工程力学教案2

1 导课 在第一章中我们初步了解了力的基本概念和 力的基本性质 以及力的一系列的特殊状况 力的约束 解除和物体的受力图表示方法 第二章 基 本 力 系 2 1 汇 交 力 系 一 空间力的投影 1 用角 和 表示力的方向 力 Fx Fy Fz 的大小分别为 图 2 1 设 i j k 为 x y z 轴上的单位矢量 根据矢量 的正交分解特性 力 F 表示为 2 其大小 其方向用 角 角表示为 2 用方向余弦表示力的方向 设 分别表示力 F 与 Ox 轴 Oy 轴 Oz 轴 正向之间的夹角 它们统称为方位角 则力 F 在三个 直角坐标轴上的投影分别为 力 F 的大小由 2 3 式算出 力 F 的方向由 决定 cos cos cos 统称为力的方向余弦 3 图 2 2 图 2 3 3 用一线段的三个投影表示力的方向 设一已知沿 F 指向的线段 ON 在三直角坐标轴上 的投影分别为 lx ly lz 以 OA 和 ON 为对角线分别 作两个相似长方体 显然 三角形 OAC 和三角形 ONK 相似 图 2 3 对应边成比例有 得 同理有 即 4 其中 若已知线段 MN 的起点不在坐标原点 起点 M 的 坐标为 x1 y1 z1 线段终点 N 的坐标为 x2 y2 z2 MN 方向与已知力 F 一致 图 2 4 于 是 将 2 8 式代入 2 7 式中 则可求得力 F 在三个直角坐 标轴上的投影 由图知 lx0 lz 0 故由 2 7 式得 Fx 0 Fy0 二 汇交力系的合成 作用于物体上诸空间力作用线汇交于一点的力系 称为空间汇交力系 若诸空间力的作用线仅分布于同 5 一平面且作用线汇交于一点 这类力系称为平面汇交 力系 研究汇交力系合成的方法有几何法和解析法 1 几何法 设作用于刚体上的空间汇交力系为 F1 F2 Fn 且各力作用线均汇交于一点 O 图 2 7 a O 点为汇交点 按力的可传性原理 施加于 刚体上的汇交力系中各力作用点均可沿各自作用线移 至汇交点 O 凡力系中诸力具有共同作用点的力系称 为共点力系 图 2 7 b 图 2 7 按平行四边形原理 力 F2 力 F3 可合成为合力 R 再由 R 和 F1 合成为 R 依次类推 两两合成 下去 最后求得图 2 7 c 所示的共点力系的合力 R 这也 是图 2 7 a 所示汇交力系的合力 由此可见 汇交力系可 6 以合成为一作用线通过汇交点的合力 它为各分力的矢 量和 即 图 2 8 2 解析法 一般空间汇交力系可合成为一作用线通过汇交点 的合力 其合力矢量表示式为 因 合力 R 的投影分量为 7 这就是说 合力在任一轴上的投影等于各分力在同 一轴上投影的代数和 这个结论称为合力投影定理 合力 R 的大小和方向余弦为 若汇交力系为平面汇交力系 可选取力所在平面 为 O xy 平面 则 2 12 式简化为 三 汇交力系的平衡条件 力系的平衡条件是指刚体在某力系作用下保持平 衡时力系中各力应满足的条件 前已指出 任一空间 汇交力系总可以合成为一个合力 因此 空间汇交力 系平衡的充要条件是力系的合力等于零 即 8 汇交力系的平衡条件既可用几何法表示 也可用解析 法表示 1 汇交力系平衡的几何条件 空间汇交力系的合力是以力系各分力为边所构成 的力的多边形的封闭边 若该力系合力为零 则表明 力的多边形的封闭边 R 0 换言之 力的多边形中最 后一个分力的矢端与第一个分力的矢尾 O 点相重合 力的多边形自行封闭 图 2 10 这就是汇交力系平衡 的几何条件 图 2 10 2 汇交力系平衡的解析条件 由汇交力系合力公式 R 9 可知 当汇交力系平衡时其合力必然为零 即 R 0 那么 合力公式中根号内三个平方项应分别为 零 即有 它表明 汇交力系平衡的解析条件为 汇交力系 各力在三个坐标轴上的投影的代数和分别为零 方程 2 15 称为空间汇交力系的平衡方程 它建立了平衡 时各力之间的相互关系 三个方程彼此独立 故可求 解三个未知量 若汇交力系为平衡汇交力系 可选取力所在平面 为 O xy 平面 则汇交力系的平衡条件简化为 这就是说 平面汇交力系平衡的充要条件是 各力 在两个坐标轴上的投影代数和分别为零 小结 在这一节中我们学习了力的汇交系统 并且能够利用汇 交中的平衡方程来求解我们要求解的力的大小及方向 10 作业布置 习题与思考题 导课 在前一节中我们学习了汇交力系 那是力的 一种求解方法 但是在实际应用中力的求解方法一种是 解决不了全部现实问题 从而我们要继续学习力的另一 种求解方法 力矩 2 2 力矩 一 平面问题中力对点的矩 当一力作用于物体上时 可产生两种效应 一是力 的作用线通过物体的质心使物体产生平动效应 二是 力的作用线不通过物体的质心而使物体绕某一点转动 产生角加速度 同时又使物体平动 产生平动加速度 图 2 15 物体在力的作用下产生平动效应 物理学 中已作阐述 这里只研究力对物体作用而使物体产生 的转动效应 图 2 15 11 通常把 O 点称为矩心 把 h 称为力臂 把力的大小 与力臂的乘积称为力对矩心的矩 简称力矩 用它来 衡量力 F 使物体绕矩心转动的效应 力矩用符号 mO F 表示 人为约定 使物体产生逆时针转动 或转动趋势 的 力矩为正 图 2 17 a 使物体产生顺时针转动 或转动 趋势 的力矩为负 图 2 17 b 在平面问题中力对点的 矩可表示为 图 2 17 12 图 2 16 二 力对点的矩矢 1 力对点的矩矢 在涉及空间力使物体绕某点产生转动效应时 必须 考虑下述三个因素 1 转动效应的强度 它与力的大小和力臂的乘积成正 比 2 转动轴线的方位 即力 F 的作用线与矩心 O 点所 决定的平面的法线方位 3 转向 即使物体绕轴线转动的方向 以上三个决定力使物体绕某点转动效应的因素 在 数学上可用一特殊矢量来表示 这个矢量的模等于力的 13 大小 F 和力臂 h 的乘积 该矢量的方位 即转动轴线在空 间的方位 其指向由右手螺旋法则确定 图 2 19 这个 矢量称为力对点的矩矢 用符号 mO F 表示 由图可知 它是一个通过矩心 O 的定位矢量 是力对物体产生转动 效应的度 量 图 2 19 图 2 20 2 力对点之矩矢的矢积表达式 r 和 F 的矢积的模为 3 力对点之矩矢的解析表达式 设选定直角坐标系 O xyz i j k 分别为三对应轴的 单位矢量 F 和 r 分别可写为 14 代入 2 18 式得 这就是力对点之矩矢的解析表达式 很显然有 三 合力矩定理 设一力系 F1 F2 Fn 可合成为一合力 R 则 合力对物体作用时产生的效应与各分力对物体同时作 用时所发生的效应完全相同 于是 合力 R 对点的矩 矢可写为 这就是合力矩定理 其物理意义是合力对任一点 之矩矢 等于各分力对同一点之矩矢的矢量和 若力系为平面力系 各力对平面上任一点的矩为 代数量 故合力矩定理在平面问题中表述为 15 它表明 平面力系的合力对平面上任一点的矩 等 于各分力对同一点的矩的代数和 小结 在这一节中让学生理解力矩的概念和力矩的表 示方法以及力矩在求解时的平衡方程 作业布置 习题与思考题 导课 在学习了力系和力矩之后我们已经了解 了力在实际中的两种表示方法 现在我们在力矩的 基础上我们继续进一步了解力偶系的表示方法和计 算状况 2 3 力 偶 系 一 力偶的概念 1 力偶的概念 把一对等值反向 作用线平行而不重合的力称为力偶 记作 F F 两力作用线间的距离 d 称为力偶臂 力 偶所在平面称为力偶作用面 图 2 24 16 图 2 23 图 2 24 图 2 25 2 力偶矩 设一力偶 F F 其力偶臂为 d 图 2 25 力偶对 力偶作用面上任一点 O 的矩 应为平行力 F F 对 点 O 的矩的代数和 即 由此可知 两个力矩相加的结果与两力矩的矩心 位置无关 即力偶中两力对力偶作用面上任一点之矩 的代数和为一常量 它等于力偶中任一力 F 的大小 F 17 和力偶臂 d 的乘积 此乘积称为力偶矩 记作 m F F 简记为 m 于是 式中正负号反映力偶的转向 逆时针转向取正 顺时 针转向取负 力偶矩的量纲与力矩相同 其单位也相同 二 力偶的基本性质 1 力偶不能与一个力等效 即力偶无合力 也不能与 一个力平衡 2 在同一平面内的两个力偶 若其力偶矩相等 则这 两力偶彼此等效 图 2 26 18 力偶这一基本特性给出了在同一平面内力偶等效 的条件 故这一性质称为力偶的等效性或称为力偶的 等效定理 由它可得如下推论 推论一 任一力偶可以在它的作用面内任意转移 而不改变力偶对刚体的作用 力偶对刚体的作用与力 偶在其作用面内的位置无关 推论二 只要保持力偶矩的大小和转向不变 可 同时改变力偶中的力的大小及力偶臂的长短 而不改 变力偶对刚体的作用 三 平面力偶系的合成和平衡条件 1 平面力偶系的合成 作用于物体上的若干力偶若同在一平面内 则称为 平面力偶系 设有三力偶 F1 F1 F2 F2 F3 F3 作 用于同一平面内 它们的力偶臂分别为 d1 d2 d3 图 2 28 a 根据力偶的等效性 可以把 这三个力偶化成为具有相同力偶臂的三个力偶 于是 19 图 2 28 由图 2 28 b 可知 因 P1 P2 P3 三力的作用线重合 均通过 A 点与 AB 垂直 该三力可合成为一个合力 R 其大小等于三力 大小的代数和 即 在 B 点共线的三力的合力 R 的大小为 可见 合力 R 和 R 构成一等值 反向 平行且不共 线的合力偶 R R 如图 2 28 c 所示 其合力偶矩为 20 显而易见 上述结论可推广至由 n 个力偶构成的平面 力偶系 其合成后的合力偶矩为 这就是说 平面力偶系合成的结果仍为一力偶 其合 力偶矩等于各分力偶矩的代数和 这个结果称之为平面 力偶系的合成定理 2 平面力偶系的平衡条件 力偶系的平衡是指合力偶的力偶矩等于零 由 2 23 式推知 平面力偶系的平衡的充要条件是所有各分力偶 矩的代数和为零 即 上式称为平面力偶系的平衡方程 解决基本力系平衡问题的途径 1 选定研究对象 2 绘制受力图 3 应用平衡条件 小结 在这一章中我们学习了力的一系列的表示方法和 计算平衡方程 以及力矩和力偶的表示方法及平衡方程 从 21 而我们要进步掌握力的实际应用中的求解 作业布置 习题与思考题 导课 在上一章中我们已经学习了力系 力矩 以及和 力偶 知道了力系 力矩以及力偶的表达方式和计算方程 今天我们就进一步把这些已经学习的概念应用在一定的 范围之中 第三章 平面一般力系 凡力系中诸力作用线在同一平面内且任意分布的力系 称为平面一般力系 简称平面力系 3 1 平面任意力系的简化 一 力的平移定理 力的平移定理 施加于刚体上点 A 的力 F 可以平移 到任一点 B 但必须同时附加一个力偶 附加力偶的矩 等于原力对新作用点 B 的矩 22 图 3 1 可以把作用于刚体上 A 点的力 F 平移到另一任意点 B 上 但必须同时附加一相应的力偶 图 3 1 c 这个力 偶称为附加力偶 由于 Fd 也等于力 F 对 B 点的矩 mB F Fd 于是得 二 平面一般力系向一点的简化 一 平面一般力系向一点的简化 在力系的作用平面内 被任选的一点 O 称为简化 中心 将力系中诸力平移至简化中心 同时附加一个力 偶系的过程 称为力系向给定点的简化 图 3 2 23 经简化后的平面共点力系合成为一个合力 R 该 合力作用点在简化中心上 把简化后的附加力偶系 m1 m2 mn 合成得一力偶 MO 图 3 2 c 自然 依据力的平移定理 可将力 R 和 MO 合成为一个力 R 图 3 2 d 这个力 R 就是原力系 F1 F2 Fn 的 合力 1 R 和主矢 从图 3 2 可知 R 是图示共点力系的合力 R 的 大小和方向可由平面共点力系合成的几何法或解析 法获得 运用几何法 由于简化后的共点力系中诸力与原 力系中诸力等值同向 即 故可直接用原力系中诸力作出力的多边 形 力的多边形之封闭边称为原力的主矢 即 这表明平面共点力系的合力 R 等于原力系 F1 F2 Fn 中诸分力的矢量和 亦即原力系的 主矢 而合力 R 的作用线则通过简化中心 运用解析法 在力系所在平面上取坐标系 O 24 xy 图 3 3 a 应用合力投影定理 则由 3 2 式得 故主矢 R 的模为 主矢 R 的方向从图 3 3 b 中可知 图 3 3 2 对点 O 的主矩 从图 3 3 b 中可知 MO 应是该平面一般力偶系 m1 m2 mn 的合力偶矩 由平面力偶系的合成 定理可知 25 按力的平移定理 力向一点简化后所产生的附加力 偶的矩 等于力对简化中心的矩 故合力偶矩可表示 为 平面一般力系向作用面内任意一点的简化 一般可得 一力和一力偶 该力的作用线通过简化中心 其力矢量 R 称为原力系的主矢 它等于原力系诸力之矢量和 该 力偶作用于原作用平面上 其力偶矩称为原力系对简化 中心的主矩 它等于原力系中诸力对简化中心之矩的代 数和 3 固定端 或插入端 约束的分析 图 3 4 a 和 b 所示车刀和工件分别夹持在刀架和卡盘 上 是固定不动的 这类约束称为固定端约束或插入端 约束 其简图如图 3 4 c 所示 图 3 4 26 固定端约束对物体的作用 是在接触面上作用有一群 约束反力 在平面问题中 这些反力构成一平面一般力 系 图 3 5 a 若将这群力向作用面内 A 点简化 则得一 力和一力偶 一般情况下 简化后所得之力的大小和方 向均为未知量 但该力可用两分力 Nx Ny 来代替 因 此 平面一般力系在固定端 A 处的约束反作用可简化为 两约束反力 Nx Ny 和一个力偶矩为 mA 的约束反力偶 图 3 5 c 图 3 5 二 平面一般力系向一点简化结果分析 1 平面一般力系向一点的简化结果 平面一般力系向简化中心简化 其结果可能出现四种 情况 1 R 0 MO 0 主矢和主矩均等于零 它表明简化后的平面汇交力系 和平面力偶系均为平衡力系 因而平面一般力系必也是 27 平衡力系 2 R 0 MO 0 主矢等于零而主矩不等于零 它表明原力系与一平 面力偶系等效 此时 作用于简化中心 O 点的力 相 互平衡 从而相互抵消 但附加力偶系并不平衡 它可 合成为一力偶 即原力系的合力偶 其合力偶矩等于原 力系对简化中心点 O 的矩 即 按力偶的性质 力偶对于作用平面上任一点的矩都相 同 因此当力系合成为一个力偶时 主矩与简化中心无 关 但在一般情况下 力系简化后的主矩与简化中心有 关 3 R 0 MO 0 主矢不等于零而主矩等于零 它表明原力系与一个作 用线通过简化中心的合力等效 该合力的大小和方向由 主矢 R 确定 4 R 0 MO 0 主矢 主矩都不为零 它表明力系向 O 点简化后得到 一力和一力偶 按力的平移定理 这一力和一力偶还可 28 合成为一个合力 2 平面一般力系简化为一个合力的情况 设将力偶矩为 MO 的力偶 图 3 6 a 用两个力 R 和 R 来表示 并令 R R R 图 3 6 b R 和 R 构成一平衡力系 于是有等效关系如下 这就是说 可将作用于 O 点的力 R 和力偶 R R 合成为一个作用于 O 点的力 R 图 3 6 c 显然 力 R 就是原力系 F1 F2 Fn 的矢量和 力 R 的作用线 距简化中心 O 点的位置 即力的作用线离 O 点的距离 d 由下式确定 图 3 6 至于力 R 作用点在原简化中心 O 点的哪侧 则取 决于主矢 R 的方向和主矩 MO 的转向 若力偶转向为 逆时针 MO 0 时 则力 R 的作用点位于从 O 点沿主矢 29 R 箭头方向的右侧 反之 则 R 的作用点位于从 O 点 沿主矢 R 箭头方向的左侧 小结 在这一节中让学生了解力系在平面中简化方法 进一步认识力系在平面中的表示方法 从而更深刻的理 解力系的概念 作业布置 习题与思考题 导课 在上一节中学习了力系的简化原理 在简化之 后我们就要进一步学习计算所要的力 那么今天我们就 学习力系的一般平衡方程 3 2 平面一般力系的平衡方程及其应用 一 平面一般力系的平衡方程 二 平面平行力系的平衡方程 平面平行力系是平面一般力系的特例 力系中诸力彼 此平行 如图 3 10 所示 设若一物体受一平面平行力系 30 的作用 选 O xy 系中 y 轴与各力平行 则不论力系是 否平衡 各力在 x 轴上的投影恒等于零 即 X 0 于 是平面平行力系的平衡方程是 使用 3 13 式时 必须使 A B 两点的连线不与各力 平行 三 平面一般力系平衡方程的应用 例 3 4 图 3 11 所示为悬臂式起重机 梁 AB 的 A 端 以铰链固定 B 端用拉杆 BC 拉住 梁自重 P 4 kN 载 荷重 Q 10 kN 梁的尺寸如图示 试求拉杆 BC 所受的 拉力和铰链 A 处的约束反力 解 选取梁 AB 和载荷体一起为研究对象 除作用于 梁 AB 上的已知力 P Q 外 还受拉杆拉力 T 和铰链 A 处的约束反力 N 的作用 因拉杆 BC 为二力杆 拉力 T 必沿 BC 连线 又因 N 方向未知 但总可作正交分解 得 Nx Ny 力 N T P Q 可近似地认为分布于同一 31 平面内 故由它们构成的力系可视为平面一般力系 图 3 10 图 3 11 因梁处于平衡 该力系必满足平面一般力系的平衡方 程 由 3 9 式得 由 3 式得 4 式代入 1 得 4 式代入 2 得 32 四 物体系的平衡 前面已研究过各种平面力系的平衡问题 但都 是针对单个刚体而言的 而在工程实际中 诸如组 合构架 三铰拱等都是由若干物体构成的平衡体系 这些由许多物体构成的系统称为物体系 研究物体 系平衡问题较之研究单个物体要复杂得多 它不仅 要求出物体系所受的所有未知外力 而且在绝大多 数情况下还要求出物体系内部各物体之间的相互作 用内力 为此 研究时则要求把某些物体单独隔离 开来 即使问题不要求求出内力 对于某些物体系 的平衡问题 有时也需要将物体分开处理 方能求 出作用于物体系上的未知外力 对于一处于平衡的物体系 允许将一些物体单独隔 离来处理的依据是 当物体系处于平衡时 组成物 体系的每一物体或物体系中若干物体构成的局部均 处于平衡状态 五 超静定问题的概念 当物体系处于平衡时 组成物体系的每一个物体 33 均处于平衡状态 对每一物体 如在平面一般力系作 用下平衡 最多只能写出 3 个独立的平衡方程 如物 体系由 n 个物体组成 也最多只能写出 3n 个独立平 衡方程 对每一种力系强调它的独立平衡方程数 在 解题时十分重要 当未知待求量数少于或等于独立平 衡方程数时 只需运用刚体静力学的平衡条件 就可 解出全部的未知待求量 这样的问题称为静定问题 反之 如未知待求量的数目多于作用力系可能有的独 立平衡方程数 则仅用刚体静力学的平衡条件就不可 能求出全部待求未知量 对这一类的问题统称为静不 定问题或超静定问题 小结 在这一节中我们学习了力系的平衡方程应 用 以及物系平衡和系统的静定与超静定问题 让学 生理解物系的求解重点 解决遇到的难题 作业布置 习题与思考题 34 导课 在上一节中我们已经学习了平衡力系 物系 平衡 静定与超静定 并且理解了物系的应用状况 下面我们学习解决平面一般力系作用下单个刚体或物 体系的平衡问题的途径 3 3 解决平面一般力系作用下单个刚体或物体系的 平衡问题的途径 对平面一般力系作用下处于平衡的单个刚体或由 若干刚体构成的物体系 能否用静力学平衡方程求解 则取决于单个刚体或物体系是否静定 对单个刚体而 言 若未知量数少于或等于独立平衡方程数 单个刚 体是静定的 对于物体系而言 是否静定则取决于物 体系中刚体的数目与约束的情况 求解平衡问题时 一般应判别问题是否静定 因在刚体静力学中只处理 静定问题 静不定或超静定问题属于材料力学讨论的 范畴 物体系的平衡问题是静力学理论的综合应用 它 的求解是以单个刚体平衡问题求解为基础的 在 3 3 节中讨论平面一般力系平衡方程应用时 实际上是针 35 对单个刚体的平衡问题的 求解单个刚体平衡问题的 步骤为 1 正确选择研究对象 2 解除约束作受力分 析 绘制受力图 3 根据力系的类别选用平衡方程 鉴于求解物体系的平衡问题是以单个刚体平衡问题为 基础 故求解物体系平衡问题 只需注意物体系平衡 问题的特点 仍采用求解单个刚体的平衡问题的基本 步骤 物体系平衡问题的特点就是从物体系中选取若 干研究对象 研究对象的选择视问题性质而定 要选 择适当 要合理排列出所取研究对象的顺序 以利于 求解简捷 小结 在这一节中让学生学会解决平面一般力系作用 下单个刚体或物体系的平衡问题的途径 作业布置 习题与思考题 导课 在上面我们已经学习了力的各种方式的计 算状况 我们没有考虑摩擦之后的状况 现在我们进 一步加上摩擦之后来看看物系的状况 3 4 有摩擦的平衡问题 一 滑动摩擦 36 任何物体的表面都不会是完全光滑的 其表面凹凸不 平 加之接触面材料分子的凝聚作用 当两物体沿接触 面有相对滑动趋势或相对滑动时 两物体在接触面处将 会出现一定的阻力 以阻碍其滑动 这种现象称为滑动 摩擦现象 而阻碍该两物体间相对滑动的阻力称为滑动 摩擦阻力 简称摩擦力 摩擦按其接触表面的性质可分为干摩擦和湿摩擦 干摩擦系固体与固体表面之间出现的摩擦现象 湿摩擦 系流体与流体或流体与固体之间出现的摩擦现象 摩擦 按其接触物体间的运动方式可分为滑动摩擦和滚动摩擦 一 静滑动摩擦力 当物体接触表面间有相对滑动趋势但仍保持相对静止 时 沿接触点公切面产生的切向阻力 物为静滑动摩擦 力 简称静摩擦力 记作 F 它是反映最大静摩擦力规律的静滑动摩擦定律 又称库 仑摩擦定律 其物理意义为 静摩擦力的最大值与两物 体接触点处公切面的法向反力 或物体间的正压力 的大小 37 成正比 式中 f 为静摩擦系数 它决定于接触物质和表 面的性质 表面的硬度 表面加工的粗细程度 湿度 温 度以及污染的程度 二 动滑动摩擦力 两物体的接触表面已有相对滑动时 沿接触表面产 生的切向阻力 称为动滑动摩擦力 简称动摩擦力 实践和实验结果表明动摩擦现象的基本规律是动摩擦力 的方向沿接触面的切向 与相对滑动的方向相反 其大 小与接触面的法向压力值成正比 即 式中 f 为一无量纲的正数 称为动摩擦系数 38 三 摩擦角和自锁现象 1 摩擦角 摩擦角是讨论有关摩擦问题的一个重要概念 在涉 及摩擦的问题中 支承面给物体的约束反力是法向反力 N 和切向反力即摩擦力 F 的合力 R 图 5 1 a 即 R N F 则 R 被称为接触面给物体的约束全反力 约束全反力的 方向与接触面法线之间的夹角为 则 当物体处于静止的临界状态时 摩擦力 F 达到最大值 39 Fmax 此时 接触面给物体的约束全反力 R 为 R N Fmax R 与 N 之间的夹角 达到最大值 m 称 m 为 摩擦角 图 5 1 b 因 Fmax fN 由 5 3 式可知 即摩擦角的正切等于静摩擦系数 m 系约束全反力 R 偏离接触面公法线的最大角度 m 给定 摩擦系 数也就给定 2 自锁现象 当作用于物体上的所有主动力的合力 Q 作用线在摩 40 擦 m 之内时 无论合力 Q 多大 物体必保持其静止 平衡状态 图 5 3 a 这类现象称之为自锁现象 由于发 生自锁现象时 角只能小于或等于m 角 因此 这个条件 称之为自锁条件 四 考虑摩擦时的平衡问题 求解考虑摩擦时物体的平衡问题与求解不计摩擦时 物体的平衡问题 其基本方法相同 不同之处是分析物 体受力状态时 必须考虑摩擦力 静摩擦力 F 在求解中 往往都是待求量 它始终满足关系式 F fN 当 F Fmax 时 物体处于静止而又濒临运动的临界状态 当 F Fmax 时 表明主动力在一定范围内变动 物体仍 保持静止状态 这种变动范围称为平衡范围 可见 有摩擦的平衡问题不外乎是求解非临界状态的静 平衡问题 静平衡处于临界状态的平衡问题和平衡范围 问题 41 小结 在这一章中我们要学习 1 力系简化的主要依据是力的平移定理 2 平面力系向一点简化的结果 3 平面任意力系的平衡方程的三种形式 4 平面特殊力系的平衡方程 5 求解物系平衡问题的注意点 6 求解考虑摩擦时的平衡问题 可将滑动摩擦力 作为未知约束力对待 作业布置 习题与思考题 导课 在上面一章中我们已经学习了平面力系的 一切平衡方程 下面我们进一步深入学习力系在空间 的应用状况 进一步学习空间状况的力系解决问题 第四章 空间一般力系 重心 在空间任意分布的力所构成的力系称为空间一般力系 简称空间力系 4 1 力矩关系定理 一 空间力对轴的矩 42 1 空间力对轴的矩的定义 空间力对轴的矩是力使刚体绕该轴转动效果的度量 为一个代数量 其绝对值等于力在垂直于该转轴的平 面上的投影 Fxy 对于这平面与该轴的交点之矩 2 空间力对轴之矩的解析式 设若考虑力对 z 轴的矩 则有 二 力矩关系定理 空间力 F 对点之矩矢在直角坐标系 O xyz 三坐标轴上 投影的解析式 43 将上面所讨论的力对轴之矩的解析式 4 2 4 3 和 4 4 三式与 4 5 式比较得 即 力对点之矩在通过该点的坐标轴上的投影 等于 力对该轴之矩 这就是力对点之矩与力对通过该点的 轴之矩的关系 这个关系称为力矩关系定理 若力对通过点 O 的直角坐标轴 x y z 之矩为已知时 则可求出该力对点 O 之矩的大小和方向 即 式中 分别为对点之矩矢 mO F 与 x 轴 y 轴 z 轴之间的夹角 应明确 由于坐标原点和坐标轴的选择是任意的 因 此 力矩关系定理可另表述为 力对已知点 A 之矩矢 在通过此点之任意轴 AB 上的投影等于力对该轴的矩 设 uAB 表示沿 AB 轴向的单位矢量 按上述表述 则 44 可表示为下述数学表达式 即 式中 mA F uAB 表示矢量 mA F 在 AB 轴上的投影 4 2 空间一般力系的平衡方程及其应用 一 空间一般力系的简化 若对空间汇交力系和空间附加力偶系的力偶矩分 别运用力的多边形法和合力偶矩定理求和 可得一单 力 R 和一力偶矩 MO 其矢量表达式为 图 4 5 力 R 称为原力系的主矢 MO 称为原力系对 O 点的主 矩 O 点称为力系的简化中心 R 和 MO 在实际计算中 多采用解析式 设过简化中 心 O 作一直角坐标系 它们在三个直角坐标轴上的投影 分别为 45 将 4 14 式与力矩关系定理 4 6 4 7 4 8 比较 则有关系式 二 空间一般力系的平衡方程 由 4 11 和 4 12 式可知 空间一般力系向简化中心 O 点 简化后 其主矢 主矩均为零 这表明该空间一般力系 处于平衡 故 为空间一般力系平衡的充要条件 空间一般力系的平衡条件的解析式为 46 方程组 4 17 和 4 18 称之为空间一般力系的平衡方程 其物理意义为空间一般力系平衡的充要条件是力系中诸 力在直角坐标系各轴上的投影之和为零 对各轴之矩的 代数和也为零 对于平面一般力系 若力系作用平面为 O xy 平面 显然 力在 Oz 轴上的投影都为零 力系中诸力对 Ox 轴 Oy 轴之矩也都为零 无论平面力系平衡与否 均有方程 Z 0 mx F 0 以及 my F 0 于是由 4 17 4 18 两式可知 对于平面一般力系的有效平衡方程为 对于平面平行力系 若令 O xyz 系中 Oz 轴平 行于该力系的诸力 则该力系中诸力对 Ox 轴和 Oy 轴上 47 的投影以及诸力对 Oz 轴之矩均为零 则无论力系平衡与 否 都有 X 0 Y 0 以及 mz F 0 于是 由方 程 4 17 4 18 可知 对于空间平行力系的有效平衡方 程为 三 空间一般力系平衡方程的应用举例 例 4 3 一起重机正在起吊一质量为 2 t 的重物 图 4 6 a A 处为球形铰链 求当重物在图示位置时 A 处约束反力 及缆风绳 BD BE 中的拉力 不计桅杆 AB 吊杆 AC 以 及钢丝绳的自重 尺寸如图所示 单位为 m 解 选择起重机 ABC 机架为研究对象 解除约束 作受 力分析 其受力图如图 4 6 b 球形铰链 A 的约束反力 48 的方向不定 但可用 NAx NAy NAz 三个分力表示 其指向如图所示 当重物处于平衡时 钢丝绳所受之张 力 T 的大小为 T 2 9 81 kN 19 62 kN 现选坐标轴如图所示 此时 z 轴将与 5 个未知力相 交 而 x 轴 y 轴则各与 3 个未知力相交 从图可知 BAC 60 且缆风绳长为 按力的可传性 可将拉力 T1 T2 沿其作用线 分别移至 D 点和 E 点 列平衡方程有 先由 4 式 5 式解 T1 8 06 kN T2 23 2 kN 49 将它们分别代入 1 式 2 式 3 式 则得 4 3 重 心 寻求物体的重心 实质上是寻找平行力系的合力作用点 的问题 一 平行力系中心 图 4 9 凡具有合力的平行力系中各力 当绕其作用点均按相同 方向任意转过相同角度时 合力作用线始终通过某一确 定点 这个确定点就称为该平行力系的中心 简称平行 力系中心 二 重心的位置坐标公式 50 图 4 10 设物体的重心在 C 点 其坐标为 xC yC zC 根据合 力矩定理 mO R mO F 其矢量投影式有 重心 C 的位置坐标公式为 设若将物体无限细分 即小微体的数目 n 而微体 体积 Vi 0 则按微积分理论 对 4 25 取极限 则可 精确确定物体重心 C 的位置坐标 有 51 三 匀质物体的重心 1 体积的形心 设若物体为匀质物体 则被分割的各微体所受重力为 pi Vi 代入 4 26 式中去 得 得匀质物体的体积形心的位置坐标公式为 2 薄壳的形心 对匀质等厚的薄壳 设其被分割之微体体积为 Vi 微 体表面积为 Si 薄壳厚度为 d 则 Vi Si d 代 52 入 4 27 式有 3 线段的形心 若物体为匀质等截面细线条 则其被分割成的微体体积 可写为 Vi Si li Si 为等截面面积 li 为微体 线度 代入 4 27 式 则得匀质等截面细线条之形心 重 心 的位置坐标公式 四 求物体形心的几种方法 1 对称法 工程实际中 许多零部件常常是均质的 其形状常呈现 出一定的对称性 53 1 若形体具有对称中心 该中心即为形心 2 若形体具有对称轴线 其形心必在此对称轴上 3 若形体具有对称平面 其形心必在此对称平面上 4 若形体具有两根对称轴 其形心必在这两轴的交点上 5 若形体具有两个对称平面 其形心必在这两对称平面 的交线上 2 积分法 当物体被分割成的微小体积 或面积 或弧长 与坐标的 函数关系式易于写出时 可按上节所述基本公式化为一 重积分或多重积分的形式求解 3 组合法 工程上常会遇到复合形体的问题 即一个形体由若干部 分形体组成 对于这类较为复杂形状的形体 常将其分 割成若干简单形状的形体 若已知这些简单形体的形心 位置 则可运用求形体形心的基本公式 4 26 式 求出整 个形体的形心位置 通常将这种方法称之为组合法或分 割法 4 实验法 工程实际中有许多外形复杂的不规则形体或非匀质形体 54 用上述各种计算方法确定形体的重心位置是非常麻烦的 在这种情况下 往往采用实验方法来确定这类形心的重 心位置 1 悬挂法 2 称重法 小结 通过这一章的学习 要学生知道力在空间直角坐 标轴上的投影运算方法 力使物体绕一轴的转动效应的 度量称为该轴之矩 空间力系平衡方程 物体重心及形 心的计算 作业布置 习题与思考题 第二篇 材 料 力 学 一 材料力学的任务 材料力学是研究构件强度 刚度和稳定性计算的学科 工程中各种机械和结构 都是由许多构件和零件组成 的 为了保证机械和机构能安全正常地工作 必须要 求全部构件和零件在承受外力作用时具有一定的承载 能力 即 55 1 构件应具有足够的强度 2 构件应具有足够的刚度 3 构件应具有足够的稳定性 二 材料力学的基本假设 1 均匀连续假设 2 各向同性假设 3 小变形假设 三 杆件变形的基本形式 图 2 四种基本变形是 轴向拉伸 或压缩 剪切 扭转和弯曲 56 图 3 导课 各种工程结构和机构都是由若干构件组成 当构 件工作时 都要承受载荷作用 为确保构件能正常工作 构件必须满足一系列的条件 今天开始我们就要学习新 的一篇材料力学 让我们进一步了解构件的内部受力状 况 那么首先我们开始学习材料的拉伸和压缩 第五章 拉伸与压缩 5 1 轴向拉伸或压缩时的内力和应力 一 内力 材料力学研究的对象是构件 对于研究的构件来说 其 他构件和物体作用其上的力均为外力 作用于构件上的 57 外力 企图改变构件的形状和大小 使其一部分脱离其 他部分 在构件内部则产生附加内力以抵抗外力 阻止 构件发生变形和破坏 这种在外力作用下产生的构件相 连两部分的互作用力 在材料力学中称为内力 二 截面法 用任一截面假想地把杆截成两部分 以显示并确定内 力的方法称为截面法 假想用截面 m m 将杆截为 两部分 保留一段 例如左段 用内力 N 代替弃去部分对留下部分的作用 如图 6 5 由静力学平衡方程 X 0 可求出内力 N P 0 所以 N P N 是截面上连续分布的内力系的合力 作用线与杆轴重 合 称为轴力 58 图 6 5 同理 如取右段为研究对象 则由静力学平衡方程 X 0 可求出内力 P N 0 所以 N P N 和 N 分别作用于杆件的左面 部 和右面 部 符 合牛顿第三定律 当 N 背离截面时杆件受拉 称为轴向 拉力 当 N 指向截面时杆件受压 称为轴向压力 通常 规定拉力为正值 压力为负值 截面法的步骤可概括为 1 截 欲求其一截面的轴力 就假想地用该截面把杆截 成两部分 取其中的一部分为研究对象 移去另一部分 59 2 代 用轴力代替移去部分对保留部分的作用 3 平 建立平衡方程 由已知外力确定未知轴力 轴力 的数值等于截面一边的外边的代数和 三 应力的概念 所谓应力即内力在截面上的密集程度 简称内力集度 图 6 8 由于内力垂直于横截面 故应力 也垂直于横截面 这 样的应力称为正应力 正应力的符号规则是 拉应力为 正值 压应力为负值 四 横截面上的应力 五 变形前的横截面 变形后仍保持为垂直于杆轴的平 面 称此假设为平面假设 60 图 6 9 设想直杆由无数纵向纤维所组成 由平面假设可推断 任意两横截面间纵向纤维伸长量 或缩短量 是相等的 即 应力是均匀分布的 因此 五 斜截面上的应力 图 6 11 所示等直杆 受轴向拉力 P 作用 横截面积为 A 则横截面上的正应力为 61 图 6 11 设与横截面成 角的斜截面 k k 的面积为 A A cos 假想沿 k k 将杆截开 取出杆的左段来 研究 则斜截面上的内力 N P 于是斜截面上的应力 为 将 P 分解为法向 n 和切向 的两个分量 与 与所在截面垂直 即正应力 与截面相 切称为剪应力 由图 6 11 c 可得 62 剪应力的方向与截面外法线 n 按顺时针方向转 90 所示 的方向一致时为正 相反时为负 如图 6 12 所示 图 6 12 当 0 达到最大值 即横截面上正应力最大 当 45 达到最大值 即最大剪应力发生在与杆轴成 45 的斜截面内 当 90 即在平行于力 P 的纵向截面内 由此可知材料的纵向纤维无挤压现象 小结 在这一节中我们已经学习了材料的拉伸和压缩状 况 知道材料的拉伸和压缩的具体状况以及知道了材料 的拉伸和压缩的受力状况 进一步知道了材料的内应力 的分析 63 作业布置 习题与思考题 导课 在上一节中我们学习了材料的拉伸和压缩 我 们已经知道了材料受拉和受压的应力分析 下面我们继 续学习拉压的定理和具体应用 5 2 拉压变形和虎克定律 一 绝对变形和相对变形 图 6 14 以单位长度的变形来度量变形的程度 称为相对变形或 线应变 纵向应变以 表示 横向应变以 表示 则 应变是无量纲量 可用百分比表示 实验表明 当拉压 杆内应力不超过材料比例极限时 横向应变 与纵向 应变 之比为一常数 其绝对值称为泊松比 用 表 64 示 即 二 虎克定律 实验表明 当应力未超过一定限度 应力与应变之比为 一常数 表达式为 式中 E 为比例常数 称为拉压弹性模量 是表示材料抵 抗拉压变形能力的一个系数 材料的 E 值愈大 变形就 愈不容易 将 代入 6 5 式 可得虎克定律的另一种 表达形式 即如轴力不超过某一极限值 变形 l 与轴力 N 及杆 65 长 l 成正比 与弹性模量 E 和面积 A 成反比 EA 愈大 变形愈小 故称 EA 为杆件的拉压刚度 小结 通过这一节让学生知道轴的拉伸与压缩给轴带 来的应力是怎么样的 并且让学生了解轴的变化具体情 况 以及轴的伸长与压缩量的大小计算 作业布置 习题与思考题 导课 在上节中我们已经知道了轴的拉伸与压缩的 应力计算和伸长与压缩量的计算 接下来我们要学习材 料的拉伸与压缩的机械性质 5 3 材料在拉伸和压缩时的机械性质 一 低碳钢的拉伸试验 常温静载拉伸试验 是研究金属材料机械性质最常用最 基本的试验 为了使试验结果进行比较 应按国家标准 将材料做成一定形状的试件 试件可制成圆形或矩形截 66 面 圆形截面试件如图 6 16 所示 试件中段用于测量拉 伸变形 此段长度 l0 称为标距 通常规定圆截面试件 l0 5d0 或 l0 10d0 图 6 16 将试件尺寸仔细测量后装夹在试验机的夹头上 然后 加力 拉力从零开始逐渐增加 直到试件被拉断 加力 过程中 标距 l0 将伸长 记下对应的拉力 P 和伸长量 l 绘成 P l 曲线 称为拉伸图 图 6 17 a 拉伸图 反映了试件在拉伸的全过程中 拉力 与绝对伸长的关系 但此图受直径 长度的影响 显 然 不同粗细和长短的试件 所得的拉伸图是不同的 为了消除试件尺寸的影响 以试件的原始截面 A 去除拉 力 P 得到应力 以试件标距 l0 去除伸长量 l 得 到线应变 以 为纵坐标 以 为横坐标 画出的 曲线称为应力 应变图或 图 表示材料的应力与 应变间的关系 如图 6 17 b 的曲线就是低碳钢在拉伸试 67 验时的应力 应变图 图 6 17 一 低碳钢拉伸图的分析 1 弹性阶段 曲线在 OA 一段是一条直线 这是此阶段的主要 特点 即 与 成正比 由图可见 与 A 点对应的应力 p 称为比例极限 即 p 是材料应 力与应变成正比的最大应力 A3 钢的比例极限 p 200 MPa 杆件受拉压时 如应力不超过比例极限 p 则应力与 应变成正比 此即虎克定律 E 当应力超过比例极限时 虽然应力与应变不再保持正比 关系 AB 是微弯曲线 但卸除载荷 变形仍能完全消失 68 B 点对应的应力 e 称为弹性极限 是材料只出现弹性 变形 的应力极限值 e 与 p 很接近 工程上通常不作严格 区分 2 屈服阶段 曲线过 B 点后 变形增加很快而应力增加并不显著 从 B 到 C 逐渐变弯 到 C 点时曲线上出现近乎水平的线段 CC 表明应力变化不大而变形显著增加 材料暂时失 去了抵抗变形的能力 与 C 点对应的应力 s 称为屈服 极限 A3 钢的屈服极限 s 240 MPa 材料屈服时 在 光滑表面上将出现许多与轴线约成 45 倾角的条纹 如 图 6 18 所 示 这是由于试件内部的晶格滑移而形成的 称为滑 移线 在屈服阶段卸载后 试件的变形大部分不能恢复 即为 塑性变形 它将导致构件不能正常工作 因此屈服极限 s 是低碳钢的重要强度指标 3 强化阶段 过屈服阶段以后 材料又恢复了抵抗变形的能力 要使 69 试件继续变形就得继续加力 此种现象称为材料的强化 将此阶段与弹性阶段相比 载荷增加缓慢 变形增加较 快 变形的绝大部分属于塑性变形 曲线最高点 D 所对 应的应力称为强度极限 以 b 表示 它是材料所能承 受的最大应 图 6 18 图 6 19 力 所以也是衡量材料强度的一个重要指标 A3 钢的强 度极限 b 400 MPa 4 颈缩阶段 过 D 点后 变形基本上集中于试件的某一薄弱的地方 横向尺寸急剧缩小 出现 颈缩 现象 如图 6 19 所示 使试件继续变形所 需的名义应力 按原横截面计算的应力 减小了 曲线下降 但颈缩截面上的实际应力却是一直在增加的 颈缩 开 始后 应变集中在劲缩部位产生 颈缩部分的横截面急 剧减小 试件最后被拉断 70 二 延伸率 与截面收缩率 三 冷作硬化 材料的比例极限和屈服极限都比没有经过 加载 卸载处理的材料有所提高 这种现象称为冷作硬 化 二 铸铁拉伸时的机械性能 图 6 20 是铸铁拉伸与压缩时的 图 从图上可以 看出 铸铁拉伸时 1 图上没有明显的直线部分 这表明应力和应变 的关系不符合虎克定律 但在较小的应力范围内可近似 地认为变形是服从虎克定律的 71 图 6 20 2 既无明显的屈服阶段 也无颈缩现象 当变形很小 仅为 0 4 0 5 时就达到强度极限 bl 试件突然沿 横截面断裂 由于 值很小 所以铸铁是脆性材料 三 其他塑性材料拉伸时的机械性能 工程上常用的塑性材料 除低碳钢外 还有青铜 硬铝 中碳钢 某些合金钢 它们的 曲线如图 6 21 所 示 这些材料的共同点是 有明显的弹性阶段 延伸率 都较大 与低碳钢 曲线相比大都没有明显的屈服 阶段 而由直线部分直接过渡到曲线部分 对这些没有 明显屈服阶段的塑性材料 国家标准规定 取对应试件 72 图 6 21 图 6 22 产生 0 2 塑性应变时的应力值作为其屈服极限 称为名 义屈服极限 以 0 2 表示 图 6 22 四 压缩时材料的机械性能 金属材料压缩时的试件通常做成短圆柱 其高度与直径 之比为 1 5 3 0 以防止产生弯曲变形 1 低碳钢压缩时的机械性能 如图 6 23 所示 当应力 在屈服极限以内时 E p s 与拉伸时相同 在屈服极限后 试件将产 生显著塑性变形 被压试件愈压愈扁 受压面积不断增 大 试件的抗压能力也继续提高 因此无法测定其强度 极限 2 铸铁压缩时的机械性能 73 图 6 23 图 6 24 铸铁压缩时的 曲线与拉伸时相似 见图 6 24 试 件在较小的变形时突然破坏 破坏截面与试件轴线大约 成 45 55 铸铁压缩时的强度极限 b 与延伸率都比拉伸时大得多 其抗压强度是抗拉强度的 4 5 倍 五 影响材料机械性能的主要因素 1 温度 图 6 25 74 2 工作时间 3 加载速度 图 6 26 小结 在这一节中我们学习了材料在拉伸与压缩之 后此阿了的具体机械性质 让我们进一步认识材料在工 作中内部所承受的变化情况 作业布置 习题与思考题 导课 学习了轴的拉伸与压缩给轴带来的内部变化 情况之后我们要知道轴在什么样的情况下是正常的工作 状况 以便我们消除工件在工作时的危险性 5 4 许用应力 强度条件 一 许用应力 75 1 极限应力 产生过大塑性变形或断裂的应力称为极限应力 用 0 表示 2 许用应力 杆件工作时允许达到的最大应力值称为许用应力 以 或 表示 极限应力除以大于 1 的系数作为 材料的许用应力 式中 n 称为安全系数 对于塑性材料 对于脆性材料 ns nb 分别是按屈服 极限和强度极限规定的安全系数 3 影响安全系数的因素 1 材料的均匀程度 2 载荷估计的