常见的三角变换

1 常见的三角变换常见的三角变换 云南省曲靖市民族中学云南省曲靖市民族中学 李清江李清江 常见的三角变换有 一 化切弦 二 升降幂变换 三 同角异弦变换 四 角的变换 五 1 的变换 六 逆用和 差 角公式 七 函数名的变换 八 正切之和 或差 与正切之积的转化 九 同弦 异角 异角异弦平方相加 十 三角形中的边角关系 下面逐一解析 一 化切割为弦 一 化切割为弦 学过的公式多数是关于弦的 把切转化成弦 使问题由陌生变为熟悉 例 把 tan 化成弦三角函数 1 tan 解 tan 1 tan sin cos cos sin sin2 cos2 sin cos 1 1 2sin2 2 sin2 练习 00 11 tan15tan15 00 求t an15及t an15的值 二 升降幂 次 变换二 升降幂 次 变换 升降幂公式的推导与记忆 升幂 22 cos sin 1 cos1 cos 推导 22222 1 coscossincossin2cos 22222 简易推导 1 余弦 22222 2cscsc 推导 22222 1 coscossin cossin 2sin 22222 简易推导 1 余弦 22222 2cscss 特征 次数升 角取半 升次降倍 口诀记忆 升幂 升幂 1 余弦把次升余弦把次升 化成半角平方弦 化成半角平方弦 取同名取同名 异名异名 平方弦左边还要把平方弦左边还要把 2 乘乘 0 sincos 1 cos40 sincos 1 如 化简1 000 1 sin80 1 2sin10 cos10 的值为 0 111111 cos80 222222 0 20 3sin70 2cos 10 降幂 降幂 22 11 cos 1 cos2 cos cos21 22 可记为 22 11 sin 1 cos2 sin cos21 22 可记为 推导 2222222 111111 coscoscos 1 sin cos cossin 222222 简推 11 cos2 22 22222 1111 1 2222 cccsc 22 11 22 cs 11 cos2 22 2222222 111111 sinsinsin 1 cos sin cossin 222222 简推 11 cos 22 22222 1111 1 2222 ssscs 22 11 22 cs 11 cos2 22 特征 次数降 角乘 2 倍 降次升倍 可用口诀记为 弦平方弦平方 把次降把次降 次作倍次作倍 余弦配余弦配 同名正同名正 异名负异名负 加加 1 取半就得出取半就得出 1 化简 1 答案 20220 sin 60 sinsin 60 3 2 2 答案 222 22 cos coscos 33 3 2 2 sin cos yxx 求函数的周期和值域 3 求证 sincos11 sin sincos1cos 三 同角异弦变换 三 同角异弦变换 1 同角异弦之和 sincos2sin 4 同角异弦之和等于把角加上后的正弦的倍 4 2 2 2 同角异弦之差 sin cos sin cos sin cos 2 42 4 同角正弦 余弦之差 sin cos sin 2 4 同角正弦 余弦之差等于把角减去后的正弦的倍 4 2 同角余弦 正弦之差 同角余弦 正弦之差等于把角加上后的余弦的倍 4 2 3 sincossin2 同角异弦之积等于2倍角正弦取半 即 4 同角异弦平方和等于 1 即 22 sincos 5 同角异弦和积转换 22 sincos 12sincos sincos 1 2sincos 2 cossin 1 2sincos 22 sincos 11 sincos sincossincos 22 2 1 cossin sincos 2 练习 求函数的值域sin cossincos1yxxxx 6 同角异弦平方差 同角正 余弦平方差等于 2 倍角余弦的相反数 即 22 sincoscos2 同角余弦 正弦平方差等于 2 倍角余弦 即 22 cossincos2 7 同角异弦的倍数和可化成一个角的一个弦三角函数 22 22 22 cos 0 sincossin sin a ab ababab b ab 当时其中 a b 当是具体的数时 可直接用反正切来表示角 45 3sincossin arctan 5cossin13sin arctan 312 如 3 同角异切之差 四 四 角的变换 由于在三角化简 求值与证明中 经常出现不同的角 从而构成解题的难点 所以 化 异 角 为 同角 就是化解难点的关键 根据是角与角之间的和差 倍半 互补 互余等关系 沟 通条件与结论中角的差异 使问题获解 如 15 45 30 60 45 30 2 22 4 24 等 2 44 2 例 例 的值是 A B C D 70sin 20sin10cos2 2 1 2 3 32 解 原式 70sin 20sin2030cos2 答案 C 70sin 20sin20sin30sin20cos30cos2 20cos 20cos3 3 如 1 3 sin cos cos 5 xyxy 已知是锐角 可用把表示为 2 3123 cos sin sin2 4135 已知 求 2 3 21 tan tan tan 5444 已知求的值 五 五 1 的变换 1 已知一个角的切三角函数值 要求这个角的弦二次齐次式的值 利用较方 22 cossin 1 便 3 2 22222 2 2sincos 22 2sincoscos2tan 2222 sin2sincos 22 cossincossin1tan 22222 cos 2 例 2 22 2 1tan 2 coscossin 22 1tan 2 练习 1 已知 求下列各值 sin3cos sin2 2 2cos2 3sin2 sin cos 4sincos 2sin3cos sin cos 2 2 1 2sincoscos 2 22 6sinsincoscos sin 2 23 已知求的值 3 已知 求的值 1 1tan tan 2cossinsin 2 2 有时还会要用到 1 如 0 45tan 0 0 0 1tantan45tan tan 45 1tan1tan45 tan 0 0 0 1tantan45tan tan 45 1tan1tan45 tan 000 000 000 1tan15tan45tan15 tan 4515 tan603 1tan151tan45 tan15 六 逆用和 差 角公式 六 逆用和 差 角公式 0 00 0 1tantan45tan tan 45 cot 45 1tan1tan45 tan 0 00 0 1tantan45tan tan 45 cot 45 1tan1tan45 tan cos cossin sincos cos 如 000 000 000 1tan15tan45tan15 tan 4515tan603 1tan151tan45 tan15 22 cossin 1212 3 2 0000000 2 sin32 cos13cos32 sin13sin 3213 sin45 2 练习 1 的值域是 2 34 cossin 55 yxx 10tan31 50sin 化简 3 的值求 15sin15cos 15sin15cos 七 函数名的变换七 函数名的变换 要把一个函数名改变成它的余函数 通常是借助纵轴上的一个角加上 或减去 这个角 一个 角的三角函数等于 一 个 y 轴上的角加上 或减去 这个角的余函数或这个余函数的相反数 sincos cos 33 cos cos 33 cos cos cos cos 33 cossin sin sin sin 33 sin sin sin sin 例 例 为了得到函数 y cos x 的图象 只需将函数 y sinx 的图象 3 A 向左平移个单位长度 B 向右平移个单位长度 6 6 C 向左平移个单位长度 D 向右平移个单位长度 5 6 5 6 分析 分析 y cos x 与 y sinx 函数名不同 要先化成同名 可以保留形式简单的 3 y sinx 将 y cos x 化为 y sin x sin x 3 2 3 5 6 4 y sinx 的图象 y sin x 的图象 选 C 5 6 练习练习 1 已知且 则下列正确的是 0 2 2 coscos sinsin sincos cossin 2 为了得到函数的图象 只需将函数的图象 cos 2 3 yx sin2yx A 向左平移个单位 B 向右平移个单位 5 12 5 12 C 向左平移个单位 D 向右平移个单位 选 A 5 6 5 6 八 正切之和 或差 与正切之积的转化 八 正切之和 或差 与正切之积的转化 tantan tan tantantan 1tantan 1tantan tantan tan tantantan 1tantan 1tantan 练习 1 0000 tan40tan203tan40 tan20 化简 2 0000 tan20tan25tan20 tan25 化简 3 0000 tan55tan10tan55 tan10 化简 九 同弦异角 异弦异角平方和的变换 九 同弦异角 异弦异角平方和的变换 22 coscos sinsin axbyaxby 22222222 cos2cos coscossin2sin sinsinaxabxybyaxabxyby 222222 cossin cossin 2 cos cossin sin axxbyyabxyxy 22 2cos ababxy 22 coscos sinsin axbyaxby 22222222 cos2cos coscossin2sin sinsinaxabxybyaxabxyby 222222 cossin cossin 2 cos cossin sin axxbyyabxyxy 22 2cos ababxy 22 sincos cossin axbyaxby 22222222 sin2sin coscoscos2cos sinsinaxabxybyaxabxyby 222222 sincos cossin 2 sin coscos sin axxbyyabxyxy 22 2sin ababxy 22 sincos cossin axbyaxby 22222222 sin2sin coscoscos2cos sinsinaxabxybyaxabxyby 222222 sincos cossin 2 sin coscos sin axxbyyabxyxy 22 2sin ababxy 练习 1 已知求下列各值 11 sinsin coscos 32 1 2 cos tan 2 2 已知求的值 13sin5cos9 13cos5sin15 sin 3 已知 求coscoscossinsinsin0 cos 的值 十 三角形中的边角关系十 三角形中的边角关系 三角形中 任两边之和大于第三边 任两边之差小于第三边 任两边之差的 绝对值小于第三边 边的齐次关系与对角正弦的齐次关系可相互转化 任两个内 的和与第三个内角互补 任两个内角的和的正弦等于第三个内角的正弦 任 向左平移个单位 5 6 5 两个内角的和的余弦等于第三个内角的余弦的相反数 任两个内角和的一半与 第三内角的一半互余