高中数学《空间向量及其运算》同步练习5 新人教A版选修2-1

用心 爱心 专心 1 考点考点 13 13 空间向量及其运算空间向量及其运算 1 2009 安徽卷 文 11 在空间直角坐标系中 已知点 A 1 0 2 B 1 3 1 点 M 在 y 轴上 且 M 到 A 与到 B 的距离相等 则 M 的坐标是 2 2009 海南宁夏卷 理 19 本小题满分 12 分 如图 四棱锥S ABCD 的底面是正方形 每条侧棱的长都是地面边长的2倍 P 为侧棱 SD 上的点 求证 AC SD 若SD 平面 PAC 求二面角P AC D的大小 在 的条件下 侧棱 SC 上是否存在一点 E 使得 BE 平面 PAC 若存在 求 SE EC 的值 若不存在 试说明理由 3 2009 浙江卷 理 20 本题满分 15 分 如图 平面PAC 平面 ABC ABC 是以AC为斜边 的等腰直角三角形 E F O分别为PA PB AC的中点 16AC 10PAPC I 设G是OC的 中点 证明 FG平面BOE II 证明 在ABO 内存在一点M 使FM 平面BOE 并求点 M到OA OB的距离 4 2008 全国 10 已知正四棱锥S ABCD的侧棱长与底面边长都相等 E是SB的中点 则AE SD所成的角的余弦值为 A 3 1 B 3 2 C 3 3 D 3 2 5 2007 广东 19 14 分 如图题 2 所示 等腰 ABC的 底边B 66 高 CD 3 点E是线段BD上异于点B D的动 点 点F在BC边上 且EF AB 现沿EF将 BEF折起到 PEF的 位置 使PE AE 记xBE xV表示四棱锥P ACFE的体积 1 求 xV的表达式 2 当x为何值时 xV取得最大值 3 当 xV取得最大值时 求异面直线AC与PF所成角的余弦值 6 2008 福建 18 如图题 3 在四棱锥P ABCD中 侧面PAD 底面ABCD 侧棱 PD 2 用心 爱心 专心 2 底面ABCD为直角梯形 其中BC AD AB AD AD 2AB 2BC 2 O为AD中点 1 求证 PO 平面ABCD 2 求异面直线PB与CD所成角的大小 3 线段AD上是否存在点Q 使得它到平面PCD的距离为 2 3 若存在 求出 QD AQ 的值 若不存在 请说明理由 7 2008 全国 11 已知三棱柱 111 CBAABC 的侧 棱与底面边长都相等 1 A在底面 ABC内的射影为 ABC的 中心 则 1 AB与底面 ABC 所成角的正弦 值等于 A 3 1 B 3 2 C 3 3 D 3 2 8 2008 福建 6 如图题 7 在长方体ABCD 1111 DCBA 中 AB BC 2 1 1 AA 则 1 BC与平面DDBB 11 所成角的正弦值为 A 3 6 B 5 52 C 5 15 D 5 10 9 2007 北京 16 14 分 如图题 6 在Rt AOB 中 6 OAB 斜边4 AB Rt AOC 可以通过Rt AOB以直线AO为轴旋转得到 且二面角 B AO C 是直二面角 动点D在斜边AB上 1 求证 平面COD 平 面AOB 2 当D为AB的中点时 求异面直线AO与CD所成角的大小 3 求CD与平面AOB所成角的最大值 10 2008 海南 宁夏高考题 如图题 7 书已知点P在正方体ABCD DCBA的对解线 BD上 0 60 PDA 1 求DP与 CC所成角的大小 用心 爱心 专心 3 2 求DP与平面DDAA 所成角的大小 用心 爱心 专心 4 高考真题答案与解析 数 学 理 考点 13 空间向量及其运算 1 解析 设 0 0 My 则由 MAMB 得 22 141 3 1yy 解得1y 即 M 的坐标是 0 1 0 2 解法一 连 BD 设 AC 交 BD 于 O 由题意SOAC 在正方形 ABCD 中 ACBD 所以ACSBD 平面 得ACSD 设正方形边长a 则2SDa 又 2 2 ODa 所以 0 60SOD 连OP 由 知ACSBD 平面 所以ACOP 且ACOD 所以POD 是二面角PACD 的平面角 由SDPAC 平面 知SDOP 所以 0 30POD 即二面角PACD 的大小为 0 30 在棱 SC 上存在一点 E 使 BEPAC平面 由 可得 2 4 PDa 故可在SP上取一点N 使PNPD 过N作PC的平行线与SC的交点即为 E 连 BN 在BDNA中知 BNPO 又由于 NEPC 故平面 BENPAC平面 得 BEPAC平面 由于21SNNP 故21SEEC 解法二 连BD 设AC交于BD于O 由题意知 用心 爱心 专心 5 SOABCD 平面 以 O 为坐标原点 OBOC OS 分别为x轴 y轴 z轴正方向 建立 坐标系Oxyz 如图 设底面边长为a 则高 6 2 SOa 于是 62 0 0 0 0 22 Sa Da 2 0 0 2 Ca 2 0 0 2 OCa 26 0 22 SDaa 0OC SD 故 OCSD 从而 ACSD 由题设知 平面PAC的一个法向量 26 0 22 DSaa 平面DAC的一个法向量 6 0 0 2 OSa 设所求二面角为 则 3 cos 2 OS DS OS DS 所求二面角的大小为 0 30 在棱SC上存在一点E使 BEPAC平面 由 知DS是平面PAC的一个法向量 且 2626 0 0 2222 DSaa CSaa 设 CEtCS 则 226 1 222 BEBCCEBCtCSaatat 而 1 0 3 BE DCt 即当 2 1SE EC 时 BEDS 而BE不在平面PAC内 故 BEPAC平面 x y z 用心 爱心 专心 6 3 证明 I 如图 连结 OP 以 O 为坐标原点 分别以 OB OC OP 所在直线为x轴 y轴 z轴 建立空间直角坐标系 Oxyz 则 0 0 0 0 8 0 8 0 0 0 8 0 OABC 0 0 6 0 4 3 PE 4 0 3F 由题意得 0 4 0 G因 8 0 0 0 4 3 OBOE 因此平面 BOE 的法向量为 0 3 4 n 4 4 3FG 得0n FG 又直线FG不在平面BOE内 因此有 FG平面BOE II 设点 M 的坐标为 00 0 xy 则 00 4 3 FMxy 因为FM 平面 BOE 所以 有 FMn 因此有 00 9 4 4 xy 即点 M 的坐标为 9 4 0 4 在平面直角坐标系 xoy中 AOB 的内部区域满足不等式组 0 0 8 x y xy 经检验 点 M 的坐标满足上述不 等式组 所以在ABO 内存在一点M 使FM 平面BOE 由点 M 的坐标得点M到 OA OB的距离为 9 4 4 4 答案 C 解析 令正四棱锥的棱长为 2 则 0 1 1 A B 1 1 0 D 1 1 0 S 0 0 2 E 2 2 2 1 2 1 2 2 2 3 2 1 AE SD 1 1 2 SDAE cos 3 3 SDAE SDAE AE SD所成的角的余弦值为 3 3 故选 C 5 解析 1 EF AB EF PE 又 PE AE EAEEF 且PE在平面ACFE外 PE 平面ACFE EF AB CD AB EF CD 6 x x BD CD EF BD x CD EF 四边形ACFE的面积 BEFABCACFE SSS 2 1 2 1 366 22 62 1 69 6 1 xx 四棱锥 P ACFE 的体积 ACFEACFEP SV 3 1 用心 爱心 专心 7 PE 66 1 63 3 xx 即xxV63 3 66 1 x 0 63 x 2 由 1 知 62 1 63 2 xxV 令 V 60 xx 当60 x时 xV 0 当636 x时 0 xV 当BE 6 x时 xV有最大值 最大值为 6 V 612 3 解法一 如图 以点 E 为坐标原点 向量EA EF EP分别为x y z轴的 正向建立空间直角坐标系 则E 0 0 0 P 0 0 6 F 0 6 0 0 0 666 A C 663 3 0 于是 0 3 63 AC PF 0 6 6 AC 与 PF 所成角 的余弦为 cos PFAC PFAC 36600954 63 7 1 异面直线AC与PF所成角的余弦值为 7 1 解法二 过点F作FG AC交AE于点 连结 则 PFG为异面直线AC与PF所成 的角 ABC是等腰三角形 GBF也是等腰三角形 于是FG BF PF 22 EFBE 42 从而 22 GEPEPG 用心 爱心 专心 8 22 BEBE 26 在 GPF中 根据余弦定理得cos FGPF PGFGPF PFG 2 222 7 1 故异面直线AC与PF所成角的余弦值为 7 1 6 解析 解法一 1 证明 在 PAD中PA PD O 为AD中点 所以PO AD 又侧面PAD 底面ABCD 平面 PAD平面ABCD AD PO 平面PAD 所以 PO 平面ABCD 2 连结BO 在直角梯形ABCD中 BC AD AD 2AB 2BC 有OD BC且OD BC 所以四 边形OBCD是平行四边形 所以OB DC 由 1 知 PO PBO为锐角 所以 PBO是异面直线PB与CD所成的角 因为AD 2AB 2BC 2 在 Rt AOB中 AB 1 AO 1 所以2 OB 在Rt POA中 因为2 AP AO 1 所以OP 1 在Rt PBO中 tan BO PO PBO 2 2 2 1 PBO 2 2 arctan所以异面直线PB与CD所成的角是 2 2 arctan 3 假设存在点Q 使得它到平面PCD的距离为 2 3 设xQD 则xS DQC 2 1 则 2 得2 OBCD 在Rt POC中 PC 2 22 OPOC 所以CDPC DP 2 3 2 4 3 2 PCD S 则 DQCp V PCDQ V 得 3 1 x 2 1 1 3 1 2 3 2 3 解得x 2 2 3 所以存在点Q满足题意 此时 QD AQ 3 1 2 以O为坐标原点 OC OD OP的方向分别为x轴 y轴 用心 爱心 专心 9 z轴的正方向建立空间直角坐标系xyzO 依题意 易得 A 0 1 0 B 1 1 0 C 1 0 0 D 0 1 0 P 0 0 1 所以CD 1 1 0 PB 1 1 1 CDPB cos CDPB CDPB 3 6 23 11 所以异面直线PB与CD所成的角是 3 6 arccos 3 假设存在点Q 使得它到平面PCD的距离为 2 3 由 2 知 1 0 1 CP CD 1 1 0 设平面PCD的法向量为 000 zyxn 则 0 0 CDn CPn 所以 0 0 00 00 yx zx 即 000 zyx 取1 0 x 得平面PCD的一个法向量为 n 1 1 1 设 Q 0 y 0 1 y1 CQ 1 y 0 由 n nCQ 2 3 得 2 3 3 1 y 解得 2 1 y或者 y 2 5 舍去 此时 2 1 AQ 2 3 QD 以存在点Q满足题意 此时 3 1 QD AQ 7 答案 B 解析 可设底面 边长与侧棱长为 1 个单位长度 因为 1 A在底面ABC内的射影为 ABC的中心 所以三棱 锥 ABCA 1 为正四面体 所以 1 A到底面ABC的距离为 3 6 所以 1 B到底面的距离为 3 6 易知 0 1 120 ABB 所以3 1 AB 所以 1 AB与底面ABC所成角的正弦值为 用心 爱心 专心 10 3 2 3 3 6 故选B 8 答案 D 解析 连结 11C A 设 1111 DBCA O 连结OB 由已知得OC1 面DDBB 11 BOC1为所求角 在Rt OBC1中 得 sin OBC1 5 10 故选D 9 解析 1 由题意 CO AO BO AO BOC是二面角B AO C 的平面角 又 二面角CAOB 是直二面角 CO BO 又 OBOAO CO 平面AOB 又CO 平面COD 平面COD 平 面AOB 2 解法一 作DE OB 垂足为E 连结CE 如图 则 DE AO CDE是异面直线AO与CD所成的角 在COERt 中 CO BO 2 2 1 OEBO 1 5 22 OECOCE 又 2 1 DEAO 3 在CDERt 中 tan DE CE CDE 3 15 3 5 异面直线AO与CD所成角的大小为 3 15 arctan 解法二 建立空间直角坐标系xyzO 如图 则 用心 爱心 专心 11 O 0 0 0 A 0 0 32 C 2 0 0 D 0 1 3 OA 0 0 32 CD 2 1 3 CDOA cos 2232 6 CDOA CDOA 4 6 异面直线AO与CD所成角的大 小为 4 6 arccoc 3 由 1 知 CO 平面AOB CDO 是CD与平面AOB所成的角 且tan CDO 2 ODOD OC 当OD最小时 CDO最大 这时 OD AB 垂足为 D 3 AB OBOA OD tan 3 32 CDO CD与平面AOB所成角的最大值为 3 32 arctan 10 解析 如图 42 8 以D为原点 DA为单位长