【备战2013年】历届高考数学真题汇编专题14 复数 理（2000-2006）

用心 爱心 专心 1 2006 2006 高考试题高考试题 一 选择题 共 11 题 2 北京卷 在复平面内 复数对应的点位于 1 i i A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 解 故选 D 1 i i 1 1 1 ii i 3 福建卷 设a b c d R 则复数 a bi c di 为实数的充要条件是 A ad bc 0 B ac bd 0 C ac bd 0 D ad bc 0 4 广东卷 若复数满足方程 则z 2 20z 3 z A B C D 2 2 2 2 2 2i 2 2i 解析 由 故选 D izizz22202 32 5 江西卷 已知复数 z 满足 3i z 3i 则 z 3 A B C D 33 22 i 33 44 i 33 22 i 33 44 i 解 故选 D 333 333 1243 3 iiii z i 6 全国卷 I 如果复数是实数 则实数 2 1 mimi m A B C D 11 22 解析 复数 m2 m 1 m3 i 是实数 1 m3 0 m 1 选 B 2 1 mimi 用心 爱心 专心 2 8 陕西卷 复数等于 1 i 2 1 i A 1 i B 1 i C 1 i D 1 i 解析 复数 选C 1 i 2 1 i 2 1 1 1 i iii i 11 浙江卷 已知 niminmni i m 是虚数单位 则是实数 其中1 1 A 1 2i B 1 2i C 2 i D 2 i 考点分析 本题考查复数的运算及性质 基础题 解析 由 是实数 得 innmni i m 111 1 mn mn n 1 01 故选择 C inim m n 2 2 1 二 填空题 共 4 题 12 湖北卷 设为实数 且 则 x y 5 11 21 3 xy iii xy 解 1 12 2 11 2252525 xyxiyixyxy i iy 用心 爱心 专心 3 而 所以 解得 x 1 y 5 55 1 3 13 1 31022 i i i 123 252252 xyxy 且 所以 x y 4 13 上海卷 若复数同时满足 2 为虚数单位 则 zz zi ziziz 解 已知 2 21 1 i ZiZiZi i 14 上海卷 若复数满足 为虚数单位 其中则z 2 1 zmmi imR z 2005 2005 高考试题高考试题 1 广东卷 若 其中 使虚数单位 则 D 2 ai ibi abR i 22 ab 5 2 2 北京卷 若 且为纯虚数 则实数a的值为 1 2zai 2 34zi 1 2 z z3 8 3 福建卷 复数的共轭复数是 B i z 1 1 A B C D i 2 1 2 1 i 2 1 2 1 i 1i 1 4 湖北卷 C i ii 1 21 1 A B C D i 2i 2i 2i 2 5 湖南卷 复数 z i i2 i3 i4的值是 B A 1 B 0 C 1 D i 6 辽宁卷 复数在复平面内 z所对应的点在 B 1 1 1 i i z A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 用心 爱心 专心 4 7 全国卷 II 设 若为实数 则 A abcd R i i ab cd A B C D 0bcad 0bcad 0bcad 0bcad 8 全国卷 III 已知复数 zzzzzziz则复数满足复数 3 23 000 i 2 3 1 9 山东卷 1 D 22 11 11 ii ii A B C 1 D ii 1 10 天津卷 2 若复数 a R i为虚数单位位 是纯虚数 则实数a的值为 i ia 21 3 C A 2B 4 C 6 D 6 11 浙江卷 在复平面内 复数 1 i 2对应的点位于 B 1 i i 3 A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 12 重庆卷 A 2005 1 1 i i A B C D ii 2005 2 2005 2 13 江西卷 设复数 为实数 则x A 121 2 1 2 zi zxi xRz z 若 A 2B 1C 1D 2 14 上海 在复数范围内解方程 i 为虚数单位 i i izzz 2 3 2 2004 2004 高考试题高考试题 1 北京 当时 复数在复平面上对应的点位于 D 2 3 1 mzmmi 321 用心 爱心 专心 5 A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限 2 上海 若复数满足 则的实部是 1 z2 1 izz 3 湖北 复数的值是 A i i 31 31 2 A 16 B 16C D 4 1 i 4 3 4 1 4 湖南 复数的值是 D 4 1 1 i A B C 4D 4i 4i 4 2003 2003 高考试题高考试题 3 2002 京皖春 4 如果 那么复数 1 i cos isin 的辐角的 2 主值是 A B C D 4 9 4 4 4 7 4 2002 全国 2 复数 i 3的值是 2 3 2 1 A iB iC 1D 1 用心 爱心 专心 6 5 2002 上海 13 如图 12 1 与复平面中的阴影部分 含边界 对应的复数集合是 6 2001 全国文 5 已知复数 则 arg是 i 62 z 1 A B C D 6 6 11 3 3 5 9 2000 上海理 13 复数z i是虚数单位 的三角形式是 5 sin 5 cos3 i 图 12 1 用心 爱心 专心 7 A 3 cos isin B 3 cos isin 5 5 5 5 C 3 cos isin D 3 cos isin 5 4 5 4 5 6 5 6 10 2000 京皖春 1 复数z1 3 i z2 1 i 则z z1 z2在复平面内的对应点位 于 A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 12 1998 全国 8 复数 i的一个立方根是i 它的另外两个立方根是 A B i 2 1 2 3 i 2 1 2 3 C D i 2 1 2 3 i 2 1 2 3 13 1996 全国 4 复数等于 5 4 31 22 i i A 1 i B 1 i 33 C 1 i D 1 i33 14 1994 上海 16 设复数z i i为虚数单位 则满足等式zn z且大于 2 3 2 1 1 的正整数n中最小的是 用心 爱心 专心 8 A 3 B 4 C 6 D 7 15 1994 全国 9 如果复数z满足 z i z i 2 那么 z i 1 的最小值是 A 1 B C 2 D 25 二 填空题 16 2003 上海春 6 已知z为复数 则z 2 的一个充要条件是z满足 z 17 2002 京皖春 16 对于任意两个复数z1 x1 y1i z2 x2 y2i x1 y1 x2 y2 为实数 定义运算 为 z1 z2 x1x2 y1y2 设非零复数w1 w2在复平面内对应的点 分别为P1 P2 点O为坐标原点 如果w1 w2 0 那么在 P1OP2中 P1OP2的大小为 18 2002 上海 1 若z C 且 3 z i 1 i为虚数单位 则z 19 2001 上海春 2 若复数z满足方程i i 1 i是虚数单位 则z z 20 1997 上海理 9 已知a i是虚数单位 那么a4 i i 21 3 21 1995 上海 20 复数z满足 1 2i 4 3i 那么z z 三 解答题 26 2001 上海理 20 对任意一个非零复数z 定义集合Mz w w z2n 1 n N 用心 爱心 专心 9 设 是方程x 的一个根 试用列举法表示集合M 2 1 x 设复数 Mz 求证 M Mz 27 2001 上海文 20 对任意一个非零复数z 定义集合Mz w w zn n N 设z是方程x 0 的一个根 试用列举法表示集合Mz 若在Mz中任取两个数 x 1 求其和为零的概率P 若集合Mz中只有 3 个元素 试写出满足条件的一个z值 并说明理由 28 2000 上海春 18 设复数z满足 z 5 且 3 4i z在复平面上对应的点在第 二 四象限的角平分线上 z m 5 m R 求z和m的值 22 30 1999 全国理 20 设复数z 3cos i 2sin 求函数 y argz 0 的最大值以及对应的 值 2 31 1999 上海理 19 已知方程x2 4 i x 4 ai 0 a R 有实数根b 且 z a bi 求复数 1 ci c 0 的辐角主值的取值范围 z 32 1999 上海文 19 设复数z满足 4z 2 3 i sin icos R z3 求z的值和 z 的取值范围 33 1998 上海文 18 已知复数z1满足 z1 2 i 1 i 复数z2的虚部为 2 且 z1 z2是实数 求复数z2的模 34 1998 上海理 18 已知向量 所表示的复数z满足 z 2 i 1 i 将绕OZOZ 用心 爱心 专心 10 原点O按顺时针方向旋转得 设所表示的复数为z 求复数z i的辐 4 1 OZ 1 OZ2 角主值 35 1997 全国文 20 已知复数z i w i 求复数zw zw3的模 2 3 2 1 2 2 2 2 及辐角主值 38 1996 上海理 22 设z是虚数 w z 是实数 且 1 2 z 1 求 z 的值及z的实部的取值范围 设u 求证 u为纯虚数 z z 1 1 求w u2的最小值 39 1995 上海 22 已知复数z1 z2满足 z1 z2 1 且z1 z2 i 求 2 3 2 1 z1 z2的值 40 1995 全国文 22 设复数z cos isin 2 求复数z2 z的模 和辐角 41 1995 全国理 21 在复平面上 一个正方形的四个顶点按照逆时针方向依次为 Z1 Z2 Z3 O 其中O是原点 已知Z2对应复数z2 1 i 求Z1和Z3对应的复数 3 42 1994 全国理 21 已知z 1 i 设w z2 3 4 求w的三角形式 z 用心 爱心 专心 11 如果 1 i 求实数a b的值 1 2 2 zz baxz 43 1994 上海 22 设w为复数 它的辐角主值为 且为实数 求复数 4 3 4 2 w 答案解析 2 答案 A 解析 由已知z m 4 2 m 1 i 在复平面对 5 1 21 21 21 2 21 2 ii iim i im 应点如果在第一象限 则而此不等式组无解 即在复平面上对应的点不可能位于 01 04 m m 第一象限 3 答案 B 解析 1 i cos isin cos isin cos isin 2 4 4 用心 爱心 专心 12 cos isin 2 4 4 2 4 4 3 4 5 该复数的辐角主值是 4 6 答案 D 解法一 3 5 arg2 1 arg 3 sin 3 cos22 2 3 2 1 22 z z iiz 解法二 31 2iz 22 311i z 应在第四象限 tan arg z 1 0 22 3 0 22 1 3 z 1 arg是 z 1 3 5 8 答案 B 用心 爱心 专心 13 解析 根据复数乘法的几何意义 所求复数是 iiiii32 2 3 2 1 33 3 sin 3 cos 33 9 答案 C 解法一 采用观察排除法 复数对应点在第二象限 而选项 5 sin 5 cos3 iz A B 中复数对应点在第一象限 所以可排除 而选项 D 不是复数的三角形式 也可排除 所 以选 C 解法二 把复数直接化为复数的三角形式 即 5 sin 5 cos3 iz 5 4 sin 5 4 cos3 5 sin 5 cos 3 5 sin 5 cos 3 i iiz 12 答 案 D 用心 爱心 专心 14 解法一 i cos isin 2 3 2 3 i的三个立方根是 cos k 0 1 2 3 2 2 3 sin 3 2 2 3 k i k 当k 0 时 iii 2 sin 2 cos 3 2 3 sin 3 2 3 cos 当k 1 时 iii 2 1 2 3 6 7 sin 6 7 cos 3 2 2 3 sin 3 2 2 3 cos 当k 2 时 iii 2 1 2 3 6 11 sin 6 11 cos 3 4 2 3 sin 3 4 2 3 cos 13 答案 B 解法一 4 sin 4 cos2222 ii 故 2 2i 4 26 cos isin 26 1 3 sin 3 cos23 ii 故 3 5 sin 3 5 cos 2 31 5 5 i i 于是 ii i i i 31 2 3 2 1 2 2 3 5 sin 3 5 cos2 31 22 5 6 5 4 所以选 B 用心 爱心 专心 15 解法二 原式 ii i i i 2 3 2 1 2 2 3 2 1 2 2 1 2 3 2 1 2 1 16 2 2 55 4 i i i 31 4 31 4 31 4 应选 B 14 答案 B 解析 z i是z3 1 的一个根 记z 4 故选 B 2 3 2 1 17 答案 2 用心 爱心 专心 16 解析 设iyxziyxz OPOP 2211 21 w1 w2 0 由定义x1x2 y1y2 0 OP1 OP2 P1OP2 2 21 答案 2 i 解析 由已知 i iii i i z 2 5 83 64 41 21 34 21 34 故z 2 i 22 解法一 设z a bi a b R 则 1 3i z a 3b 3a b i 由题意 得a 3b 0 25 2 i z z 105 22 ba 将a 3b代入 解得a 15 b 15 故 7 i i i 2 515 解法二 由题意 设 1 3i z ki k 0 且k R 则 31 iik ki 用心 爱心 专心 17 5 k 50 2 故 7 i 23 解 z 1 i az 2b a 2b a 2b i z a 2z 2 a 2 2 4 4 a 2 i a2 4a 4 a 2 i 因为a b都是实数 所以由az 2b a 2z 2得z 2 42 42 2 aba aaba 两式相加 整理得a2 6a 8 0 解得a1 2 a2 4 对应得b1 1 b2 2 所以 所求实数为a 2 b 1 或a 4 b 2 z7 1 z cos isin z7 cos7 isin7 1 7 2k z z2 z4 1 z3 z5 z6 1 cos 2k 4 isin 2k 4 cos 2k 2 isin 2k 2 cos 2k isin 2k 1 cos4 isin4 cos2 isin2 cos isin 2 cos cos2 cos4 1 用心 爱心 专心 18 cos cos2 cos4 2 1 解法二 z2 z5 1 z2 5 5 1 z z 同理z3 z 4 z 6 z z z2 z4 1 4 z 2 zz z z z 1z 2 z 4 z cos2 cos cos4 2 1 解法二 z 1 可看成z为半径为 1 圆心为 0 0 的圆 而z1可看成在坐标系中的点 2 2 z z1 的最大值可以看成点 2 2 到圆上的点距离最大 由图 12 2 可知 z z1 max 2 12 26 解 是方程x2 x 1 0 的根2 用心 爱心 专心 19 1 1 i 或 2 1 i 2 2 2 2 当 1 1 i 时 12 i 12n 1 2 2 11 2 1 nn i 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 1 1111 1 iiii ii M 当 2 1 i 时 22 i 2 2 12 1 1 2222 M ii M M 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 iiii 28 解 设z x yi x y R z 5 x2 y2 25 而 3 4i z 3 4i x yi 3x 4y 4x 3y i 又 3 4i z在复平面上对应的点在第二 四象限的角平分线上 用心 爱心 专心 20 3x 4y 4x 3y 0 得y 7x x y 2 2 2 27 即z i z 1 7i 2 2 2 27 2 当z 1 7i时 有 1 7i m 5 22 即 1 m 2 72 50 得m 0 m 2 当z 1 7i 时 同理可得m 0 m 2 2 解 该直线上的任一点P x y 其经变换后得到的点Q x y x y 仍在该直线33 上 x y k x y b 33 用心 爱心 专心 21 即 k 1 y k x b 33 30 解 由 0 得 tan 0 2 由z 3cos i 2sin 得 0 argz 及 tan argz tan 2 3 2 cos3 sin2 故 tany tan argz tan2 tan 3 1 tan 3 2 1 tan 3 2 tan 2 2tan 2 tan 3 6 tan2 tan 3 1 12 6 当且仅当 2tan 0 时 tan 3 2 即 tan 时 上式取等号 2 6 用心 爱心 专心 22 所以当 arctan时 函数 tany取最大值 2 6 12 6 由y argz得y 2 2 由于在 内正切函数是递增函数 函数y也取最大值 arctan 2 2 12 6 评述 本题主要考查复数的基本概念 三角公式和不等式等基础知识 考查综合运用所 学数学知识解决问题的能力 明考复数实为三角 语言简练 情景新颖 对提高考生的数学素 质要求是今后的命题方向 复数 1 ci 的辐角主值在 0 z 2 范围内 有 arg 1 ci arctan arctan 1 z c c 22 22 c 1 2 0 c 1 0 1 1 c 1 2 有 0 arctan 1 c 1 2 4 用心 爱心 专心 23 0 arg 1 ci z 4 32 解 设z a bi a b R 则 a bi 代入 4z 2 3 izz3 得 4 a bi 2 a bi 3 i 3 z i 2 1 2 3 b a 2 1 2 3 z i sin icos 2 1 2 3 6 sin 22cossin32 cos 2 1 sin 2 3 2 1 sin 1 0 2 2sin 4 6 6 0 z 2 用心 爱心 专心 24 评述 本题考查了复数 共轭复数的概念 两复数相等的充要条件 复数的模 复数模 的取值范围等基础知识以及综合运用知识的能力 34 解 由 z 2 i 1 i得z 2 3 i i i 1 z z cos isin 3 i i 2i 4 4 2 2 2 2 22 z i i 2 i 2 cos isin 222 2 2 2 2 4 7 4 7 arg z1 i 2 4 7 评述 本题考查复数乘法的几何意义和复数辐角主值的概念 35 解法一 zw zw3 zw 1 w2 i i 1 i 2 3 2 1 2 2 2 2 1 i 2 i 2 2 2 3 2 1 2 1 2 3 2 2 3 2 1 2 2 2 iii 6 5 sin 6 5 cos2 i 故复数zw zw3的模为 辐角主值为 2 6 5 解法二 w i cos isin 2 2 2 2 4 4 用心 爱心 专心 25 zw zw3 z w w3 z cos isin cos isin 3 4 4 4 4 z cos isin cos isin z 4 4 4 3 4 3 ii 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 3 22 2 3 2 1 iii 6 5 sin 6 5 cos2 i 故复数zw zw3的模为 辐角主值为 2 6 5 评述 本题主要考查复数的有关概念及复数的基本运算能力 又因为 OP 1 OQ z2 3 z 2 3 1 z OP OQ 由此知 OPQ为等腰直角三角形 证法二 z cos isin 6 6 z3 i 又 4 sin 4 cos 2 2 2 2 ii 4 1 用心 爱心 专心 26 于是i z z zz zz z z 2 433232 由此得OP OQ OP OQ 故 OPQ为等腰直角三角形 2 由z1 1 mi m 0 z12 z2得z2 1 m2 2mi 1 m2 2mi tan m m m m 1 2 1 2 2 由m 0 知m 2 于是 1 tan 0 m 1 又 m2 1 0 2m 0 得 4 3 因此所求 的取值范围为 4 3 38 解 设z a bi a b R b 0 则w a bi i ba b b ba a a bia 1 2222 因为w是实数 b 0 所以a2 b2 1 即 z 1 用心 爱心 专心 27 于是w 2a 1 w 2a 2 a 1 2 1 所以z的实部