 3223 4 AB 百米 13 分 23AB 用心 爱心 专心8 18 本小题满分 13 分 解 甲经过到达 可分为两步 第一步 甲从 经过的方法数 种 2 A 2 A 1 3 C 第二步 甲从到 的方法数 种 所以 甲经过的方法数为 2 A 1 3 C 2 A 21 3 C 所以 甲经过的概率 4 分 2 A 20 9 3 6 21 3 C C P 由 知 甲经过的方法数为 乙经过的方法数也为 2 A 21 3 C 2 A 所以甲 乙两人相遇经点的方法数为 21 3 C 2 A 41 3 C 甲 乙两人相遇经点的概率 9 分 2 A 400 81 3 6 3 6 41 3 CC C P 甲 乙两人沿最短路径行走 只可能在 处相遇 他们在 1 A 2 A 3 A 4 A 相遇的走法有种方法 4 3 2 1 iAi 41 3 i C 所以 13 分 43 3 42 3 41 3 40 3 CCCC 19 本小题满分 12 分 证明 设为的中点 连接 则FDCBFDFAB ABAD ABAD ABDC 四边形为正方形 ABFD 为的中点 OBD 为的交点 O AF BD 2PDPB 2 分 POBD 22 BDADAB 2 2 22 POPBBO 2 1 2 2 AOBD 在三角形中 3 分PAO 222 4POAOPA POAO A D O C P B E F 用心 爱心 专心9 平面 4 分 AOBDO PO ABCD 方法 1 连接 为的中点 为中点 PFOAFEPA OEPF 平面 平面 OE PDCPF PDC 平面 8 分 OEPDC 方法 2 由 知平面 又 所以过分别做的平行线 PO ABCDABAD O AD AB 以它们做轴 以为轴建立如图所示的空 x yOPz 间直角坐标系 由已知得 1 1 0 A 1 1 0 B 1 1 0 D 1 1 0 F 1 3 0 C 0 0 2 P 112 222 E 则 112 222 OE 1 1 2 PF 1 1 2 PD 1 3 2 PC 1 2 OEPF OEPF 平面 平面 OE PDCPF PDC 平面 8 分 OEPDC 设平面的法向量为 直线与平面所成角 PDC 111 nx y z CBPDC 则 即 0 0 n PC n PD 111 111 320 20 xyz xyz 解得 令 则平面的一个法向量为 1 11 0 2 y xz 1 1z PDC 2 0 1 n 又 2 2 0 CB 则 2 23 sincos 332 2 n CB 直线与平面所成角的正弦值为 12 分 CBPDC 3 3 A D O C P B E F x y 用心 爱心 专心10 20 本小题满分 12 分 解 1 由题意得 1分 12 3 0 3 0FF 圆的半径为4 且 2分 1 F 2 MFMP 从而 3分 12112 4 2 3MFMFMFMPF F 点M的轨迹是以 12 F F 为焦点的椭圆 其中长轴 焦距 24a 22 3c 则短半轴 4分 22 431bac 椭圆方程为 5分 2 2 1 4 x y 2 设 则 00 K xy 2 20 0 1 4 x y 6 分 HKKQ 00 2Q xy 22 00 22OQxy 点在以为圆心 2 为半径的的圆上 即点在以为直径的圆上 7 分 QOQABO 又 直线的方程为 8 分 2 0A AQ 0 0 2 2 2 y yx x 令 得 9 分 2x 0 0 8 2 2 y D x 又 为的中点 10 分 2 0BNDB 0 0 4 2 2 y N x 00 2OQxy 00 0 0 2 2 2 x y NQx x 2 2 00 0000 0000000 000 4 24 2222 222 xx x yx y OQ NQxxyxxxx xxx 11 分 0000 220 xxxx 直线与圆相切 12 分 OQNQ QNO 用心 爱心 专心11 21 本小题满分 12 分 解 1 由 即 得 1 分 2 366fxaxxa 1 0f 3660aa 2a 令 解得或 32 231211f xxxx 2 66120fxxx 1x 2x 当变化时 在区间上的变化情况如下表 x fxf x 2 3 x 2 1 1 1 2 2 2 3 fx 0 0 f x 单调递减18 单调递增 9 单调递减 从上表可知 当x 1 时 在区间 2 3 上有极小值 极小值为 当x 2 时 f x18 在区间 2 3 上有极大值 极大值为 9 f x 3 分 2 直线恒过点 0 9 m 先求直线是y g x 的切线 设切点为 m 2