教研二次函数考查重点与常见题型

二次函数的有关知识 二次函数的有关知识 1 定义 一般地 如果是常数 那么叫做的二次函数 cbacbxaxy 2 0 ayx 2 抛物线的三要素 开口方向 对称轴 顶点 的符号决定抛物线的开口方向 当时 开口向上 当时 开口向下 a0 a0 a 相等 抛物线的开口大小 形状相同 a 平行于轴 或重合 的直线记作 特别地 轴记作直线 yhx y0 x 几种特殊的二次函数的图像特征如下 函数解析式开口方向对称轴顶点坐标 2 axy 轴 0 xy 0 0 kaxy 2 轴 0 xy 0 k 2 hxay hx 0 h khxay 2 hx h k cbxaxy 2 当时0 a 开口向上 当时0 a 开口向下 a b x 2 a bac a b 4 4 2 2 3 求抛物线的顶点 对称轴的方法 1 公式法 顶点是 a bac a b xacbxaxy 4 4 2 2 2 2 a bac a b 4 4 2 2 对称轴是直线 a b x 2 2 配方法 运用配方的方法 将抛物线的解析式化为的形式 得到 khxay 2 顶点为 对称轴是直线 h khx 3 运用抛物线的对称性 由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形 对称轴与抛物线 的交点是顶点 若已知抛物线上两点 及 y 值相同 则对称轴方程可以表示为 12 x yxy 12 2 xx x 4 抛物线中 的作用cbxaxy 2 cba 1 决定开口方向及开口大小 这与中的完全一样 a 2 axy a 2 和共同决定抛物线对称轴的位置 由于抛物线的对称轴是直线bacbxaxy 2 故 时 对称轴为轴 即 同号 时 对称轴在 a b x 2 0 by0 a b ab 轴左侧 即 异号 时 对称轴在轴右侧 y0 a b aby 3 的大小决定抛物线与轴交点的位置 ccbxaxy 2 y 当时 抛物线与轴有且只有一个交点 0 0 xcy cbxaxy 2 yc 抛物线经过原点 与轴交于正半轴 与轴交于负0 c0 cy0 cy 半轴 以上三点中 当结论和条件互换时 仍成立 如抛物线的对称轴在轴右侧 则 y 0 a b 5 用待定系数法求二次函数的解析式 1 一般式 已知图像上三点或三对 的值 通常选择一般式 cbxaxy 2 xy 2 顶点式 已知图像的顶点或对称轴 通常选择顶点式 khxay 2 3 交点式 已知图像与轴的交点坐标 通常选用交点式 x 1 x 2 x 21 xxxxay 6 直线与抛物线的交点 1 轴与抛物线得交点为 0 ycbxaxy 2 c 2 抛物线与轴的交点x 二次函数的图像与轴的两个交点的横坐标 是对应一元二次cbxaxy 2 x 1 x 2 x 方程 的两个实数根 抛物线与轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根0 2 cbxaxx 的判别式判定 有两个交点 抛物线与轴相交 0 x 有一个交点 顶点在轴上 抛物线与轴相切 x 0 x 没有交点 抛物线与轴相离 0 x 3 平行于轴的直线与抛物线的交点x 同 2 一样可能有 0 个交点 1 个交点 2 个交点 当有 2 个交点时 两交点的纵坐标 相等 设纵坐 标为 则横坐标是的两个实数根 kkcbxax 2 4 一次函数的图像 与二次函数的图像的 0 knkxyl 0 2 acbxaxyG 交点 由方程组 的解的数目来确定 方程组有两组不同的解 cbxaxy nkxy 2 时与有两个交点 方 lG 程组只有一组解时与只有一个交点 方程组无解时与没有交点 lG lG 5 抛物线与轴两交点之间的距离 若抛物线与轴两交点为xcbxaxy 2 x 则 00 21 xBxA 12 ABxx 一 考察二次函数定义一 考察二次函数定义 1 已知以为自变量的二次函数的图像经过原点 则x2 2 22 mmxmy 的值是 m 2 已知函数 是二次函数 则 m 等于 2 2 考查图像性质考查图像性质 1 1 考查用配方法求抛物线的顶点坐标 对称轴 二次函数的极值 考查用配方法求抛物线的顶点坐标 对称轴 二次函数的极值 3 将函数写成的形式为 开口方向 2 287yxx 2 ya xmn 顶点坐标是 对称轴是 4 若抛物线 y 4x2 2x c 的顶点在 X 轴上 则 c 的值为 5 若抛物线 y mx2 2m 1 x m2 4m 过原点 则 m 的值为 6 求的最大值 2 5 243 y xx 7 当 时 抛物线的顶点位置最高k 2 232yxkxk 8 2008 年山东省青岛市 某服装公司试销一种成本为每件 50 元的 T 恤衫 规定 试销时的销售单价不低于成本价 又不高于每件 70 元 试销中销售量 件 与y 销售单价 元 的关系可以近似的看作一次函数 如图 x 1 求与之间的函数关系式 yx 2 设公司获得的总利润 总利润 总销售额总成本 为 P 元 求 P 与 x 之间 的函数关系式 并写出自变量 x 的取值范围 根据题意判断 当 x 取何值时 P 的 值最大 最大值是多少 2 2 考查二次函数增减性 考查二次函数增减性 9 20092009 年深圳市 年深圳市 二次函数的图象如图 2 所示 若点 A 1 y1 cbxaxy 2 B 2 y2 是它图象上的两点 则 y1与 y2的大小关系是 A B C D 不能确定 21 yy 21 yy 21 yy 1010 2008 2008 年荷泽市年荷泽市 若A B C 为二次函数 1 4 13 y 2 4 5 y 3 4 1 y 的图象上的三点 则 的大小关系是 2 45yxx 1 y 2 y 3 y A B C D 123 yyy 213 yyy 312 yyy 132 yyy 11 已知 点都在函数的图象上 则 1a 123 1 1 aya yay 2 yx A B C D 123 yyy 132 yyy 321 yyy 213 yyy 3 3 综合考查正比例 反比例 一次函数 二次函数的图像 习题的特点是在同综合考查正比例 反比例 一次函数 二次函数的图像 习题的特点是在同 一直角坐标系内考查两个函数的图像一直角坐标系内考查两个函数的图像 1212 20082008 年吉林省长春市 年吉林省长春市 已知反比例函数的图象如下右图所示 则二次 x k y 函数的图象大致为 22 2kxkxy y Ox y Ox y Ox y Ox y O x 13 2009 湖北省荆门市 函数 y ax 1 与 y ax2 bx 1 a 0 的图象可能是 A B C D 1 1 1 1 xo yy o x y o x x o y 14 20092009 年齐齐哈尔市 年齐齐哈尔市 已知二次函数的图象如图所示 则下列 2 0 yaxbxc a 结论 方程的两根之和大于 0 随的增大而增大 0ac 2 0axbxc y x 其中正确的个数 0abc A 4 个B 3 个C 2 个D 1 个 x y O1 13 2009 丽水市 已知二次函数 y ax2 bx c a 0 的图象如图所示 给出以下结论 a 0 该函数的图象关于直线对称 1x 当时 函数 y 的值都等于 0 13xx 或 其中正确结论的个数是 A 3 B 2 C 1 D 0 14 2009 烟台市 二次函数的图象如图所示 则一次函数 2 yaxbxc 与反比例函数在同一坐标系内的图象大致为 2 4ybxbac abc y x 1 1 O x y y x O y x O B C y x O A y x O D O 17 2009 年广西南宁 已知二次函数 的图象如图 4 所示 有 2 yaxbxc 0a 下列四个结论 其中正确的个数有 2 0040bcbac 0abc A 1 个B 2 个C 3 个D 4 个 1 图 4 O x y 3 18 2009 2009 年鄂州年鄂州 已知 次函数 y ax bx c 的图象如图 则下列 5 个代数式 2 ac a b c 4a 2b c 2a b 2a b 中 其值大于 0 的个数为 A 2 B 3 C 4 D 5 45 2009 年黄石市 已知二次函数的图象如图所示 有以下结论 2 yaxbxc 其中所有正0abc 1abc 0abc 420abc 1ca 确结论的序号是 A B C D 1 1 1 Ox y 3 3 考查二次函数解析式的几种求法考查二次函数解析式的几种求法 1 1 已知三点求二次函数的解析式已知三点求二次函数的解析式 例 1 已知二次函数的图象经过点 A B C 求这个二次函 2 3 2 6 7 30 5 数的解析式 2 2 已知顶点坐标 对称轴 或极值求二次函数的解析式已知顶点坐标 对称轴 或极值求二次函数的解析式 例 2 已知二次函数图象的顶点为 2 5 且与 y 轴的交点的纵坐标为 13 求 这个二次函数的解析式 例 3 已知二次函数的图象过点 1 2 对称轴为且最小值为 2 求1 x 这个函数的解析式 3 3 已知图象与已知图象与 x x 轴两交点坐标求解析式轴两交点坐标求解析式 例 4 已知二次函数的图象与 x 轴交于 两点 与 y 轴交点的纵 0 1 A 0 3 B 坐标为 2 求此二次函数的解析式 4 4 由二次函数的图象平移变换求解析式由二次函数的图象平移变换求解析式 例 6 将二次函数的图象向左平移 3 个单位 再向下平移 2 个582 2 xxy 单位 求所得二次函数的解析式 5 5 二次函数的图象绕顶点旋转二次函数的图象绕顶点旋转或沿或沿 x x 轴翻折变换求解析式轴翻折变换求解析式 0 180 例 7 把函数的图象绕顶点旋转 1800 求所得抛物线的解析式 142 2 xxy 例 8 把二次函数的图象沿 x 轴翻折 求所得抛物线的解析式 52 2 xxy 4 4 二次函数与一元二次方程以及几何相结合的综合问题二次函数与一元二次方程以及几何相结合的综合问