【学海导航】2014版高考数学一轮总复习 第51讲 空间角及其计算同步测控 理

1 第第 5151 讲讲 空间角及其计算空间角及其计算 1 已知二面角 l 的大小为 60 m n为异面直线 且m n 则 m n所成的角是 A 30 B 60 C 90 D 120 2 如图 在长方体ABCD A1B1C1D1中 AB BC 2 AA1 1 则BC1与平面BB1D1D所 成角的正弦值为 A B 6 3 2 5 5 C D 15 5 10 5 3 若正三棱锥的侧面都是直角三角形 则侧面与底面所成二面角的余弦值是 A B 6 3 3 3 C D 2 3 1 3 4 2012 四川卷 如图 在正方体ABCD A1B1C1D1中 M N分别是CD CC1的中点 则异面直线A1M与DN所成角的大小是 5 直线l与平面 成角为 30 l A m A m 则m与l所成角的取值 范围是 6 2012 大纲卷 三棱柱ABC A1B1C1中 底面边长和侧棱长都相等 BAA1 CAA1 60 则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为 7 如图所示 正方体ABCD A1B1C1D1中 E F分别是正方形ADD1A1和ABCD的中心 G是CC1的中点 设GF C1E与AB所成的角分别为 求 2 8 一条直线与直二面角的两个面所成的角分别是 和 则 的范围是 9 如图 正四面体ABCD的顶点A B C分别在两两垂直的三条射线Ox Oy Oz上 则在下列命题中 正确的 填写所有正确命题的序号 O ABC是正三棱锥 直线OB 平面ACD 直线AD与直线OB所成的角是 45 二面角D OB A为 45 10 如图 直四棱柱ABCD A1B1C1D1的底面ABCD为平行四边形 其中 AB BD BC 1 AA1 2 E为DC的中点 F是棱DD1上的动点 2 1 求异面直线AD1与BE所成角的正切值 2 当DF为何值时 EF与BC1所成的角为 90 3 4 5 第 51 讲 1 B 2 D 3 B 4 90 5 30 90 6 6 6 7 解析 建立空间直角坐标系如图 设正方体的棱长为 2 则B 2 0 0 A 2 2 0 G 0 0 1 F 1 1 0 C1 0 0 2 E 1 2 1 则 0 2 0 1 1 1 1 2 1 BA GF C1E 所以 cos cos BA GF 1 3 BA C1E 2 3 所以 cos cos sin 1 3 2 3 1 3 所以 90 8 0 90 解析 当直线与二面角的棱平行时 0 当直线与二面角的一个面垂直时 90 当直线与二面角的两个面都相交时 设A B分别为平面M N内任一点 过A B分别作AC l BD l l为二面角的棱 垂足为C D 则 BAD ABC ABD 90 又因为 0 所以 0 90 综上 0 90 9 解析 把该正四面体放入正方体中 如图 易知 错误 简证 假设OB 平面ACD 又正方体中OB AE 又AE 平面ACD A 故AE 平面ACD 但很明显AE不存在平面ACD中 矛盾 故假设错误 故 错 10 解析 方法 1 1 连接EC1 在直四棱柱ABCD A1B1C1D1中 AD1 BC1 则 EBC1为异面直线AD1与BE所成的角 Error BE 侧面DCC1D1 BE EC1 在 Rt BEC1中 BE BC2 EC2 2 2 EC1 CC12 CE2 3 2 2 6 所以 tan EBC1 3 EC1 EB 2 当DF 时 EF与BC1所成的角为 90 1 4 由 1 知 BE 侧面DCC1D1 BE EF 又DE EC CC1 AA1 2 2 2 当DF 时 因为 1 4 DF CE 1 4 2 2 2 4 DE CC1 2 2 2 2 4 所以 DEF CC1E 所以 DEF CEC1 90 所以 FEC1 90 即FE EC1 又EB EC1 E 所以EF 平面BEC1 所以EF BC1 即EF与BC1所成的角等于 90 方法 2 由BC2 BD2 DC2可知BD BC 分别以BC BD BB1为x轴 y轴 z轴建立 空间直角坐标系 如图 则B 0 0 0 A 1 1 0 D 0 1 0 D1 0 1 2 C 1 0 0 C1 1 0 2 E 0 1 2 1 2 1 因为 1 0 2 0 AD1 BE 1 2 1 2 所以 cos AD1 BE 1 2 5 2 2 1 10 10 10 所以 sin AD1 BE 3 10 10 所以 tan 3 AD1 BE 即AD1与BE所成的