浙江省台州外国语学校2012-2013学年高二数学下学期第一次月考试题 理（含解析）新人教A版

1 2012 20132012 2013 学年浙江省台州外国语学校高二 下 第一次月考数学学年浙江省台州外国语学校高二 下 第一次月考数学 试卷 理科 试卷 理科 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 1010 小题 每小题小题 每小题 4 4 分 共分 共 4040 分 分 1 4 分 函数 y 2x 1 2在 x 0 处的导数是 A 0B 1C 3D 4 考点 导数的运算 专题 导数的概念及应用 分析 根据函数 y 2x 1 2 的导数为 2 2x 1 2 8x 4 可得函数 y 2x 1 2在 x 0 处的导数值 解答 解 由于函数 y 2x 1 2 的导数为 2 2x 1 2 8x 4 故函数 y 2x 1 2在 x 0 处的导数是 8 0 4 4 故选 D 点评 本题主要考查求函数在某一点的导数的方法 属于中档题 2 4 分 下列运算正确的是 A B C 3x x3x 1 D 考点 导数的运算 专题 导数的概念及应用 分析 利用导数的运算法则即可得出 解答 解 A 是一个常数 因此 A 不正确 B B 不正确 C 3x 3xlna C 不正确 D D 正确 故选 D 点评 熟练掌握导数的运算法则是解题的关键 2 3 4 分 曲线 y 在点 R 8 的切线方程是 A x 48y 20 0B x 48y 20 0C x 48y 20 0D x 4y 20 0 考点 利用导数研究曲线上某点切线方程 专题 计算题 分析 把曲线方程中的根式化为负指数后 求出导函数 把 x 8 代入导函数即可求出切线 方程的斜率 根据求出的斜率和 R 的坐标写出切线方程即可 解答 解 由 y 得到 y 则切线的斜率 k 所以切线方程是 y x 8 化简得 x 48y 20 0 故选 A 点评 此题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率 会根据一点和斜率写出 直线的方程 是一道综合题 4 4 分 2012 陕西 设函数 f x xex 则 A x 1 为 f x 的极大值点 B x 1 为 f x 的极小值点 C x 1 为 f x 的极大值点 D x 1 为 f x 的极小值点 考点 利用导数研究函数的极值 专题 计算题 分析 由题意 可先求出 f x x 1 ex 利用导数研究出函数的单调性 即可得出 x 1 为 f x 的极小值点 解答 解 由于 f x xex 可得 f x x 1 ex 令 f x x 1 ex 0 可得 x 1 令 f x x 1 ex 0 可得 x 1 即函数在 1 上是增函数 令 f x x 1 ex 0 可得 x 1 即函数在 1 上是减函数 所以 x 1 为 f x 的极小值点 故选 D 3 点评 本题考查利用导数研究函数的极值 解题的关键是正确求出导数及掌握求极值的步 骤 本题是基础题 5 4 分 函数 y 2x3 3x2 12x 5 在区间 0 3 上最大值与最小值分别是 A 5 15 B 5 4 C 4 15 D 5 16 考点 利用导数求闭区间上函数的最值 专题 计算题 分析 对函数 y 2x3 3x2 12x 5 求导 利用导数研究函数在区间 0 3 上的单调性 根据 函数的变化规律确定函数在区间 0 3 上最大值与最小值位置 求值即可 解答 解 由题意 y 6x2 6x 12 令 y 0 解得 x 2 或 x 1 故函数 y 2x3 3x2 12x 5 在 0 2 减 在 2 3 上增 又 y 0 5 y 2 15 y 3 4 故函数 y 2x3 3x2 12x 5 在区间 0 3 上最大值与最小值分别是 5 15 故选 A 点评 本题考查用导数判断函数的单调性 利用单调性求函数的最值 利用单调性研究函 数的最值 是导数的重要运用 注意上类题的解题规律与解题步骤 6 4 分 函数 f x 2x2 lnx 的递增区间是 A 0 B 0 及 C D 及 0 考点 利用导数研究函数的单调性 专题 常规题型 分析 先确定函数的定义域然后求导数 f x 在函数的定义域内解不等式 f x 0 即可求出函数 f x 2x2 lnx 的递增区间 解答 解 f x 2x2 lnx x 0 f x 4x 令 f x 4x 0 解得 x 函数 f x 2x2 lnx 的递增区间是 故选 C 4 点评 本题主要考查了对数函数的导数 以及利用导数研究函数的单调性等基础知识 考 查计算能力 属于基础题 7 4 分 2013 河东区二模 已知曲线的一条切线的斜率为 则切点的 横坐标为 A 3B 2C 1D 考点 导数的几何意义 分析 根据斜率 对已知函数求导 解出横坐标 要注意自变量的取值区间 解答 解 设切点的横坐标为 x0 y0 曲线的一条切线的斜率为 y 解得 x0 3 或 x0 2 舍去 不符合题意 即切点的横坐标为 3 故选 A 点评 考查导数的几何意义 属于基础题 对于一个给定的函数来说 要考虑它的定义 域 比如 该题的定义域为 x 0 8 4 分 函数 f x a b 1 则 A f a f b B f a f b C f a f b D f a f b 大小关系不能确定 考点 利用导数研究函数的单调性 分析 先对函数进行求导数 再根据导数的正负判断函数的增减性即可得到答案 解答 解 当 x 1 时 f x 0 即 f x 在区间 0 上单调递增 又 a b 1 f a f b 故选 C 点评 本题主要考查函数的增减性和导数正负的关系 即当导数大于 0 时原函数单调递增 当导数小于 0 时原函数单调递减 5 9 4 分 2007 浙江 设 f x 是函数 f x 的导函数 将 y f x 和 y f x 的图象画在同一个直角坐标系中 不可能正确的是 A B C D 考点 利用导数研究函数的单调性 导数的几何意义 专题 压轴题 分析 本题可以考虑排除法 容易看出选项 D 不正确 因为 D 的图象 在整个定义域内 不具有单调性 但 y f x 和 y f x 在整个定义域内具有完全相同的走势 不 具有这样的函数 解答 解析 检验易知 A B C 均适合 不存在选项 D 的图象所对应的函数 在整个定义 域内 不具有单调性 但 y f x 和 y f x 在整个定义域内具有完全相同的走 势 不具有这样的函数 故选 D 点评 考查函数的单调性问题 10 4 分 函数 f x x3 ax2 bx a2 在 x 1 时有极值 10 则 a b 的值为 A a 3 b 3 或 a 4 b 11 B a 4 b 1 或 a 4 b 11 C a 1 b 5 D 以上都不对 考点 函数在某点取得极值的条件 专题 计算题 分析 先求出函数的导函数 f x 然后根据在 x 1 时 f x 有极值 10 得到 求出满足条件的 a 与 b 然后验证在 x 1 时 f x 是否有极值 解答 解 对函数 f x 求导得 f x 3x2 2ax b 又 在 x 1 时 f x 有极值 10 解得或 当 a 3 b 3 时 f x 3x2 6x 3 3 x 1 2 0 6 在 x 1 时 f x 无极值 考察四个选项 只有 D 选项符合 故选 D 点评 本题主要考查了函数在某点取得极值的条件 以及考查利用函数的极值存在的条件 求参数的能力 属于中档题 二 填空题 共二 填空题 共 6 6 小题 每小题小题 每小题 3 3 分 满分分 满分 1818 分 分 11 3 分 函数 y x3 x2 x 的单调增区间为 考点 利用导数研究函数的单调性 分析 先对函数 f x 进行求导 然后令导函数大于 0 求出 x 的取值范围即可 解答 解 y x3 x2 x y 3x2 2x 1 令 y 3x2 2x 1 0 x 或 x 1 故答案为 1 点评 本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系 出基础题 12 3 分 函数 f x x3 px2 2m2 m 1 在区间 2 0 内单调递减 且在区间 2 及 0 内单调递增 则实数 p 的取值集合是 3 考点 函数的单调性与导数的关系 专题 导数的概念及应用 分析 求出原函数的导函数 根据函数 f x x3 px2 2m2 m 1 在区间 2 0 内单调 递减 且在区间 2 及 0 内单调递增 说明 x 2 与 x 0 是函数 f x 的两个极值点 利用极值 点处的导数等于 0 即可求得实数 p 的取值集合 解答 解 由 f x x3 px2 2m2 m 1 则 f x 3x2 2px 因为 f x x3 px2 2m2 m 1 在区间 2 0 内单调递减 且在区间 2 及 0 内单调递增 所以 x 2 与 x 0 是函数 f x 的两个极值点 则 式显然成立 所以只需 f 2 3 2 2 2p 2 0 即 p 3 所以使函数 f x x3 px2 2m2 m 1 在区间 2 0 内单调递减 且在区间 2 及 0 内单调递增的实数 p 的取值集合是 3 7 故答案为 3 点评 本题考查了函数的单调性与导数之间的关系 考查了数学转化思想方法 解答此题 的关键是把函数在不同区间内的单调性转化为极值点处的导数等于 0 此题是基础 题 13 3 分 若 f x 2xf 1 x2 4x 则 f 1 2 考点 导数的运算 专题 导数的概念及应用 分析 利用导数的运算法则即可得出 解答 解 f x 2xf 1 x2 4x f x 2f x 2x 4 令 x 1 则 f 1 2f 1 2 4 解得 f 1 2 故答案为 2 点评 熟练掌握导数的运算法则是解题的关键 14 3 分 函数斜率最小的切线方程为 6x 3y 2 0 考点 利用导数研究曲线上某点切线方程 专题 导数的概念及应用 分析 求出 f x 利用二次函数的性质可求得其最小值 即切线的最小斜率 再求出切 点 利用点斜式即可求得答案 解答 解 f x x2 2x 3 x 1 2 2 当 x 1 时 f x 取得最小值 2 即最小的切线斜率为 2 又 f 1 1 3 1 所以斜率最小的切线方程为 y 2 x 1 即 6x 3y 2 0 故答案为 6x 3y 2 0 点评 本题考查利用导数研究曲线上某点切线方程 考查二次函数的性质 正确理解导数 的几何意义是解决本题的基础 15 3 分 2011 深圳模拟 设曲线 f x 2ax3 a 在点 1 a 处的切线与直线 2x y 1 0 平行 则实数 a 的值为 考点 利用导数研究曲线上某点切线方程 8 专题 计算题 分析 先求出函数 f x 2ax3 a 的导数 进而求得函数在 x 1 处得导数为 6a 再利用两 直线平行的判断定理便可求出 a 的值 解答 解 f x 2ax3 a 在点 1 a 处的切线与直线 2x y 1 0 平行 曲线 f x 2ax3 a 的导数为 f x 6ax2 在 x 1 处的值为 f 1 6a f x 2ax3 a 在 1 a 的斜率为 6a 直线 2x y 1 0 在 x 1 处的斜率为 2 6a 2 解得 a 故答案为 点评 本题主要考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率和两直线平行的判断 以及对导数的综合掌握 解题时注意转化思想的运用 属于中档题 16 3 分 已知函数 f x x3 2x2 ax 1 在区间 1 1 上是单调函数 则实数 a 的 取值范围是 考点 利用导数研究函数的单调性 专题 计算题 分析 函数 f x x3 2x2 ax 1 在区间 1 1 上是单调函数 f x 3x2 4x a 0 或 f x 3x2 4x a 0 在 1 1 恒成立 a 3x2 4x 或 a 3x2 4x 在 1 1 上恒成立 从而转化求函数 g x 3x2 4x 在 1 1 上 的最值 解答 解 对函数求导可得 f x 3x2 4x a 函数 f x x3 2x2 ax 1 在区间 1 1 上是单调函数 f x 3x2 4x a 0 或 f x 3x2 4x a 0 在 1 1 恒成立 即 a 3x2 4x 或 a 3x2 4x 在 1 1 上恒成立 令 g x 3x2 4x 则 g x 在 1 1 上的最小值为 而 g 1 7 故答案为 点评 本题主要考查了函数的单调性与函数导数的关系的应用 函数的恒成立问题的求解 常会转化为求函数的最值 体现了构造函数与转化思想的应用 9 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 4 4 小题 共小题 共 4242 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 8 分 2005 北京 已知函数 f x x3 3x2 9x a I 求 f x 的单调递减区间 若 f x 在区间 2 2 上的最大值为 20 求它在该区间上的最小值 考点 利用导数研究函数的单调性 利用导数求闭区间上函数的最值 专题 计算题 压轴题 分析 I 先求出函数 f x 的导函数 f x 然后令 f x 0 解得的区间即为 函数 f x 的单调递减区间 II 先求出端点的函数值 f 2 与 f 2 比较 f 2 与 f 2 的大小 然 后根据函数 f x 在 1 2 上单调递增 在 2 1 上单调递减 得到 f 2 和 f 1 分别是 f x 在区间 2 2 上的最大值和最小值 建立等式关系求出 a 从而求出函数 f x 在区间 2 2 上的最小值 解答 解 I f x 3x2 6x 9 令 f x 0 解得 x 1 或 x 3 所以函数 f x 的单调递减区间为 1 3 II 因为 f 2 8 12 18 a 2 a f 2 8 12 18 a 22 a 所以 f 2 f 2 因为在 1 3 上 f x 0 所以 f x 在 1 2 上单调递增 又由于 f x 在 2 1 上单调递减 因此 f 2 和 f 1 分别是 f x 在区间 2 2 上的最大值和最小值 于是有 22 a 20 解得 a 2 故 f x x3 3x2 9x 2 因此 f 1 1 3 9 2 7 即函数 f x 在区间 2 2 上的最小值为 7 点评 本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系 即当导函数大于 0 时原 函数单调递增 当导函数小于 0 时原函数单调递减 以及在闭区间上的最值问题等 基础知识 同时考查了分析与解决问题的综合能力 18 10 分 2011 安徽 设 其中 a 为正实数 当 a 时 求 f x 的极值点 若 f x 为 R 上的单调函数 求 a 的取值范围 考点 利用导数研究函数的极值 利用导数研究函数的单调性 一元二次不等式的解法 专题 计算题 分析 首先对 f x 求导 将 a 代入 令 f x 0 解出后判断根的两侧导函 数的符号即可 10 因为 a 0 所以 f x 为 R 上为增函数 f x 0 在 R 上恒成立 转化 为二次函数恒成立问题 只要 0 即可 解答 解 对 f x 求导得 f x ex 当 a 时 若 f x 0 则 4x2 8x 3 0 解得 结合 可知 所以 是极小值点 是极大值点 若 f x 为 R 上的单调函数 则 f x 在 R 上不变号 结合 与条件 a 0 知 ax2 2ax 1 0 在 R 上恒成立 因此 4a2 4a 4a a 1 0 由此并结合 a 0 知 0 a 1 点评 本题考查求函数的极值问题 已知函数的单调性求参数范围问题 转化为不等式恒 成立问题求解 19 12 分 已知函数 f x x3 ax2 bx c 在 x 2 处取得极值 并且它的图象与直线 y 3x 3 在点 1 0 处相切 1 求 a b c 的值 2 若关于 x 的方程 f x m 有三个不同实根 求 m 的取值范围 考点 函数在某点取得极值的条件 根的存在性及根的个数判断 利用导数研究曲线上某 点切线方程 专题 综合题 导数的综合应用 分析 1 欲求函数的解析式 只需找到关于 a b c 的三个方程即可 因为函数 f x 在 x 2 时取得极值 所以当 x 2 时 导数等于 0 因为函数图象与直线 y 3x 3 切于点 P 1 0 所以当 x 1 时 导数等于 3 原函数值等于 0 这样就 得到关于 a b c 的三个方程 解出 a b c 即可 2 数形结合 关于 x 的方程 f x m 有三个不同实根 等价于函数 y f x 和 y m 图象有三个交点 利用导数求出 f x 的极大值 极小值 则 m 介于两者之间 解答 解 1 f x 3x2 2ax b 函数 f x 在 x 2 时取得极值 f 2 0 即 12 4a b 0 函数图象与直线 y 3x 3 切于点 P 1 0 f 1 3 f 1 0 即 3 2a b 3 1 a b c 0 11 由 解得 a 1 b 8 c 6 2 由 1 知 f x x3 x2 8x 6 f x 3x2 2x 8 3x 4 x 2 由 f x 0 得 x 2 或 x 由 f x 0 得 2 x 所以 f x 在 2 和 上递增 在 2 上递减 所以当 x 2 时 f x 取得极大值 f 2 18 当 x 时 f x 取得极小值 f 因为关于 x 的方程 f x m 有三个不同实根 所以函数 y f x 和 y m 图象有三个 交点 所以 m 18 即为 m 的取值范围 点评 本题考查函数在某点取得极值的条件及方程根的个数问题 注意函数在某点取得极 值的充要条件为该点处导数为 0 且两侧异号 方程根的个数问题往往利用数形结合 思想转化为函数的图象交点个数 20 12 分 2011 福建 已知 a b 为常数 且 a 0 函数 f x ax b axlnx f e 2 e 2 71828 是自然对数的底数 I 求实数 b 的值 II 求函数 f x 的单调区间 III 当 a 1 时 是否同时存在实数 m 和 M m M 使得对每一个 t m M 直线 y t 与曲线 y f x x e 都有公共点 若存在 求出最小的实数 m 和最大的实数 M 若不存在 说明理由 考点 利用导数研究函数的单调性