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1 命题探究命题探究 2014 2014 版高考数学知识点讲座 考点版高考数学知识点讲座 考点 1111 导数的单调性及其应导数的单调性及其应 用 解析版 用 解析版 加 加 号的知识点为了解内容 供学有余力的学生学习使用 号的知识点为了解内容 供学有余力的学生学习使用 一 考纲目标一 考纲目标 理解可导函数的单调性与其导数的关系 二 知识梳理二 知识梳理 利用导数研究多项式函数单调性的一般步骤 1 求 f x 2 确定 f x 在 a b 内符号 3 若 f x 0 在 a b 上恒成立 则 f x 在 a b 上是增函数 若 f x 0 时 x 1 或 x 3 1 当 f x 0 时 3 1 x 1 函数 f x 的单调增区间为 3 1 和 1 减区间为 3 1 1 点评 极值点 最值点这些是原函数图象上常用的点 3 3 利用函数的单调性求参数的取值范围利用函数的单调性求参数的取值范围 例 3 已知函数 f x ax3 3x2 x 1 在 R 上是减函数 求实数 a 的取值范围 分析 在 R 上为减函数 则导函数在 R 上恒负 解 f x 3ax2 6x 1 1 当 f x 0 时 f x 为减函数 3ax2 6x 1 0 x R a 0 时 36 12a 0 a 3 a 3 时 f x 1 即 a 2 时 函数 f x 在 1 上为增函数 在 1 a 1 上为减函数 在 a 1 上为增函数 依题意 当 x 1 4 时 f x 0 4 a 1 6 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 5 a 7 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 a 的取值范围为 5 7 点评 若本题是 函数 f x 在 1 4 上为减函数 在 4 上为增函数 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 我们便知 x 4 两侧使函数 f x 变号 因而需要讨论 探索 属于探索性问题 例 5 设xaxxf 3 恰有三个单调区间 试确定a的取值范围 并求出这三个单调区间 解 由 f x 的解析式得 13 2 axxf 若 a 0 则 0 x f f x 单调 矛盾 若 a o 则 01 x f f x 单调 若 a 0 则 3 1 3 1 3 a x a xaxf 由此可知 当 a1 证明不等式 x ln 1 x 分析 构造辅助函数 f x x ln 1 x 只需证明 f x 在 1 上递增即可 证明 设 f x x ln 1 x x 1 则 x x x xf 1
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