浙江省2013年高考数学第二轮复习 专题四 数列第1讲 等差数列、等比数列 文

1 专题四专题四 数列第数列第 1 1 讲讲 等差数列 等比数列等差数列 等比数列 真题试做真题试做 1 2012 辽宁高考 文 4 在等差数列 an 中 已知a4 a8 16 则a2 a10 A 12 B 16 C 20 D 24 2 2012 安徽高考 文 5 公比为 2 的等比数列 an 的各项都是正数 且a3a11 16 则 a5 A 1 B 2 C 4 D 8 3 2012 北京高考 文 6 已知 an 为等比数列 下面结论中正确的是 A a1 a3 2a2 B a a 2a 2 12 32 2 C 若a1 a3 则a1 a2 D 若a3 a1 则a4 a2 4 2012 辽宁高考 文 14 已知等比数列 an 为递增数列 若a1 0 且 2 an an 2 5an 1 则数列 an 的公比q 5 2012 陕西高考 文 16 已知等比数列 an 的公比q 1 2 1 若a3 求数列 an 的前n项和 1 4 2 证明 对任意k N N ak ak 2 ak 1成等差数列 考向分析考向分析 高考中对等差 等比 数列的考查主 客观题型均有所体现 一般以等差 等比数列的定 义或以通项公式 前n项和公式为基础考点 常结合数列递推公式进行命题 主要考查学生 综合应用数学知识的能力以及计算能力等 中低档题占多数 考查的热点主要有三个方面 1 对于等差 等比数列基本量的考查 常以客观题的形式出现 考查利用通项公式 前n 项和公式建立方程组求解 属于低档题 2 对于等差 等比数列性质的考查主要以客观题 出现 具有 新 巧 活 的特点 考查利用性质解决有关计算问题 属中低档题 3 对 于等差 等比数列的判断与证明 主要出现在解答题的第一问 是为求数列的通项公式而准 备的 因此是解决问题的关键环节 热点例析热点例析 热点一 等差 等比数列的基本运算 例 1 2012 福建莆田质检 20 设数列 an 的前n项和为Sn 已知a1 1 等式 an an 2 2an 1对任意n N N 均成立 1 若a4 10 求数列 an 的通项公式 2 若a2 1 t 且存在m 3 m N N 使得am Sm成立 求t的最小值 规律方法规律方法 此类问题应将重点放在通项公式与前n项和公式的直接应用上 注重五个基 本量a1 an Sn n d q 之间的转化 会用方程 组 的思想解决 知三求二 问题 我们重 在认真观察已知条件 在选择a1 d q 两个基本量解决问题的同时 看能否利用等差 等比 数列的基本性质转化已知条件 否则可能会导致列出的方程或方程组较为复杂 无形中增大 运算量 同时在运算过程中注意消元法及整体代换的应用 这样可减少计算量 特别提醒 1 解决等差数列 an 前n项和问题常用的有三个公式 Sn Sn na1 d Sn An2 Bn A B为常数 灵活地选用公式 解 n a1 an 2 n n 1 2 决问题更便捷 2 利用等比数列前n项和公式求和时 不可忽视对公比q是否为 1 的讨论 变式训练变式训练 1 2012 山东青岛质检 20 已知等差数列 an 的公差大于零 且a2 a4是方 2 程x2 18x 65 0 的两个根 各项均为正数的等比数列 bn 的前n项和为Sn 且满足 b3 a3 S3 13 1 求数列 an bn 的通项公式 2 若数列 cn 满足cn Error 求数列 cn 的前n项和Tn 热点二 等差 等比数列的性质 例 2 1 在正项等比数列 an 中 a2 a48是方程 2x2 7x 6 0 的两个根 则 a1 a2 a25 a48 a49的值为 A B 9 C 9 D 35 21 2 3 3 2 正项等比数列 an 的公比q 1 且a2 a3 a1成等差数列 则的值为 1 2 a3 a4 a4 a5 A 或 B 5 1 2 5 1 2 5 1 2 C D 5 1 2 1 5 2 规律方法规律方法 1 解决此类问题的关键是抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系 从 这些特点入手选择恰当的性质进行求解 2 应牢固掌握等差 等比数列的性质 特别是等差数列中若 m n p q 则 am an ap aq 这一性质与求和公式Sn 的综合应用 n a1 an 2 变式训练变式训练 2 1 2012 江西玉山期末 3 已知等差数列 an 的前n项和为Sn 且满足 S15 25 则 tan a8的值是 A B C D 333 3 3 2 2012 广西桂林调研 7 已知数列 an 是等比数列 其前n项和为Sn 若公比 q 2 S4 1 则S8 A 17 B 16 C 15 D 256 热点三 等差 等比数列的判定与证明 例 3 2012 山东淄博一模 20 已知在数列 an 中 a1 5 且 an 2an 1 2n 1 n 2 且n N N 1 证明 数列为等差数列 an 1 2n 2 求数列 an 的前n项和Sn 规律方法规律方法 证明数列 an 为等差或等比数列有两种基本方法 1 定义法 an 1 an d d为常数 an 为等差数列 q q为常数 an 为等比数列 an 1 an 2 等差 等比中项法 2an an 1 an 1 n 2 n N N an 为等差数列 a an 1an 1 an 0 n 2 n N N an 为等比数列 2n 我们要根据题目条件灵活选择使用 一般首选定义法 利用定义法一种思路是直奔主题 例如本题方法 另一种思路是根据已知条件变换出要解决的目标 如本题还可这样去做 由an 2an 1 2n 1 得an 1 2an 1 2 2n 所以an 1 2 an 1 1 2n 上式两边 除以 2n 从而可得 1 由此证得结论 an 1 2n an 1 1 2n 1 特别提醒 1 判断一个数列是等差 等比 数列 还有通项公式法及前n项和公式法 但不作为证明方法 2 若要判断一个数列不是等差 等比 数列 只需判断存在连续三项不成等差 等比 即 3 可 3 a an 1an 1 n 2 n N N 是 an 为等比数列的必要而不充分条件 也就是要注意判 2n 断一个数列是等比数列时 要注意各项不为 0 变式训练变式训练 3 在数列 an 中 an 1 an 2n 44 n N N a1 23 是否存在常数 使数 列 an n 为等比数列 若存在 求出 的值及数列的通项公式 若不存在 请说明理 由 思想渗透思想渗透 1 函数方程思想 等差 比 数列通项与前n项和的计算问题 1 已知等差 比 数列有关条件求数列的通项公式和前n项和公式 及由通项公式和前 n项和公式求首项 公差 比 项数及项 即主要指所谓的 知三求二 问题 2 由前n项和求通项 3 解决与数列通项 前n项和有关的不等式最值问题 2 求解时主要思路方法为 1 运用等差 比 数列的通项公式及前n项和公式中的 5 个基本量 建立方程 组 进 行运算时要注意消元的方法及整体代换的运用 2 数列的本质是定义域为正整数集或其有限子集的函数 数列的通项公式即为相应的 函数解析式 因此在解决数列问题时 应用函数的思想求解 在等比数列 an 中 an 0 n N N 公比q 0 1 且a1a5 2a3a5 a2a8 25 a3与a5 的等比中项为 2 1 求数列 an 的通项公式 2 设bn log2an 数列 bn 的前n项和为Sn 当 最大时 求n的值 S1 1 S2 2 Sn n 解 解 1 a1a5 2a3a5 a2a8 25 a 2a3a5 a 25 2 32 5 又an 0 a3 a5 5 又a3与a5的等比中项为 2 a3a5 4 而q 0 1 a3 a5 a3 4 a5 1 q a1 16 1 2 an 16 n 1 25 n 1 2 2 bn log2an 5 n bn 1 bn 1 bn 是以 4 为首项 1 为公差的等差数列 Sn n 9 n 2 Sn n 9 n 2 当n 8 时 0 当n 9 时 0 当n 9 时 0 Sn n Sn n Sn n n 8 或 9 时 最大 S1 1 S2 2 Sn n 1 2012 河北冀州一模 5 在等差数列 an 中 a9 a12 6 则数列 an 前 11 项的和 1 2 S11等于 A 24 B 48 C 66 D 132 2 2012 浙江名校 创新 冲刺卷 4 设 an 是等比数列 则 a1 a2 a3 是 数列 an 是递增数列 的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 4 D 既不充分也不必要条件 3 2012 广东汕头质检 2 已知等比数列 an 的公比q为正数 且 2a3 a4 a5 则q 的值为 A B 2 C D 3 3 2 5 2 4 2012 河北衡水调研 6 等差数列 an 的前n项和为Sn 满足S20 S40 则下列结 论中正确的是 A S30是Sn的最大值 B S30是Sn的最小值 C S30 0 D S60 0 5 已知正项等比数列 an 满足a7 a6 2a5 若存在两项am an 使得 4a1 则 am an 的最小值为 1 m 4 n 6 原创题 已知数列 an 为等差数列 数列 bn 为等比数列 且满足a1 000 a1 013 b1b13 2 则 tan a1 a2 012 1 b4 7 7 2012 浙江五校联考 20 数列 an 的前n项和为Sn 已知 a1 Sn n2an n n 1 n 1 2 1 2 1 证明 数列是等差数列 并求Sn n 1 n Sn 2 设bn 求证 b1 b2 bn 1 Sn n3 8 设 an 是公比大于 1 的等比数列 Sn为数列 an 的前n项和 已知S3 7 且 a1 3 3a2 a3 4 构成等差数列 1 求数列 an 的通项公式 2 令bn ln a3n 1 n 1 2 求数列 bn 的前n项和Tn 参考答案参考答案 命题调研命题调研 明晰考向明晰考向 真题试做真题试做 1 B 解析 解析 由等差数列的性质知 a2 a10 a4 a8 16 故选 B 2 A 解析 解析 由题意可得 a3 a11 a 16 a7 4 2 7 a5 1 a7 q2 4 22 3 B 解析 解析 A 中当a1 a3为负数 a2为正数时 a1 a3 2a2不成立 B 中根据等比数 列的性质及均值不等式得 a a 2 2a C 中取a1 a3 1 a2 1 显然 2 12 3a2 1 a2 32 2 a1 a2 D 中取a1 1 a2 2 a3 4 a4 8 可知a4 a2不成立 综上可知仅有 B 正 确 4 2 解析 解析 等比数列 an 为递增数列 且a1 0 公比q 1 又 2 an an 2 5an 1 2an 2anq2 5anq an 0 2q2 5q 2 0 q 2 或q 舍去 1 2 公比q为 2 5 1 解 解 由a3 a1q2 及q 得a1 1 1 4 1 2 所以数列 an 的前n项和 5 Sn 1 1 1 2 n 1 1 2 2 1 2 n 1 3 2 证明 对任意k N N 2ak 2 ak ak 1 2a1qk 1 a1qk 1 a1qk a1qk 1 2q2 q 1 由q 得 2q2 q 1 0 故 2ak 2 ak ak 1 0 1 2 所以 对任意k N N ak ak 2 ak 1成等差数列 精要例析精要例析 聚焦热点聚焦热点 热点例析热点例析 例 1 解 解 1 an an 2 2an 1对n N N 都成立 数列 an 为等差数列 设数列 an 的公差为d a1 1 a4 10 且a4 a1 3d 10 d 3 an a1 n 1 d 3n 2 数列 an 的通项公式为an 3n 2 2 a2 1 t 公差d a2 a1 t an a1 n 1 d 1 n 1 t Sn na1 d n t n n 1 2 n n 1 2 由am Sm得 1 m 1 t m t m m 1 2 m 1 t m 1 t m m 1 2 t 1 t t m 2 2 2 m m 3 2 t 0 t的最小值为 2 变式训练 1 解 解 1 设 an 的公差为d d 0 bn 的公比为q q 0 则由x2 18x 65 0 解得x 5 或x 13 因为d 0 所以a2 a4 则a2 5 a4 13 则Error 解得a1 1 d 4 所以an 1 4 n 1 4n 3 因为Error 解得b1 1 q 3 所以bn 3n 1 2 当n 5 时 Tn a1 a2 a3 an n 4 2n2 n n n 1 2 当n 5 时 Tn T5 b6 b7 b8 bn 2 52 5 35 1 3n 5 1 3 3n 153 2 所以Tn Error 例 2 1 B 解析 解析 依题意知a2 a48 3 又a1 a49 a2 a48 a 3 a25 0 2 25 a1 a2 a25 a48 a49 a 9 5 253 2 C 解析解析 因为a2 a3 a1成等差数列 1 2 所以a3 a1 a2 6 q2 1 q 又q 0 解得q 1 5 2 故 a3 a4 a4 a5 a3 a4 a3 a4 q 1 q 5 1 2 变式训练 2 1 B 解析解析 S15 15a8 25 a8 5 3 tan a8 tan tan tan 5 3 2 3 33 2 A 解析解析 S8 S4 a5 a6 a7 a8 S4 q4S4 17 例 3 1 证明 设bn b1 2 an 1 2n 5 1 2 bn 1 bn an 1 2an 1 an 1 1 2n 1 an 1 2n 1 2n 1 2n 1 1 1 1 1 2n 1 数列是首项为 2 公差为 1 的等差数列 an 1 2n 2 解 解 由 1 知 n 1 1 an 1 2n a1 1 2 an n 1 2n 1 Sn 2 21 1 3 22 1 n 2n 1 1 n 1 2n 1 Sn 2 21 3 22 n 2n 1 n 1 2n n 设Tn 2 21 3 22 n 2n 1 n 1 2n 则 2Tn 2 22 3 23 n 2n n 1 2n 1 由 得 Tn 2 21 22 23 2n n 1 2n 1 n 2n 1 Sn n 2n 1 n n 2n 1 1 变式训练 3 解 解 假设an 1 n 1 an n 成立 整理得 an 1 an 2n 1 2 与an 1 an 2n 44 比较得 45 2 数列是以 为首项 1 为公比的等比数列 故an n 1 an n 45 2 3 2 45 2 3 2 n 1 即an n 1 n 1 45 2 3 2 创新模拟创新模拟 预测演练预测演练 1 D 解析 解析 设等差数列 an 的公差为d 则由a9 a12 6 得a1 8d a1 11d 1 2 1 2 6 整理得a1 5d 12 即a6 12 S11 11a6 132 2 C 解析 解析 由a1 a2 a3 得Error 有Error 或Error 则数列 an 是递增数列 反之显然成 立 故选 C 3 B 解析 解析 由 2a3 a4 a5得 2a3 a3q a3q2 q2 q 2 0 解得q 2 或q 1 舍去 4 D 解析 解析 由S20 S40得a21 a22 a23 a40 0 a21 a40 0 S60 a1 a60 60 a21 a40 60 0 1 2 1 2 5 解析 解析 由a7 a6 2a5 得q2 q 2 0 解得q 2 或q 1 舍去 3 2 7 aman a1qm 1 a1qn 1