2016届浦东新区高三一模数学卷及答案

跃龙学堂跃龙学堂 您身边的中小学生辅导专家您身边的中小学生辅导专家 1 浦东新区 2015 学年度第一学期期末质量测试 高三数学试卷 含答案 2016 1 注意 1 答卷前 考生务必在答题纸上指定位置将学校 姓名 考号填写清楚 2 本试卷共有 32 道试题 满分 150 分 考试时间 130 分钟 一 填空题 本大题共有 12 题 满分 36 分 只要求直接填写结果 每个空格填对得 3 分 否则一律得零分 注 填写其他等价形式则得分 1 已知集合 则 3 2Ax xBx x R AC B I 2 3 2 已知向量平行 则 2 1 1 abm rr m 1 2 3 关于的一元二次方程组的系数矩阵 x y 231 22 xy xy 23 12 4 计算 1 1 32 lim 32 nn nn n 3 5 若复数满足 为虚数单位 则 z 1 0 1 2 i iz iz 5 6 的二项展开式中的第八项为 10 21x 3 960 x 7 某船在海平面处测得灯塔在北偏东方向 与相距海里 船由向正北方AB30 A6 0A 向航行海里达到处 这时灯塔与船相距 海里 精确到 0 1 海里 8 1CB4 2 8 已知 则 3 cos 252 sin 3 34 3 10 9 如图 已知正方体 为棱 1111 DCBAABCD 2 1 AAE 的中点 则与平面所成的角 1 CCAE 11BCC B 为 结果用反三角表示 5 52 arctan 2 arcsin 3 5 arccos 3 10 已知函数的图像与的图像关于直线对称 令 f x 2xg x yx 1 h xfx A 1 D 1 C 1 B 1 A E D C B 跃龙学堂跃龙学堂 您身边的中小学生辅导专家您身边的中小学生辅导专家 2 则关于函数有下列命题 h x 的图像关于原点对称 的图像关于轴对称 h x h xy 的最大值为 在区间上单调递增 h x0 h x 1 1 其中正确命题的序号为 写出所有正确命题的序号 11 有一列向量 如果从第二项起 每一 n a u u r 111222 nnn ax yaxyaxy u ru u ru u r L 项与前一项的差都等于同一个向量 那么这列向量称为等差向量列 已知等差向量列 n a u u r 满足 那么这列向量中模最小的向量的序号 1 20 13 a u r 3 18 15 a ur n a u u r n 或 45 12 已知则与图像交点的横坐标之和为 3 2sin 1 f xx g xx f x g x 17 二 选择题 本大题共有 12 题 满分 36 分 每小题都给出四个选项 其中有且只有一个 选项是正确的 选对得 3 分 否则一律得零分 13 如果 那么下列不等式中不正确的是 B 0ab A 11 ab B 11 ab C 2 abb D 2 aab 14 设且 是成立的 A 1x 2y 3xy 充分非必要条件 必要非充分条件 A B 充要条件 既非充分又非必要条件 C D 15 方程表示焦点在轴的椭圆 则实数的取值范围是 D 22 44kxyk xk A4k B4k C4k D04k 16 甲 乙 丙 丁四人排成一排 其中甲 乙两人相邻的概率是 C A 1 4 B 1 3 C 1 2 D 1 6 17 直线与圆的位置关系是 B 0axby 22 0 xyaxby 相交 相切 相离 不能确定 A B C D 18 某人 5 次上班途中所花的时间 单位 分钟 分别为 已知这组数据的 10 11 9x y 平均数为 10 方差为 2 则的值为 xy A 跃龙学堂跃龙学堂 您身边的中小学生辅导专家您身边的中小学生辅导专家 3 4 3 2 1 A B C D 19 设函数满足 当时 则 f x xR sinf xf xx 0 x 0f x A 23 6 f A 1 2 B 3 2 C0 D 1 2 20 如果底面直径和高相等的圆柱的侧面积是 那么圆柱的体积等于 D S AS S 2 B SS 2 CS S 4 D SS 4 21 已知函数存在反函数 若函数过点 则函数 f x 1 fx 1yf x 3 3 恒过 1 fx 点 B A 4 3 B 3 4 C 3 2 D 2 3 22 一个弹性小球从 10 米自由落下 着地后反弹到原来高度的处 再自由落下 又弹 4 5 回到上一次高度的处 假设这个小球能无限次反弹 则这个小球在这次运动中所经过的 4 5 总路程 为 C 50 80 90 100 A B C D 23 符合以下性质的函数称为 函数 定义域为 是奇函数 SR f x 常数 在上单调递增 对任意一个小于的正数 f xa 0a f x 0 ad 至少存在一个自变量 使 下列四个函数中 0 x 0 f xd 1 2 arctan a f xx 中 函数 的个数 2 2 1 ax x fx x 3 1 0 00 1 0 ax x fxx ax x 4 21 21 x x fxa S 跃龙学堂跃龙学堂 您身边的中小学生辅导专家您身边的中小学生辅导专家 4 为 D 1 个 2 个 3 个 4 个 A B C D 24 将一圆的六个等分点分成两组相间的三点 它们所构成的两个正三角 形扣除内部六条线段后可以形成一正六角星 如图所示的正六角星的中心 为点O 其中分别为点O到两个顶点的向量 若将点O到正六角星 x y r u r 12 个顶点的向量 都写成为的形式 则ab 的最大值为 C axby ru r 3 4 5 6 A B C D 三 解答题 本大题共有 8 题 满分 78 分 解答下列各题必须写出必要的步骤 注 其他解法相应给分 25 本题满分 8 分 已知交与点 分别OC OB OAOOB AD 2 1 F E 为的中点 OC BC 求证 平面 DEAOC 证明 在中 因为分别为的中点 OBC F EOC BC 所以 2 分 1 2 FEOB 又因为 所以由平行公理和等量代换知 1 2 ADOB FEAD 所以四边形是平行四边形 4 分ADEF 所以 6 分AF DE 又因为平面 所以平面 8 分AF AOC DEAOC 26 本题满分 8 分 已知函数 将函数的图像向右平移个单位 再把横坐标缩 2sinf xx yf x 6 短到原来的 纵坐标不变 得到函数的图像 求函数的解析式 1 2 yg x yg x 并写出它的单调递增区间 解 由 将函数 的图像向右平移个单位 得 2 yf x yf x 6 2sin 6 yx 分 再把横坐标缩短到原的 纵坐标不变 得到 4 1 2 2sin 2 6 g xx 分 由 可得222 262 kxkkZ 63 kxkkZ A B O D FE C 跃龙学堂跃龙学堂 您身边的中小学生辅导专家您身边的中小学生辅导专家 5 所以的单调递增区间为 8 分 yg x 63 kkkZ 27 本题满分 8 分 第 1 小题 4 分 第 2 小题 4 分 已知两个向量 222 1 log log log 1axxbx rr 1 若 求实数的值 ab rr x 2 求函数的值域 1 2 4 f xa b x r r 解 1 222 1 logloglog0abxxx rr Q 22 log log2 0 xx 22 log0log2xx 或 经检验为所求的解 4 分 1 1 4 xx 或 2 由条件知 2 222 log log2 log11f xxxx 2 1 2 log2 1 4 xx Q 2 22 log11 2log10 4xx 所以值域为 8 分 1 3 28 本题满分 10 分 第 1 小题 4 分 第 2 小题 6 分 已知数列的前项的和 n an 2 31 22 n Snn 1 求的通项公式 n a n a 2 当时 恒成立 求的取值范围 2 n n n a a 1 解 1 Q n Snn 2 1 2 3 2 2 分23 1 nSSa nnn 2 n 当时也成立 1 n 1 1a 23 nan 2 n n a a 1 23 13 n n 1 3 2313 n nn 跃龙学堂跃龙学堂 您身边的中小学生辅导专家您身边的中小学生辅导专家 6 设 n b 1 3 2313 n nn nn bb 1 n nn 3 4313 1 3 2313 n nn 13 2313 nn nn 0 的最小值为 n b 3 28 2 b 3 28 29 本题满分 14 分 第 1 小题 4 分 第 2 小题 5 分 第 3 小题 5 分 在平面直角坐标系中 对于点 直线 我们称xOy 00 yxP l0 cbyax 为点到直线的方向距离 00 22 axbyc ab 00 yxP l0 cbyax 1 设椭圆上的任意一点到直线1 4 2 2 y x yxP 的方向距离分别为 求的取值范围 02 02 21 yxlyxl 21 21 2 设点 到直线 的方向距离分别为 0 tE 0 tFl02sin2cos yx 试问是否存在实数 对任意的都有成立 若存在 求出 的值 不 1 2 t 1 21 t 存在 说明理由 3 已知直线 和椭圆 设椭圆l0 nymxE1 2 2 2 2 b y a x 0 ba 的两个焦点到直线 的方向距离分别为 满足 且直线 与轴的E 21 F Fl 1 2 2 21 b lx 交点为 与轴的交点为 试比较的长与的大小 AyBABab 解答 1 由点在椭圆上 所以 yxP1 4 2 2 y x 4 1 2 2 x y 由题意 于是 2 分 5 2 1 yx 5 2 2 yx 5 42 5 4 222 21 xyx 又得 即 4 分22 x40 2 x 5 4 5 4 21 也可以先求出 再利用基本不等式易得 5 8 5 4 2 22 2 2 2 1 yx 5 4 5 4 21 2 假设存在实数 满足题设 t 由题意 22 1 sin4cos 2cos t 22 2 sin4cos 2cos t 于是 6 分1 sin4cos 2cos 2cos 22 21 tt 对任意的都成立0cos 3 sin4coscos4 222222 tt 只要即可 所以03 2 t3 t 故存在实数 对任意的都有成立 9 分t3 t 1 21 学生通过联想 判断直线是椭圆的切线 又证明02sin2cos yx1 4 2 2 y x 从而得到也给分 2 21 b 3 t 3 设的坐标分别为 于是 21 F F 0 c 0 c 222 bac 跃龙学堂跃龙学堂 您身边的中小学生辅导专家您身边的中小学生辅导专家 7 C 1 0 A 1 0 B 1 D 2 D 3 D i D 1n D O x y i L i P 于是 2 1 1m nmc 2 2 1m nmc 2 2 222 21 1 b m cmn 2222 ambn 又 即 12 分 0 m n A 0 nB 2 2 2 2 n m n AB 所以 222222 2 2 22 2 2 2baabbaamb m b an m n 综上 14 分AB ab 30 本题满分 6 分 如图 点 点在轴正半轴上 过线段的等分点作与 1 0 A 1 0 BCxBCn i D 垂直的射线 在上的BC i l i l 动点使取得最大值PAPB 的位置记作 i P 是否存1 2 3 1in L 在一条圆锥曲线 对任意的正 整数 点2n 都在这条 1 2 1 i P in 曲线上 说明理由 解 存在一条双曲线 对任意的正整数 点都在这条双曲线2n 1 2 1 i P in 上 1 分 如图所示 设 则 1 0 1 0 AB BCb yxP1 0 xy i xb n PACPBCAPB tan 1 y PAC x tan 1 y PBC x 所以 2 11 tan 1 1 1 yy xx APB y xx 跃龙学堂跃龙学堂 您身边的中小学生辅导专家您身边的中小学生辅导专家 8 3 分 2 1 1 xx y y 当一定时 为常数1 3 2 1 ni BC n i x 所以此时取得最大值 5 分 1 1 2 1 2 xx yxx y APB tan 当且仅当时等号成立 1 1 xx y y 故 在一条双曲线上 6 分 22 1xy 1 0 xy i P 31 本题满分 12 分 第 1 小题 3 分 第 2 小题 4 分 第 3 小题 5 分 定义符号函数 已知 1 0 sgn 1 0 x x x sgn1 a bR f xx xaxb 1 求关于的表达式 并求的最小值 2 1 ff a 2 1 ff 2 当时 函数在上有唯一零点 求的取值范围 1 2 b f x 0 1a 3 已知存在 使得对任意的恒成立 求的取值范围 a 0f x 1 2x b 解 1 3 2 2 1 2 212 2135 12 3 1 aa ffababaaaa a a Q 所以最小值为 3 分 2 1 ff 1 2 当时 当时 1 2 b 1 1 2 1 1 2 x xax f x x xax 0 1x 1 2 f xx xa 所以由 5 分 11 0 22 f xx xax xa 1 2 xa x 令 在同一坐标系中分别作出这两个函数在上的图像 1 2 g xxa h x x 0 1 跃龙学堂跃龙学堂 您身边的中小学生辅导专家您身边的中小学生辅导专家 9 由图像可得 7 分 13 2 22 a 3 当时 由得 1 2x f xx xab 0f x b xa x 所以且对任意的恒成立 0b bb xa xx 1 2x 即对任意的恒成立 bb xax xx 1 2x 从而只需求在的最大值和在的最小值 b g xx x 1 2x b h xx x 1 2x 而且要满足 maxmin g xh x 在上单调递增 所以 0 b bg xx x Q 1 2x max 22 2 b g xg 对于函数 时 10 分 b h xx x 1 2x min 1 10 2 41 2 4 2 bb h xbb b b i 10 2 1 321 2 b b b b ii 41 41 22 2 b b b b iii 4 4 22 22 b b bb 综上 12 分 2 3 b 32 本题满分 12 分 第 1 小题 4 分 第 2 题第 问 3 分 第 2 题第 问 5 分 已知两个无穷数列分别满足 其中 nn ab 1 1 1 2 nn a aa 1 1 1 2 n n b b b nN 跃龙学堂跃龙学堂 您身边的中小学生辅导专家您身边的中小学生辅导专家 10 设数列的前项和分别为 nn abn nn S T 1 若数列都为递增数列 求数列的通项公式 nn ab nn ab 2 若数列满足 存在唯一的正整数 使得 称数列为 n ck2k 1kk cc n c 坠点数列 k 若数列为 5 坠点数列 求 n a n S 若数列为 坠点数列 数列为 坠点数列 是否存在正整数 n ap n bqm 使得 若存在 求的最大值 若不存在 说