【备战2012】高考数学 最新专题冲刺 数列（2） 理

用心 爱心 专心 1 备战备战 2012 2012 高考数学高考数学 最新专题冲刺最新专题冲刺 数列 数列 2 2 理理 5 2011 2011 年高考湖北卷理科年高考湖北卷理科 13 13 九章算术 竹九节 问题 现有一根 9 节的竹子 自 下而下各节的容积成等差数列 上面 4 节的容积共 3 升 下面 3 节的容积共 4 升 则第 5 节 的容积为 升 答案 67 66 解析 设从上往下的 9 节竹子的容积依次为a1 a2 a9 公差为 d 则有 a1 a2 a3 a4 3 a7 a8 a9 4 即4a5 10d 3 3a5 9d 4 联立解得 即第 5 节竹子的 5 67 66 a 容积 67 66 5 2011 2011 年高考陕西卷理科年高考陕西卷理科 14 14 植树节某班 20 名同学在一段直线公路一侧植树 每人植一棵 相邻两棵树相距 10 米 开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边 使每位同学从各自树坑 出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小 这个最小值为 米 答案 2000 解析 设树苗集中放置在第 号坑旁边 则 20 名同学返所走的路程总和为i 2 1 2 lii 2 1 12 19 20 10ii 即时 2 21210 20ii 2 21399 20 24 i 1011i 或 min 2000l 6 2011 2011 年高考重庆卷理科年高考重庆卷理科 11 11 在等差数列中 则 n a 37 37aa 2468 aaaa 解析 74 故 284637 37aaaaaa 2468 2 3774aaaa 11 2011 2011 年高考浙江卷理科年高考浙江卷理科 19 19 本题满分 14 分 已知公差不为 0 的等差数列的首项 n a 设数列的前 n 项和为 且 成等比数列 求数列 1 aa aR n S 1 1 a 2 1 a 4 1 a 的通项公式及 记 n a n S 123 1111 n n A SSSS 当时 试比较与的大小 2 12 22 1111 n n B aaaa 2n n A n B 解析 22 214111 2 214 111 3 aa aada ad aaa 1 daa 用心 爱心 专心 2 则 1111 1 1 n aandananana 1 1 1 1 222 n n nn nn n Sa ndanaa 123 1111 n n A SSSS 1111 1 22 33 4 1 2222 n n aaaa 2121 1 22 3aa 21 3 4a 2121 1 1 1a n nan 因为 所以 2 2 n n aa 21 12 22 1111 n n B aaaa 1 1 1 2 1 1 2 n a 21 1 2na 当时 即 2n 2012 21 n nnnn CCCCn 11 11 12nn 所以当时 当时 0a nn AB 0a nn AB 12 2011 2011 年高考安徽卷理科年高考安徽卷理科 18 18 本小题满分 13 分 在数 1 和 100 之间插入个实数 使得这个数构成递增的等比数列 将这个n2n 2n 数的乘积记作 再令 n T lg nn aT 1n 求数列的通项公式 n a 设求数列的前项和 1 tantan nnn baa n bn n S 命题意图 本题考查等比和等差数列 指数和对数运算 两角差的正切公式等基本知 识 考查灵活运用知识解决问题的能力 综合运算能力和创新思维能力 解析 构成递增的等比数列 其中 则 122 n t tt 1 1t 2 100 n t 1212nnn Tt ttt 2121nnn Ttttt 并利用等比数列性质得 2 211212 10 nnn ttttt t 22 2 211212 10 n nnnn Tttttt t 2 lglg102 n nn aTn 1n 用心 爱心 专心 3 由 知 1 tantantan 2 tan 3 nnn baann 1n 又 tan 3 tan 2 tan 3 tan 2 tan1 1tan 2 tan 3 nn nn nn tan 3 tan 2 tan 2 tan 3 1 tan1 nn nn 所以数列的前项和为 n bn tan 12 tan 1 3 tan 22 tan 23 tan 2 tan 3 tan 1 3 tan 12 tan 23 tan 22 tan 3 tan 2 tan1tan1tan1 tan 2 tan3 tan1 n Snn nn n n n 13 13 2011 2011 年高考天津卷理科年高考天津卷理科 20 20 本小题满分 本小题满分 1414 分 分 已知数列已知数列与与满足 满足 且 且 n a n b 112 3 1 0 2 n nnnnnn b aabab n N 12 2 4aa 求 求的值 的值 345 a a a 设 设 证明 证明 是等比数列 是等比数列 2121 nnn caanN n c 设 设证明 证明 242 kk SaaakN 4 1 7 6 n k k k S nN a 解析 本小题主要考查等比数列的定义 数列求和等基础知识 考查运算能力 推理论证 能力 综合分析能力和解决问题的能力及分类讨论的思想方法 解 由 可得 又 3 1 2 n n b n N 1 2 n n b n 是奇数 是偶数 112 0 nnnnn b aaba 当 n 1 时 由 得 123 20aaa 1 2a 2 4a 3 3a 当 n 2 时 可得 234 20aaa 4 5a 当 n 3 时 可得 345 20aaa 5 4a 证明 对任意 n N 用心 爱心 专心 4 21221 20 nnn aaa 22122 20 nnn aaa 212223 20 nnn aaa 得 223nn aa 将 代入 可得即 又 2123nn aa 2121 nn aa 1nn cc n N 113 1caa 故 因此 所以是等比数列 0 n c 1 1 n n c c n c III 证明 由 II 可得 2121 1 k kk aa 于是 对任意 有 2kNk 且 13 35 57 2321 1 1 1 1 1 k kk aa aa aa aa 将以上各式相加 得 121 1 1 k k aak 即 1 21 1 1 k k ak 此式当 k 1 时也成立 由 式得 1 2 1 3 k k ak 从而 22468424 kkk Saaaaaak 2124 3 kkk SSak 所以 对任意 2nNn 4 4342414 11 4342414 nn kmmmm km kmmmm SSSSS aaaaa 1 2221232 2222123 n m mmmm mmmm 1 23 2 21 22 22 n m mmmm 用心 爱心 专心 5 2 253 2 32 21 22 23 n m mmnn 2 153 3 21 21 22 23 n m mmnn 151111113 3235572121 22 23 nnnn 15513 362 21 22 23 7 6 nnn 对于 n 1 不等式显然成立 所以 对任意 nN 21212 12212 nn nn SSSS aaaa 3212124 1234212 nn nn SSSSSS aaaaaa 222 11121 1 1 1 41244 41 4 41 nn n 222 11121 41244 41 44 41 nnn n n 111 4123 nn 7 2011 2011 年高考湖北卷理科年高考湖北卷理科 19 19 本小题满分 13 分 已知数列的前 n 项和为 且满足 n a n S 11 0 1 nn aa aarSnNrR r 求数列的通项公式 n a 若存在 使得成等差数列 试判断 对于任意的 且kN 12 kkk SSS mN 2m 是否成等差数列 并证明你的结论 12 mmm aaa 本小题主要考查等差数列 等比数列基础知识 同时考查推理论证能力 以及特殊与一 用心 爱心 专心 6 般的思想 解析 由已知 可得 两式相减可得 1nn arS 21nn arS 2111 nnnnn aar SSra 即又 所以当时 数列为 21 1 nn ara 21 arara 0r n a 0 0a 当时 由已知 所以0 1rr 0a 0 n anN 于是由 可得 21 1 nn ara 2 1 1 n n a rnN a 成等比数列 23 n a aa 当时 n2 2 1 n n ar ra 综上 数列的通项公式为 n a 2 1 1 2 nn a n a r ra n 对于任意的 且成等差数列 证明如下 mN 12 2 mmm maaa 当 r 0 时 由 知 1 0 2 n a n a n 对于任意的 且成等差数列 mN 12 2 mmm maaa 当时 0 1rr 111 kkkk SSSa 212 kkkk SSaa 若存在 使得成等差数列 则kN 12 kkk SSS 12 2 kkk SSS 12 222 kkkk SaaS 即 21 2 kk aa 由 知 的公比 r 1 2 于是对于任意的 且 23 n a aa mN 从而 2m 1 2 mm aa 2 4 mm aa 12 2 mmm aaa 即成等差数列 12 mmm aaa 综上 对于任意的 且成等差数列 mN 12 2 mmm maaa 24 2011 2011 年高考福建卷理科年高考福建卷理科 16 16 本小题满分 13 分 已知等比数列 an 的公比 q 3 前 3 项和 S3 13 3 I 求数列 an 的通项公式 用心 爱心 专心 7 II 若函数在处取得最大值 且最 sin 2 0 0