2019年中考数学专题复习第二十三讲与圆有关的位置关系(含详细参考答案)

2019 年中考数学专题复习年中考数学专题复习 第二十三讲第二十三讲 与圆有关的位置关系与圆有关的位置关系 基础知识回顾基础知识回顾 一 点与圆的位置关系 1 点与圆的位置关系有 种 若圆的半径为 r 点 P 到圆心的距离为 d 则 点 P 在圆内 点 P 在圆上 点 P 在圆外 2 过三点的圆 过同一直线上三点 作圆 过 三点 有且只有一个圆 三角形的外接圆 经过三角形各顶点的圆叫做三角形的 外接圆 的圆心叫做三角形的 这个三角形叫做这个圆的 三角形外心的形成 三角形 的交点 外心的性质 到 相等 名师提醒 锐角三角形外心在三角形名师提醒 锐角三角形外心在三角形 直角三角形的外心是直角三角形的外心是 钝角钝角 三角形的外心在三角形三角形的外心在三角形 二 直线与圆的位置关系 1 直线与圆的位置关系有 种 当直线和圆有两个公共点时 叫做直线 和圆 这时直线叫圆的 线 当直线和圆有唯一公共点时叫做直线 和圆 这时直线叫圆的 线 直线和圆没有公共点时 叫做直线 和圆 这时直线叫圆的 线 2 设 O 的半径为 r 圆心 O 到直线 l 的距离为 d 则 直线 l 与 O 相交d r 直线 l 与 O 相切d r 直线 l 与 O 相离d r 3 切线的性质和判定 性质定理 圆的切线垂直于经过切点的 名师提醒 根据这一定理 在圆中遇到切线时 常常连接圆心和切点 即可名师提醒 根据这一定理 在圆中遇到切线时 常常连接圆心和切点 即可 得垂直关系得垂直关系 判定定理 经过半径的 且 这条半径的直线是圆的切线 名师提醒 在切线的判定中 当直线和圆的公共点标出时 用判定定理证明 名师提醒 在切线的判定中 当直线和圆的公共点标出时 用判定定理证明 当公共点未标出时 一般可证圆心到直线的距离当公共点未标出时 一般可证圆心到直线的距离 d r 来判定相切来判定相切 4 切线长定理 切线长定义 在经过圆外一点的圆的切线上 这点和切点之间 的长 叫做这点到圆的切线长 切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线 它们的 相等 并且圆心 和这一点的连线平分 的夹角 5 三角形的内切圆 与三角形各边都 的圆 叫做三角形的内切圆 内切圆的圆心叫做 三角形的 三角形内心的形成 是三角形 的交点 内心的性质 到三角形各 的距离相等 内心与每一个顶点的连 接线平分 名师提醒 三类三角形内心都在三角形名师提醒 三类三角形内心都在三角形 若若 ABC 三边为三边为 a b c 面面 积为积为 s 内切圆半径为 内切圆半径为 r 则 则 s 若 若 ABC 为直角三角形 则为直角三角形 则 r 一 圆和圆的位置关系 圆和圆的位置关系有 种 若 O1半径为 R O 2 半径为 r 圆心距为 d 则 O 1 与 O 2 外离 O 1 与 O 2 外切 O 1 与 O 2 相交 O 1 与 O 2 内切 O 1 与 O 2 内含 名师提醒 两圆相离 无公共点 包含名师提醒 两圆相离 无公共点 包含 和和 两种情况 两两种情况 两 圆相切 有唯一公共点 包含圆相切 有唯一公共点 包含 和和 两种情况 注意题目中两两种情况 注意题目中两 种情况的考虑 同心圆是两圆种情况的考虑 同心圆是两圆 此时此时 d 二 反证法 假设命题的结论 由此经过推理得出 由矛盾判定所作的假 设 从而得到原命题成立 这种证明命题的方法叫反证法 名师提醒 反证法证题的关键是提出名师提醒 反证法证题的关键是提出 即假设所证结论的反面成立 通即假设所证结论的反面成立 通 过推理论证得出的矛盾可以与过推理论证得出的矛盾可以与 相矛盾 也可以与相矛盾 也可以与 相矛相矛 盾 从而肯定原命题成立盾 从而肯定原命题成立 典型例题解析典型例题解析 考点一 切线的性质考点一 切线的性质 例例 1 2018 安徽 如图 菱形 ABOC 的边 AB AC 分别与 O 相切于点 D E 若点 D 是 AB 的中点 则 DOE 思路分析思路分析 连接 OA 根据菱形的性质得到 AOB 是等边三角形 根据切线 的性质求出 AOD 同理计算即可 解答解答 解 连接 OA 四边形 ABOC 是菱形 BA BO AB 与 O 相切于点 D OD AB 点 D 是 AB 的中点 直线 OD 是线段 AB 的垂直平分线 OA OB AOB 是等边三角形 AB 与 O 相切于点 D OD AB AOD AOB 30 1 2 同理 AOE 30 DOE AOD AOE 60 故答案为 60 点评点评 本题考查的是切线的性质 等边三角形的性质 掌握圆的切线垂直于 经过切点的半径是解题的关键 考点二 切线的判定考点二 切线的判定 例例 2 2018 怀化 已知 如图 AB 是 O 的直径 AB 4 点 F C 是 O 上两点 连接 AC AF OC 弦 AC 平分 FAB BOC 60 过点 C 作 CD AF 交 AF 的延长线于点 D 垂足为点 D 1 求扇形 OBC 的面积 结果保留 2 求证 CD 是 O 的切线 思路分析思路分析 1 由扇形的面积公式即可求出答案 2 易证 FAC ACO 从而可知 AD OC 由于 CD AF 所以 CD OC 所以 CD 是 O 的切线 解答解答 解 1 AB 4 OB 2 COB 60 6042 3603 OBC S 扇形 2 AC 平分 FAB FAC CAO AO CO ACO CAO FAC ACO AD OC CD AF CD OC C 在圆上 CD 是 O 的切线 点评点评 本题考查圆的综合问题 解题的关键是熟练运用扇形面积公式以及切 线的判定方法 本题属于中等题型 考点三 直线与圆 圆与圆的位置关系考点三 直线与圆 圆与圆的位置关系 例例 3 2018 湘西州 已知 O 的半径为 5cm 圆心 O 到直线 l 的距离为 5cm 则直线 l 与 O 的位置关系为 A 相交B 相切 C 相离D 无法确定 思路分析思路分析 根据圆心到直线的距离 5 等于圆的半径 5 则直线和圆相切 解答解答 解 圆心到直线的距离 5cm 5cm 直线和圆相切 故选 B 点评点评 此题考查直线与圆的关系 能够熟练根据数量之间的关系判断直线和 圆的位置关系 若 d r 则直线与圆相交 若 d r 则直线于圆相切 若 d r 则直线与圆相离 备考真题过关备考真题过关 一 选择题一 选择题 1 2018 眉山 如图所示 AB 是 O 的直径 PA 切 O 于点 A 线段 PO 交 O 于点 C 连结 BC 若 P 36 则 B 等于 A 27 B 32 C 36 D 54 2 2018 福建 如图 AB 是 O 的直径 BC 与 O 相切于点 B AC 交 O 于点 D 若 ACB 50 则 BOD 等于 A 40 B 50 C 60 D 80 3 2018 泰安 如图 BM 与 O 相切于点 B 若 MBA 140 则 ACB 的 度数为 A 40 B 50 C 60 D 70 4 2018 常州 如图 AB 是 O 的直径 MN 是 O 的切线 切点为 N 如 果 MNB 52 则 NOA 的度数为 A 76 B 56 C 54 D 52 5 2018 无锡 如图 矩形 ABCD 中 G 是 BC 的中点 过 A D G 三点的 圆 O 与边 AB CD 分别交于点 E 点 F 给出下列说法 1 AC 与 BD 的交 点是圆 O 的圆心 2 AF 与 DE 的交点是圆 O 的圆心 3 BC 与圆 O 相 切 其中正确说法的个数是 A 0B 1 C 2D 3 6 2018 内江 已知 O1的半径为 3cm O2的半径为 2cm 圆心距 O1O2 4cm 则 O1与 O2的位置关系是 A 外离B 外切C 相交D 内切 8 2018 上海 如图 已知 POQ 30 点 A B 在射线 OQ 上 点 A 在点 O B 之间 半径长为 2 的 A 与直线 OP 相切 半径长为 3 的 B 与 A 相 交 那么 OB 的取值范围是 A 5 OB 9B 4 OB 9 C 3 OB 7D 2 OB 7 9 2018 邵阳 如图所示 四边形 ABCD 为 O 的内接四边形 BCD 120 则 BOD 的大小是 A 80 B 120 C 100 D 90 10 2018 泰安 如图 M 的半径为 2 圆心 M 的坐标为 3 4 点 P 是 M 上的任意一点 PA PB 且 PA PB 与 x 轴分别交于 A B 两点 若点 A 点 B 关于原点 O 对称 则 AB 的最小值为 A 3B 4 C 6D 8 二 填空题二 填空题 11 2018 连云港 如图 AB 是 O 的弦 点 C 在过点 B 的切线上 且 OC OA OC 交 AB 于点 P 已知 OAB 22 则 OCB 12 2018 宁波 如图 正方形 ABCD 的边长为 8 M 是 AB 的中点 P 是 BC 边上的动点 连结 PM 以点 P 为圆心 PM 长为半径作 P 当 P 与正方形 ABCD 的边相切时 BP 的长为 13 2018 台州 如图 AB 是 O 的直径 C 是 O 上的点 过点 C 作 O 的切线交 AB 的延长线于点 D 若 A 32 则 D 度 14 2018 长沙 如图 点 A B D 在 O 上 A 20 BC 是 O 的切线 B 为切点 OD 的延长线交 BC 于点 C 则 OCB 度 15 2018 曲靖 如图 四边形 ABCD 内接于 O E 为 BC 延长线上一点 若 A n 则 DCE 三 解答题三 解答题 16 2018 邵阳 如图所示 AB 是 O 的直径 点 C 为 O 上一点 过点 B 作 BD CD 垂足为点 D 连结 BC BC 平分 ABD 求证 CD 为 O 的切线 17 2018 宜宾 如图 AB 为圆 O 的直径 C 为圆 O 上一点 D 为 BC 延长 线一点 且 BC CD CE AD 于点 E 1 求证 直线 EC 为圆 O 的切线 2 设 BE 与圆 O 交于点 F AF 的延长线与 CE 交于点 P 已知 PCF CBF PC 5 PF 4 求 sin PEF 的值 18 2018 南充 如图 C 是 O 上一点 点 P 在直径 AB 的延长线上 O 的半径为 3 PB 2 PC 4 1 求证 PC 是 O 的切线 2 求 tan CAB 的值 19 2018 郴州 已知 BC 是 O 的直径 点 D 是 BC 延长线上一点 AB AD AE 是 O 的弦 AEC 30 1 求证 直线 AD 是 O 的切线 2 若 AE BC 垂足为 M O 的半径为 4 求 AE 的长 20 2018 常德 如图 已知 O 是等边三角形 ABC 的外接圆 点 D 在圆上 在 CD 的延长线上有一点 F 使 DF DA AE BC 交 CF 于 E 1 求证 EA 是 O 的切线 2 求证 BD CF 21 2018 天门 如图 在 O 中 AB 为直径 AC 为弦 过 BC 延长线上一 点 G 作 GD AO 于点 D 交 AC 于点 E 交 O 于点 F M 是 GE 的中点 连接 CF CM 1 判断 CM 与 O 的位置关系 并说明理由 2 若 ECF 2 A CM 6 CF 4 求 MF 的长 2019 年中考数学专题复习年中考数学专题复习 第二十三讲第二十三讲 与圆有关的位置关系参考答案与圆有关的位置关系参考答案 备考真题过关备考真题过关 一 选择题一 选择题 1 思路分析思路分析 直接利用切线的性质得出 OAP 90 再利用三角形内角和定 理得出 AOP 54 结合圆周角定理得出答案 解答解答 解 PA 切 O 于点 A OAP 90 P 36 AOP 54 B 27 故选 A 点评点评 此题主要考查了切线的性质以及圆周角定理 正确得出 AOP 的度数 是解题关键 2 思路分析思路分析 根据切线的性质得到 ABC 90 根据直角三角形的性质求出 A 根据圆周角定理计算即可 解答解答 解 BC 是 O 的切线 ABC 90 A 90 ACB 40 由圆周角定理得 BOD 2 A 80 故选 D 点评点评 本题考查的是切线的性质 圆周角定理 掌握圆的切线垂直于经过切 点 3 思路分析思路分析 连接 OA OB 由切线的性质知 OBM 90 从而得 ABO BAO 50 由内角和定理知 AOB 80 根据圆周角定理可得答 案 解答解答 解 如图 连接 OA OB BM 是 O 的切线 OBM 90 MBA 140 ABO 50 OA OB ABO BAO 50 AOB 80 ACB AOB 40 1 2 故选 A 点评点评 本题主要考查切线的性质 解题的关键是掌握切线的性质 圆的切 线垂直于经过切点的半径 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 经 过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 4 思路分析思路分析 先利用切线的性质得 ONM 90 则可计算出 ONB 38 再 利用等腰三角形的性质得到 B ONB 38 然后根据圆周角定理得 NOA 的度数 解答解答 解 MN 是 O 的切线 ON NM ONM 90 ONB 90 MNB 90 52 38 ON OB B ONB 38 NOA 2 B 76 故选 A 点评点评 本题考查了切线的性质 圆的切线垂直于经过切点的半径 也考查了 圆周角定理 5 思路分析思路分析 连接 DG AG 作 GH AD 于 H 连接 OD 如图 先确定 AG DG 则 GH 垂直平分 AD 则可判断点 O 在 HG 上 再根据 HG BC 可判 定 BC 与圆 O 相切 接着利用 OG OG 可判断圆心 O 不是 AC 与 BD 的交点 然后根据四边形 AEFD 为 O 的内接矩形可判断 AF 与 DE 的交点是圆 O 的圆 心 解答解答 解 连接 DG AG 作 GH AD 于 H 连接 OD 如图 G 是 BC 的中点 AG DG GH 垂直平分 AD 点 O 在 HG 上 AD BC HG BC BC 与圆 O 相切 OG OG 点 O 不是 HG 的中点 圆心 O 不是 AC 与 BD 的交点 而四边形 AEFD 为 O 的内接矩形 AF 与 DE 的交点是圆 O 的圆心 1 错误 2 3 正确 故选 C 点评点评 本题考查了三角形内切圆与内心 三角形的内心到三角形三边的距离 相等 三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角 也考查了矩形的性 质 6 思路分析思路分析 由 O1的半径为 3cm O2的半径为 2cm 圆心距 O1O2为 4cm 根据两圆位置关系与圆心距 d 两圆半径 R r 的数量关系间的联系即可 得出两圆位置关系 解答解答 解 O1的半径为 3cm O2的半径为 2cm 圆心距 O1O2为 4cm 又 2 3 5 3 2 1 1 4 5 O1与 O2的位置关系是相交 故选 C 点评点评 此题考查了圆与圆的位置关系 注意掌握两圆位置关系与圆心距 d 两圆半径 R r 的数量关系间的联系是解此题的关键 8 思路分析思路分析 作半径 AD 根据直角三角形 30 度角的性质得 OA 4 再确认 B 与 A 相切时 OB 的长 可得结论 解答解答 解 设 A 与直线 OP 相切时切点为 D 连接 AD AD OP O 30 AD 2 OA 4 当 B 与 A 相内切时 设切点为 C 如图 1 BC 3 OB OA AB 4 3 2 5 当 A 与 B 相外切时 设切点为 E 如图 2 OB OA AB 4 2 3 9 半径长为 3 的 B 与 A 相交 那么 OB 的取值范围是 5 OB 9 故选 A 点评点评 本题考查了圆和圆的位置关系 切线的性质 勾股定理 熟练掌握圆 和圆相交和相切的关系是关键 还利用了数形结合的思想 通过图形确定 OB 的取值范围 9 思路分析思路分析 根据圆内接四边形的性质求出 A 再根据圆周角定理解答 解答解答 解 四边形 ABCD 为 O 的内接四边形 A 180 BCD 60 由圆周角定理得 BOD 2 A 120 故选 B 点评点评 本题考查的是圆内接四边形的性质 圆周角定理 掌握圆内接四边形 的对角互补是解题的关键 10 思路分析思路分析 由 Rt APB 中 AB 2OP 知要使 AB 取得最小值 则 PO 需取得 最小值 连接 OM 交 M 于点 P 当点 P 位于 P 位置时 OP 取得最小值 据 此求解可得 解答解答 解 PA PB APB 90 AO BO AB 2PO 若要使 AB 取得最小值 则 PO 需取得最小值 连接 OM 交 M 于点 P 当点 P 位于 P 位置时 OP 取得最小值 过点 M 作 MQ x 轴于点 Q 则 OQ 3 MQ 4 OM 5 又 MP 2 OP 3 AB 2OP 6 故选 C 点评点评 本题主要考查点与圆的位置关系 解题的关键是根据直角三角形斜边 上的中线等于斜边的一半得出 AB 取得最小值时点 P 的位置 二 填空题二 填空题 11 思路分析思路分析 首先连接 OB 由点 C 在过点 B 的切线上 且 OC OA 根据 等角的余角相等 易证得 CBP CPB 利用等腰三角形的性质解答即可 解答解答 解 连接 OB BC 是 O 的切线 OB BC OBA CBP 90 OC OA A APO 90 OA OB OAB 22 OAB OBA 22 APO CBP 68 APO CPB CPB ABP 68 OCB 180 68 68 44 故答案为 44 点评点评 此题考查了切线的性质 此题难度适中 注意掌握辅助线的作法 注 意掌握数形结合思想与方程思想的应用 12 思路分析思路分析 分两种情形分别求解 如图 1 中 当 P 与直线 CD 相切时 如图 2 中当 P 与直线 AD 相切时 设切点为 K 连接 PK 则 PK AD 四边 形 PKDC 是矩形 解答解答 解 如图 1 中 当 P 与直线 CD 相切时 设 PC PM m 在 Rt PBM 中 PM2 BM2 PB2 x2 42 8 x 2 x 5 PC 5 BP BC PC 8 5 3 如图 2 中当 P 与直线 AD 相切时 设切点为 K 连接 PK 则 PK AD 四边 形 PKDC 是矩形 PM PK CD 2BM BM 4 PM 8 在 Rt PBM 中 PB 22 84 4 3 综上所述 BP 的长为 3 或 4 3 点评点评 本题考查切线的性质 正方形的性质 勾股定理等知识 解题的关键 是学会用分类讨论的思想思考问题 学会利用参数构建方程解决问题 13 思路分析思路分析 连接 OC 根据圆周角定理得到 COD 2 A 根据切线的性 质计算即可 解答解答 解 连接 OC 由圆周角定理得 COD 2 A 64 CD 为 O 的切线 OC CD D 90 COD 26 故答案为 26 点评点评 本题考查的是切线的性质 圆周角定理 掌握圆的切线垂直于经过切 点的半径是解题的关键 14 思路分析思路分析 由圆周角定理易求 BOC 的度数 再根据切线的性质定理可得 OBC 90 进而可求出 OCB 的度数 解答解答 解 A 20 BOC 40 BC 是 O 的切线 B 为切点 OBC 90 OCB 90 40 50 故答案为 50 点评点评 本题考查了圆周角定理 切线的性质定理的运用 熟记和圆有关的各 种性质和定理是解题的关键 15 思路分析思路分析 利用圆内接四边形的对角互补和邻补角的性质求解 解答解答 解 四边形 ABCD 是 O 的内接四边形 A DCB 180 又 DCE DCB 180 DCE A n 故答案为 n 点评点评 本题考查了圆内接四边形的性质 解决本题的关键是掌握 圆内接四 边形的对角互补 三 解答题三 解答题 16 思路分析思路分析 先利用 BC 平分 ABD 得到 OBC DBC 再证明 OC BD 从而得到 OC CD 然后根据切线的判定定理得到结论 解答解答 证明 BC 平分 ABD OBC DBC OB OC OBC OCB OCB DBC OC BD BD CD OC CD CD 为 O 的切线 点评点评 本题考查了切线的判定定理 经过半径的外端且垂直于这条半径的直 线是圆的切线 17 思路分析思路分析 1 说明 OC 是 BDA 的中位线 利用中位线的性质 得到 OCE CED 90 从而得到 CE 是圆 O 的切线 2 利用直径上的圆周角 得到 PEF 是直角三角形 利用角相等 可得到 PEF PEA PCF PAC 从而得到 PC PE 5 然后求出 sin PEF 的 值 解答解答 解 1 证明 CE AD 于点 E DEC 90 BC CD C 是 BD 的中点 又 O 是 AB 的中点 OC 是 BDA 的中位线 OC AD OCE CED 90 OC CE 又 点 C 在圆上 CE 是圆 O 的切线 2 连接 AC AB 是直径 点 F 在圆上 AFB PFE 90 CEA EPF EPA PEF PEA PE2 PF PA FBC PCF CAF 又 CPF CPA PCF PAC PC2 PF PA PE PC 在直角 PEF 中 4 5 PF sin PEF PE 点评点评 本题考查了切线的判定 三角形的中位线定理 相似三角形的性质和 判定等知识点 利用三角形相似 说明 PE PC 是解决本题的难点和关键 18 思路分析思路分析 1 可以证明 OC2 PC2 OP2得 OCP 是直角三角形 即 OC PC PC 是 O 的切线 2 AB 是直径 得 ACB 90 通过角的关系可以证明 PBC PCA 进而 得出 t 21 42 BCPB ACPC 1 2 BC an CAB AC 解答解答 解 1 如图 连接 OC BC O 的半径为 3 PB 2 OC OB 3 OP OB PB 5 PC 4 OC2 PC2 OP2 OCP 是直角三角形 OC PC PC 是 O 的切线 2 AB 是直径 ACB 90 ACO OCB 90 OC PC BCP OCB 90 BCP ACO OA OC A ACO A BCP 在 PBC 和 PCA 中 BCP A P P PBC PCA 21 42 BCPB ACPC 1 2 BC an CAB AC 点评点评 该题考查圆的相关知识和勾股定理逆定理 三角函数等内容 能证明 图中相似三角形是解决问题的关键 19 思路分析思路分析 1 先求出 ABC 30 进而求出 BAD 120 即可求出 OAB 30 结论得证 2 先求出 AOC 60 用三角函数求出 AM 再用垂径定理即可得出结论 解答解答 解 1 如图 AEC 30 ABC 30 AB AD D ABC 30 根据三角形的内角和定理得 BAD 120 连接 OA OA OB OAB ABC 30 OAD BAD OAB 90 OA AD 点 A 在 O 上 直线 AD 是 O 的切线 2 连接 OA AEC 30 AOC 60 BC AE 于 M AE 2AM OMA 90 在 Rt AOM 中 AM OA sin AOM 4 sin60 2 3 AE 2AM 4 3 点评点评 此题主要考查了等腰三角形的性质 垂径定理 切线的判定 锐角三 角函数 三角形内