高中数学：第二章《小结（4）》教案新人教版必修2A

用心 爱心 专心 第二章小结 空间距离 一 教学目的 1 掌握两条直线所成的角和距离的概念及等角定理 对于异面直线的距离 只要求会计 算已给出公垂线时的距离 2 掌握点 直线到平面的距离 直线和平面所成的角 3 掌握平行平面间的距离 会求二面角及其平面角 二 教学过程 1 基本知识 1 空间中的距离是立体几何的重要内容 其内容主要包括 点点距 点线距 点面 距 线线距 线面距 面面距 其中重点是点点距 点线距 点面距以及两异面直线间的距 离 因此 掌握点 线 面之间距离的概念 理解距离的垂直性和最近性 理解距离都指相 应线段的长度 懂得几种距离之间的转化关系 所有这些都是十分重要的 2 求距离的重点在点到平面的距离 直线到平面的距离和两个平面的距离可以转化 成点到平面的距离 一个点到平面的距离也可以转化成另外一个点到这个平面的距离 3 点到平面的距离 平面外一点 P 在该平面上的射影为 P 则线段 PP 的长度就是点到平面的距离 求法 一找二证三求 三步都必须要清楚地写出来 等体积法 1 2 4 直线与平面的距离 一条直线和一个平面平行 这条直线上任意一点到平面的距 离 叫做这条直线和平面的距离 5 平行平面间的距离 两个平行平面的公垂线段的长度 叫做两个平行平面的距离 求距离的一般方法和步骤 应用各种距离之间的转化关系和 平行移动 的思想方法 把所求的距离转化为点点距 点线距或点面距求之 其一般步骤是 找出或作出表示有关距离的线段 证明它符合定义 归到解某个三角形 若表示 距离的线段不容易找出或作出 可用体积等积法计算求之 2 举例分析 举例分析 例 1 正方形 ABCD 的边长是 2 E F 分别是 AB 和 CD 的中点 将正方形沿 EF 折成直二 面角 如图所示 M 为矩形 AEFD 内一点 如果 MBE MBC MB 和平面 BCFE 所成角的正 切值为 那么点 M 到直线 EF 的距离为 2 1 解析 过 M 作 MO EF 交 EF 于 O 则 MO 平面 BCFE 如图所示 作 ON BC 设 OM x 又 tanMBO BO 2x 2 1 又 S MBE BE MB sinMBE BE ME S MBC BC MB sinMBC BC MN 2 1 2 1 2 1 2 1 图 用心 爱心 专心 ME MN 而 ME MN 解得 x 15 2 x1 2 x 2 2 点评 该题较典型的反映了解决空间几何问题的解题策略 化空间问题为平面问题来处理 点面距离 例 2 如图 四面体 ABCD 中 O E 分别 BD BC 的中点 CA CB CD BD 2 ABD 为 等腰直角三角形 求证 AO 平面 BCD 求异面直线 AB 与 CD 所成角的余弦值 求点 E 到平面 ACD 的距离 解 1 证明 连结 OC BO DO AB AD AO BD BO DO BC CD CO BD 在 AOC 中 由已知可得 AO 1 CO 3 而 AC 2 AO2 CO2 AC2 AOC 90 即 AO OC AB平面 0 OCBD BCD 解 取 AC 的中点 M 连结 OM ME OE 由 E 为 BC 的中点知 ME AB OE DC 直线 OE 与 EM 所成的锐角就是异面直线 AB 与 CD 所成的角 在 OME 中 1 2 1 2 2 2 1 DCOEABEM 是直角 AOC 斜边 AC 上的中线 OM 1 2 1 ACOM 4 2 cos OEA 异面直线 AB 与 CD 所成角为 4 2 cos OEA 解 设点 E 到平面 ACD 的距离为 h S ACD CDEAACDE VV h 3 1 AO S CDE 3 1 在 ACD 中 CA CD 2 AD S ACD 2 2 7 2 2 22 2 1 3 2 而 AO 1 S CDE h 2 3 2 4 3 2 1 2 7 21 2 7 2 3 1 ACD CDE S SAO 用心 爱心 专心 点 E 到平面 ACD 的距离为 7 21 点评 本小题主要考查直线与平面的位置关系 异面直线所成的角以及点到平面的距离 等基本知识 考查空间想象能力 逻辑思维能力和运算能力 3 小结 1 空间的距离问题 主要是求空间两点之间 点到直线 点到平面 两条异面直线之间 平面和它的平行直线 以及两个平行平面之间的距离 2 求距离的一般方法和步骤是 一作 作出表示距离的线段 二证 证明它就是所 要求的距离 三算 计算其值 此外 我们还常用体积法求点到平面的距离 3 求距离的关键是化归 即空间距离与角向平面距离与角化归 各种具体方法如下 求空间中两点间的距