金融工程复习

金融工程金融工程 一 名词解释一 名词解释 1 绝对定价法与相对定价法 绝对定价法与相对定价法 绝对定价法就是根据证券未来现金流的特征 运用恰当的贴现率将这些现金流贴现加 总为现值 该现值就是此证券的合理价格 股票和债券 相对定价法的基本思想就是利用标的资产价格与衍生证券价格之间的内在关系 直接 根据标的资产价格求出衍生证券价格 衍生证券 2 风险中性定价原理 风险中性定价原理 在对衍生证券进行定价时 我们可以作出一个有助于大大简化工作的简单假设 所有 投资者对于标的资产所蕴涵的价格风险的态度都是中性的 既不偏好也不厌恶 在此条件下 所有与标的资产风险相同的证券的预期收益率都等于无风险利率 因为 风险中性的投资者并不需要额外的收益来吸引他们承担风险 同样 在风险中性条件下 所有与标的资产风险相同的现金流都应该使用无风险利率进行贴现求得现值 这就是风险 中性定价原理 3 最小方差套期保值比率最小方差套期保值比率 是指套期保值的目标是使得整个套期保值组合收益的波动最小化的套期保值比率 具 体表现为套期保值收益的方差最小化 4 利率互换和货币互换 利率互换和货币互换 利率互换利率互换 是指双方同意在未来的一定期限内根据同种货币的相同名义本金交换现金流 其中 一方的现金流根据事先选定的某一浮动利率计算 而另一方的现金流则根据固定利率计算 货币互换货币互换 是在未来约定期限内将一种货币的本金和固定利息与另一货币的等价本金和固定利 息进行交换 5 期权的内在价值与时间价值 期权的内在价值与时间价值 期权的内在价值期权的内在价值 是 0 与多方行使期权时可以获得的收益现值的较大值 期权的时间价值期权的时间价值 是指在期权尚未到期时 标的资产价格的波动为期权持有者带来收益的可能 性所隐含的价值 二 简答题二 简答题 1 无套利定价的主要特征 无套利定价的主要特征 1 无风险 套利活动在无风险状态下进行 也就是说 最差的情况下 套利者的最终损益 扣除所有成本 为零 2 复制 无套利的关键技术是所谓的 复制 技术 即用一组证券来复制另外一组证券 使复 制组合的现金流特征与被复制组合的现金流特征完全一致 复制组合的多头 空头 与被复制 组合的空头 多头 相互之间应该完全实现头寸对冲 3 零投资 无风险的套利活动从初始现金流看是零投资组合 即初始套利者不需要任何资金的 投入 在投资期间也不需要任何的维持成本 2 远期价格和期货价格有什么关系 远期价格和期货价格有什么关系 当无风险利率恒定且对所有到期日都相同时 交割日相同的远期价格和期货价格应相等 当标的资产价格与利率呈正相关时 期货价格高于远期价格 当标的资产价格与利率呈负相关时 远期价格就会高于期货价格 远期价格和期货价格的差异幅度还取决于合约有效期的长短 当有效期只有几个月时 两者 的差距通常很小 此外 税收 交易费用 保证金的处理方式 违约风险 流动性等方面的因 素或差异都会导致远期价格和期货价格的差异 远期价格与期货价格的定价思想在本质上是相同的 其差别主要体现在交易机制和交易费用 的差异上 在很多情况下常常可以忽略 或进行调整 因此在大多情况下 我们可以合理地假 定远期价格与期货价格相等 并都用 F 来表示 3 如何证明无收益资产的现货如何证明无收益资产的现货 远期平价定理远期平价定理 为了证明无收益资产的现货 远期平价定理 我们用反证法证明等式不成立时的情形是不 均衡的 若 K S er T t 即交割价格大于现货价格的终值 在这种情况下 套利者可以按无风险利 率 r 借入 S 现金 期限为 T t 然后用 S 购买一单位标的资产 同时卖出一份该资产的远 期合约 交割价格为 K 在 T 时刻 该套利者就可将一单位标的资产用于交割换来 K 现金 并归还借款本息 Ser T t 这就实现了 K S er T t 的无风险利润 4 最小方差套期保值比率如何确定最小方差套期保值比率如何确定 在 1 单位现货空头用 n 单位期货多头进行套期保值的情形下 投资者的整个套期保值收益可以 表达为 n G1 G0 H1 H0 n G H 当 U 是风险度量 方差 时 最优套期保值比率 n 是使得 U 为最小值的解 从而取为目标函数 U Var 即 n 是使得 Var 为最小的解 这样确定的 n 称为最 小方差套期保值比率 记 2 为 的方差 2 G 为 G 的方差 2 H 为 H 的方差 HG 为 H 和 G 的协方差 HG 为 H 和 G 的相关系数 则由 Var Var n G H n2Var G 2nCov G H Var H 得到 于是 从而得到 n 5 金融互换的功能有哪些 金融互换的功能有哪些 1 通过金融互换可杂全球各市场之间进行套利 从而一方面降低筹资者的融资成本或提高投 资者的资产收益 另一方面促进全球金融市场的一体化 2 利用金融互换 可以管理资产负债组合中的利率风险和汇率风险 3 金融互换为表外业务 可以逃避外汇管制 利率管制及税收限制 6 期权价格的影响因素有哪些 期权价格的影响因素有哪些 影响期权价格的五大因素 1 标的资产的市场价格与期权的协议价格是影响期权价格最主要的因素 因为这两个价格及 其相互关系不仅决定着内在价值 而且还进一步影响着时间价值 2 期权的有效期 期权有效期的剩余时间影响期权的时间价值 在一般情况下 期权的边际时 间价值都是正的 也就是说 随着时间的增加 期权的时间价值是增加的 然而 随着时间的 延长 期权时间价值的增幅是递减的 3 标的资产价格的波动率即资产收益率的标准差 它反映了标的资产价格的波动状况 标的 资产价格的波动率越高 期权的时间价值就越大 4 无风险利率从期权的时间价值来理解 以股票为例 买入看涨期权 对于一支股票 要是 无套利的话 股票的到期价格就是现在的股价 这段时间按无风险收益率的收益 5 标的资产的收益按照美国市场惯例 标的资产分红或者是获得相应现金收益的时候 期权 的协议价格合约并不进行相应的调整 但标的资产的价格却发生了变化 因此在期权有效期内 2222222 22 HGHGHGHGHG nnnn 2 2 22 2 2 220 20 GHGHG G n n n G H HG 标的资产产生的现金收益将使看涨期权价格下降 而使看跌期权价格上升 7 期权价格上下限时如何确定的 期权价格上下限时如何确定的 以欧式期权为例 1 1 看涨看涨期权价格的上限 看涨期权的价格都不会超过标的资产的价格 因为 如果期权价格高于标的资产价格 套利者 可以通过买入标的资产并卖出期权来获得无风险利润 因此 标的资产价格是欧式期权的上限 C S 1 2 看跌看跌期权价格的上限 由于欧式看跌期权只能在到期日 T 执行 因此欧式看跌期权不能高于未来协议价格 X 的现值 p Xe r T t 2 下限 均以无收益情形为例 2 1 看涨看涨期权价格的下限 无收益情形 为了推导出期权价格下限 我们考虑如下两个组合 组合 A 一份欧式看涨期权加上金额为 Xe r T t 的现金 组合 B 一单位标的资产 在组合 A 中 如果现金按无风险利率投资则在 T 时刻将变为 X 即等于协议价格 此时多头要 不要执行看涨期权 取决于 T 时刻标的资产价格 ST 是否大于 X 若 ST X 则执行看涨期权 组合 A 的价值为 ST 若 ST X 则不执行看涨期权 组合 A 的价值为 X 因此 在 T 时刻 组合 A 的价值为 max ST X 而在 T 时刻 组合 B 的价值为 ST 由于 max ST X ST 因此 在 t 时刻组合 A 的价值也应 大于等于组合 B 即 c Xe r T t S c ST Xe r T t 由于期权的价值一定为正 因此无收益资产欧式看涨期权价格下限为 c max S Xe r T t 0 2 2 看跌看跌期权价格的下限 无收益情形 考虑如下两个组合 组合 C 一份欧式看跌期权加上一单位标的资产 组合 D 金额为 Xe r T t 的现金 在 T 时刻 如果 ST X 期权将不被执行 组合 C 价值为 ST 即在组合 C 的价值为 max ST X 假定组合 D 的现金以无风险利率投资 则在 T 时刻组合 D 的价值为 X 由于组合 C 的价值在 T 时刻大于等于组合 D 因此组合 C 的价值在 t 时刻也应大于等于组合 D 即 p S Xe r T t p S Xe r T t 由于期权价值一定为正 因此无收益资产欧式看跌期权价格下限为 p max Xe r T t S 0 8 欧式看涨期权与看跌期权平价关系如何确定欧式看涨期权与看跌期权平价关系如何确定 以无收益资产为例 为了推导 c 和 p 的关系 考虑以下两个组合 组合 A 一份欧式看涨期权加上金额为执行价格现值的现金 组合 B 一份有效期和协议价格与看涨期权相同的欧式看跌期权加上一单位标的资产 在期权到期时 两个组合的价值均为 max ST X 由于欧式期权不能提前执行 因此两组合在 时刻 t 必须具有相等的价值 即 C Xe r T t p s 这就是无收益资产欧式看涨期权与看跌期权之 间的平价关系 它表明欧式看涨期权的价值可根据同协议价格和到期日的欧式看跌期权的价值 推导出来 反之亦然 如果公式不成立 则存在无风险套利机会 套利活动将最终促使公式成 立 三 计算 三 计算 1 1 假设有一个无红利支付的股票 当前时刻 假设有一个无红利支付的股票 当前时刻 t 股价为股价为 s 基于该股票的看涨期权有效期为基于该股票的看涨期权有效期为 T 在这个有效期内 股价或升至 在这个有效期内 股价或升至 Su 或降至或降至 Sd 升至 升至 Su 时 期权收益为时 期权收益为 fu 股价降至股价降至 Sd 时 期权收益为时 期权收益为 fd 用无套利方法确定该股票期权在当前时刻 用无套利方法确定该股票期权在当前时刻 t 的价值的价值 f 解 首先 构造一个由 股股票多头和一个期权空头组成的证券组合 并计算出该组 合为无风险时的 值 d fdfu S Su 如果无风险利率用 r 表示 则该无风险组合的现值一定是 Su fu e r T t 而构造该组合的 成本是 S f 在没有套利机会的条件下 两者必须相等 即 S f Su fu e r T t 所以 e 1 r T t ud fPfP f r T t ed P ud 书书 P62P62 1 1 假设一种无红利支付的股票目前的市价为 假设一种无红利支付的股票目前的市价为 2020 元 无风险连续复利年利率为元 无风险连续复利年利率为 10 10 求该 求该 股票股票 3 3 个月期远期价格 如果三个月后该股票的市价为个月期远期价格 如果三个月后该股票的市价为 1515 元 求这份交易数量为元 求这份交易数量为 100100 单位单位 的远期合约多头方的价值 的远期合约多头方的价值 解答 F Ser T t 20 e0 1 0 25 20 51 三个月后 对于多头来说 该远期合约的价值为 15 20 51 100 551 2 2 假设一种无红利支付的股票目前的市价为 假设一种无红利支付的股票目前的市价为 2020 元 无风险连续复利年利率为元 无风险连续复利年利率为 10 10 市场 市场 上该股票的上该股票的 3 3 个月远期价格为个月远期价格为 2323 元 请问应如何进行套利 元 请问应如何进行套利 解答 F Ser T t 20 e0 1 0 25 20 5 23 在这种情况下 套利者可以按无风险利率 10 借入现 金 X 元三个月 用以购买 X 20 单位的股票 同时卖出相应份数该股票的远期合约 交割价 格为 23 元 三个月后 该套利者以 X 20 单位的股票交割远期 得到 23X 20 元 并归还借 款本息 X e0 1 0 25元 从而实现 23X 20 X e0 1 25 0 元的无风险利润 4 4 某股票预计在 某股票预计在 2 2 个月和个月和 5 5 个月后每股分别派发个月后每股分别派发 1 1 元股息 该股票目前市价等于元股息 该股票目前市价等于 3030 元 元 所有期限的无风险连续复利年利率均为所有期限的无风险连续复利年利率均为 6 6 某投资者刚取得该股票 某投资者刚取得该股票 6 6 个月期的远期合约空个月期的远期合约空 头 交易单位为头 交易单位为 100100 请问 请问 A A 该远期价格等于多少 若交割价格等于远期价格 则远期合约的初始价值等于多少 该远期价格等于多少 若交割价格等于远期价格 则远期合约的初始价值等于多少 B 3B 3 个月后 该股票价格涨到个月后 该股票价格涨到 3535 元 无风险利率仍为元 无风险利率仍为 6 6 此时的远期价格和该合约的空头 此时的远期价格和该合约的空头 价值等于多少 价值等于多少 解答 A 2 个月和 5 个月后派发的 1 元股息的现值 e 0 06 2 12 e 0 06 5 12 1 97 元 远期价格 30 1 97 e0 06 0 5 28 88 元 若交割价格等于远期价格 则远期合约的初始价值为 0 B 在 3 个月后的这个时点 2 个月后派发的 1 元股息的现值 e 0 06 2 12 0 99 元 远期价格 35 0 99 e0 06 3 12 34 52 元 此时空头远期合约价值 100 28 88 34 52 e 0 06 3 12 556 元 书书 P130P130 1 1 假设在一笔互换合约中 某一金融机构每半年支付 假设在一笔互换合约中 某一金融机构每半年支付 6 6 个月起的个月起的 LIBORLIBOR 同时收取 同时收取 8 8 的年的年 利率 半年计一次复利 利率 半年计一次复利 名义本金为 名义本金为 1 1 亿美元 互换还有亿美元 互换还有 1 251 25 年的期限 年的期限 3 3 个月 个月 9 9 个月个月 和和 1515 个月的个月的 LIBORLIBOR 连续复利率 分别为 连续复利率 分别为 10 10 10 5 10 5 和和 11 11 上一次利息支付日的 上一次利息支付日的 6 6 个月个月 LIBORLIBOR 为为 10 2 10 2 半年计一次复利 半年计一次复利 试分别运用债券组合和 试分别运用债券组合和 FRAFRA 组合计算此笔利率互换对组合计算此笔利率互换对 该金融机构的价值 该金融机构的价值 1 运用债券组合 从题目中可知 400k 万 510k 万 因此 0 1 0 250 105 0 750 11 1 25 44104 0 9824 fix Beee 亿美元 0 1 0 25 1005 1 1 0251 fl Be 亿美元 所以此笔利率互换对该金融机构的价值为 98 4 102 5 427 万美元 2 运用 FRA 组合 3 个月后的那笔交换对金融机构的价值是 0 1 0 25 0 5 1000 080 102107e 万美元 由于 3 个月到 9 个月的远期利率为 0 105 0 750 10 0 25 0 1075 0 5 10 75 的连续复利对应的每半年计一次复利的利率为 0 1075 2 21e 0 11044 所以 9 个月后那笔现金流交换的价值为 0 105 0 75 0 5 1000 080 11044141e 万美元 同理可计算得从现在开始 9 个月到 15 个月的远期利率为 11 75 对应的每半年 计一次复利的利率为 12 102 所以 15 个月后那笔现金流交换的价值为 0 11 1 25 0 5 1000 080 12102179e 万美元 所以此笔利率互换对该金融机构的价值为 107 141 179427 万美元 3 假设美元和日元的 假设美元和日元的 LIBOR 的期限结构是平的 在日本是的期限结构是平的 在日本是 4 而在美国是而在美国是 9 均为连 均为连 续复利 续复利 某一金融机构在一笔货币互换中每年收入日元 利率为 某一金融机构在一笔货币互换中每年收入日元 利率为 5 同时付出美元 利 同时付出美元 利 率为率为 8 两种货币的本金分别为 两种货币的本金分别为 1000 万美元和万日元 这笔互换还有万美元和万日元 这笔互换还有 3 年的期限 每年年的期限 每年 交换一次利息 即期汇率为交换一次利息 即期汇率为 1 美元美元 110 日元 试分别运用债券组合和远期外汇组合计算此日元 试分别运用债券组合和远期外汇组合计算此 笔货币互换对该金融机构的价值 笔货币互换对该金融机构的价值 1 运用债券组合 如果以美元为本币 那么 0 09 10 09 20 09 3 0 80 810 8964 4 D Beee 万美元 0 04 10 04 20 04 3 60601260123 055 F Beee 万日元 所以此笔货币互换对该金融机构的价值为 2 运用远期外汇组合 即期汇率为 1 美元 110 日元 或者是 1 日元 0 美元 因为美元和日元的年利 差为 5 根据 tTrr f SeF 一年期 两年期和三年期的远期汇率分别为 0 05 1 0 009091e0 009557 0 05 2 0 009091e0 010047 0 05 3 0 009091e0 010562 与利息交换等价的三份远期合约的价值分别为 0 09 1 0 860 0 00955720 71e 万