2012高考数学热点集中营 热点19 立体几何大题 新课标

用心 爱心 专心1 AB C D P 两年真题重温两年真题重温 2011 新课标全国理 18 如图 四棱锥PABCD 中 底面ABCD为平行四边形 DAB 60 2ABAD PD 底面ABCD 证明 PA BD 若PDAD 求二面角APBC 的余弦值 1 0 0A 0 3 0B 1 3 0C 0 0 1P 1 3 0AB 0 3 1PB 1 0 0BC 设平面PAB的法向量为 x y z n 则 0 0 AB PB n n 即 30 30 xy yz 因此可取 3 1 3 n 设平面PBC的法向量为m 则 0 0 PB BC m m 可取 0 1 3m 42 7 cos 72 7 m n 故二面角APBC 的余弦值为 2 7 7 从而 222 BDADAB 故BDAD 又PD 底面ABCD 可得BDPD 用心 爱心 专心2 所以BD 平面PAD 故 PABD 2010A 新课标全国理 18 如图 已知四棱锥 P ABCD 的底面为等腰梯形 AB CD ACBD 垂足为 H PH 是四棱锥的高 E 为 AD 中点 A 1 证明 PEBC 2 若APB ADB 60 求直线 PA 与平面 PEH 所成角的正弦值 33 1 33 mnC 故 0 0 313 0 0 0 0 0 1 326 DEP 用心 爱心 专心3 2010A 新课标全国文 18 如图 已知四棱锥的底面为等PABCD 腰梯形 垂足为 是四棱锥的高 ABCDACBD HPH 证明 平面 平面 PAC PBD 若 60 求四棱锥的体6AB APBADB PABCD 积 命题意图猜想命题意图猜想 辑推理能力 用心 爱心 专心4 最新考纲解读最新考纲解读 回归课本整合回归课本整合 3 平面与平面平行 用心 爱心 专心5 线 线线 面面 面 判定 线 线线 面面 面 性质 线 线线 面面 面 5 理 直线与平面所成的角 3 二面角的范围 0 7 理 利用向量处理平行问题 1 证明线线平行 找出两条直线的方向向量 证明方向向量共线 用心 爱心 专心6 2 求直线和平面所成的角的向量法 在斜线上取一方向向量 并求出平面的一个法向a 量 若设斜线和平面所成的角为 由 n sincos a n a n an 方法技巧提炼方法技巧提炼 1 线线平行与垂直的证明 证明线线平行的方法 1 平行公理 2 线面平行的性质定理 3 面面平行的 性质定理 4 向量平行 要注意线面 面面平行的性质定理的成立条件 证明线线垂直 的方法 1 异面直线所成的角为直角 2 线面垂直的性质定理 3 面面垂直的性 质定理 4 三垂线定理和逆定理 5 勾股定理 6 向量垂直 要注意线面 面面 垂直的性质定理的成立条件 解题过程中要特别体会平行关系性质的传递性 垂直关系的多 样性 例例 1 1 如图 四面体C ABD CB CD AB AD BAD 90 E F分 别是BC AC的中点 1 求证 AC BD 2 如何在AC上找一点M 使BF 平面MED 并说明理由 3 若CA CB 求证 点C在底面ABD上的射影是线段BD的中点 解析 1 取BD的中点O 连接AO CO 在 BCD中 用心 爱心 专心7 BC DC CO BD 同理AO BD 而AO CO O BD 平面AOC 又 AC平面AOC AC BD 2 取FC的中点M 连接EM DM E是BC的中点 BF EM EM平面MED BF 平面MED FC的中点M即为所 求 3 ABD是等腰直角三角形 BAD 90 AO BO DO CA CB CD CO是公共边 COA COB COD COA 90 即CO AO 又CO BD AO BD O CO 平面ABD 即点C在底面ABD上的射影是线段BD的中点 例例 2 2 在四棱锥 P ABCD 中 底面 ABCD 是矩形 侧棱 PA 垂直于底面 E F 分别是AB PC 的中点 1 求证 EF平面PAD P AB CD E F 用心 爱心 专心8 1 面面平行的证明方法 反证法 假设两个平面不平行 则它们必相交 在导出矛盾 面面平行的判断定理 利用性质 垂直于同一直线的两个平面平行 平行于同一平面的 两个平面平行 向量法 证明两个平面的法向量平行 BB1C1C 3 AM MA1是截面 MBC1 平面 BB1C1C 的充要条件吗 请你叙述判断理由 1 证明 AB AC D 是 BC 的中点 AD BC 底面 ABC 平面 BB1C1C AD 侧面 BB1C1C AD CC1 2 证明 延长 B1A1与 BM 交于 N 连结 C1N AM MA1 NA1 A1B1 A1B1 A1C1 A1C1 A1N A1B1 C1N C1B1 截面 N B1C1 侧面 BB1C1C C1N 侧面 BB1C1C 截面 C1N B 侧面 BB1C1C 截面 MBC1 侧面 BB1C1C 3 解 结论是肯定的 充分性已由 2 证明 下面证必要性 过 M 作 ME B C1于 E 截面 MBC1 侧面 BB1C1C ME 侧面 BB1C1C 又 AD 侧面 BB1C1C ME AD M E A D 共线 A M 侧面 BB1C1C AM DE CC1 AM DE CC1 D 是 BC 的中点 E 是 BC1的中点 AM DE 2 1 CC1 2 1 AA1 AM MA1 例 4 已知直三棱柱 ABC A1B1C1中 AC BC 1 ACB 90 AA1 D 是2 A1B1中点 1 求证 C1D 平面 A1B 2 当点 F 在 BB1上什么位置时 会使得 AB1 平面 C1DF 并证明你的结论 A BC D A1 B1C1 M N E 用心 爱心 专心9 O C1D1 C A1 A B D B1 解析 对于第二问 要满足 AB1 平面 C1DF 可想办法构造 AB1 DF 从而确定 F 点位置 例 5 在长方体ABCD A1B1C1D1中 AB BC 2 AA1 1 则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为 A B C D 6 3 2 6 5 15 5 10 5 答案 D 解析 如图 2 连与交与 O 点 再连 BO 11 AC 11 B D 则为BC1与平面 111 111111 1111 BBDDOC DCBABBDD CABD BCAB面 面 1 OBC BB1D1D所成角 1 1 1 cos OC OBC BC 1 2OC 1 5BC 1 210 cos 55 OBC 用心 爱心 专心10 即点到底面的距离 2222 1 236 323 AOaAOaaa 1 BABC 故与底面所成角的正弦值为 1 ABABC 1 1 2 3 AO AB 4 秒用公式 直接得到线面角 答案 45 A O C B 1 2 用心 爱心 专心11 例 8 已知正三棱柱 ABC A1B1C1的侧棱长与底面边长相等 则 AB1与侧面 ACC1A1所成角的 正弦等于 A B C D 6 4 10 4 2 2 3 2 答案 A 解析 如图所示建立空间直角坐标系 设正三棱柱的棱长为 2 A 1 0 0 B1 0 则 2 3 2 3 1 1 AB O 0 0 0 B 0 则为侧面 ACC1A1的法向量0 3 0 3 0 BO 由 4 6 sin 1 1 BOAB BOAB 6 如何求二面角 1 直接法 直接法求二面角大小的步骤是 一作 找 二证 三计算 即先作 找 出表 示 3 向量法 法一 在内 在内 a l b l 其方向如左图 则二面角 的平面角l arccos a b a b A A 法二 设 是二面角的两个半平面的法向量 其方向一个指向内 1 n 2 n l A B C C1 A1 B1 x y z O 1 n 2 n a b a b 用心 爱心 专心12 侧 另一个指向外侧 同等异补 则二面角的平面角l 12 12 arccos n n nn A 例 9 如图 在棱长为 1 的正方体 ABCD A1B1C1D1中 AC 与 BD 交于点 E CB 与 CB1 交于点 F I 求证 A1C 平 BDC1 II 求二面角 B EF C 的大小 结果用反三角函数值表示 解法一 A1A 底面 ABCD 则 AC 是 A1C 在底面 ABCD 的射影 AC BD A1C BD 同理 A1C DC1 又 BD DC1 D 解法二 以点 C 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系 则 C 0 0 0 D 1 0 0 B 0 1 0 A1 1 1 1 C1 0 0 1 D1 1 0 1 11 111111 111 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 10 1 10 CABDDC CA BDCA DCCABD CADC BDDCDACBDC 即 又平面 同 I 可证 BD1 平面 AB1C 1111 11 11 11 1 1 1 1 1 1 111 cos arccos 33 33 AD D BACD B AC D B AC D BBEFC ACD B 则就是所求二面角的平面角补角的大小 故二面角的大小为 用心 爱心 专心13 轴 然后在底面确定互相垂直的直线分别为 x y 轴 如图 4 图 1 图 2 图 3 图 4 理 只需通过坐标运算进行判断 在解题过程中 往往把 是否存在 问题 转化为 点 的坐标是否有解 是否有规定范围的解 等 所以使问题的解集更加简单 有效 应善于 运用这一方法解题 例 9 在直四棱柱 ABCD A1B1C1D1中 已知 AB CD AB AD 1 D1D CD 2 AB AD 1 求证 BC 面 D1DB 2 求 D1B 与平面 D1DCC1所成角的大小 3 在 BB1上是否存在一点 F 使 F 到平面 D1BC 的距离为 若存在 则指出该 3 3 点的位置 若不存在 请说明理由 1 证明 如图建立坐标系 D xyz 1 0 0 0 1 1 0 0 2 0 0 0 2 DBCD A B C D E A1 B1 C1 O z x y Q B C P A D z yx O 用心 爱心 专心14 1 1 1 0 0 0 2 1 1 0 BCDDDB BC DD1 BC DB 0 0 1 DBBCDDBC D1D DB D BC 平面 D1DB 2 1 1 1 2 1 0 0 1 0 0 D BADA AD 平面 D1DCC1 平面 D1DCC1的法向量 1 0 0 m 依据向量距离公式 确定点的坐标 进而判断是否存在 这是思路经常用 考场经验分享考场经验分享 用心 爱心 专心15 新题预测演练新题预测演练 1 唐山市 2011 2012 学年度高三年级第一次模拟考试 理 如图 在三棱柱 ABC A1BlC1中 CC1丄底面 ABC 底面是边长为 2 的正三角形 M N 分别是棱 CC1 AB 的中点 I 求证 CN 平面 AMB1 II 若二面角 A MB1 C 为 45 求 CC1的长 解 设AB1的中点为P 连结NP MP CMAA1 NPAA1 CMNP 1 2 1 2 CNPM是平行四边形 CN MP CN 平面 AMB1 MP 平面 AMB1 CN 平面AMB1 4 分 即 u 3v aw 0 aw 0 则w 0 令v 1 则u 即m m 1 0 10 分 33 所以 cos m m n n 3a 2a2 1 依题意 m m n n 45 则 解得a 3a 2a2 1 2 22 所以CC1的长为 2 12 分 2 文 如图 在三棱柱 ABC A1BlC1中 CC1丄底面 ABC 底面是边长为 2 的正三角形 M N G 分别是棱 CC1 AB BC 的中点 I 求证 1 CNAMB 平面 II 若求证 1 2 2 CC 1 B MAMG 平面 解 设AB1的中点为P 连结NP MP 用心 爱心 专心16 CMAA1 NPAA1 CMNP 1 2 1 2 CNPM是平行四边形 CN MP CN 平面 AMB1 MP 平面 AMB1 CN 平面AMB1 4 分 CC1 平面ABC 平面CC1B1B 平面ABC AG BC AG 平面CC1B1B B1M AG 6 分 CC1 平面ABC 平面A1B1C1 平面 ABC CC1 AC CC1 B1C1 在 Rt MCA中 AM CM2 AC26 同理 B1M 6 9 分 BB1 CC1 BB1 平面ABC BB1 AB AB1 2 B1B2 AB2C1C2 AB23 AM2 B1M2 AB B1M AM 2 1 10 分 又AG AM A B1M 平面AMG 12 分 2 2012 年河南郑州高中毕业年级第一次质量预测 理 如图 在四棱锥 S ABCD 中 AB AD AB CD CD 3AB 3 平面 SAD 平面 ABCD E 是线段 AD 上一点 AE ED SE AD 3 证明 平面 SBE 平面 SEC 若 SE 1 求直线 CE 与平面 SBC 所成角的正弦值 解 平面平面 平面平面 SAD ABCDSAD ABCDAD 由 知 直线ES EB EC两两垂直 如图 以EB为x轴 以EC为y轴 以ES为z轴 建立空间直角坐标系 E S D C A B 用心 爱心 专心17 则 0 0 0 0 2 3 0 0 0 1 2 0 0 ECSB 2 2 3 0 0 2 3 1 CBCS 设平面SBC的法向量为 nx y z 则 0 0 n CB n CS 解得一个法向量 9 分 3 1 2 3 n 设直线CE与平面SBC所成角为 则又 1 sin 4 n CE n CE 0 2 3 0 CE 所以直线CE与平面SBC所成角的正弦值 12 分 1 4 文 如图 在四棱锥 S ABCD 中 AB AD AB CD CD 3AB 3 平面 SAD 平面 ABCD E 是线段 AD 上一点 AE ED SE AD 3 证明 平面 SBE 平面 SEC 若 SE 1 求三棱锥 E SBC 的高 证明 平面平面 平面平面 SAD ABCDSAD ABCDAD 平面 SE SADSEAD 平面 2 分SE ABCD 平面 BE ABCD SEBE 3 AE ED ABAD ABCD3CDAB 3 30 60 AEBCED 所以即 4 分90BEC BECE 结合得BE 平面SEC SECEE 平面 平面SBE 平面SEC 6 分 BE SBE 如图 作EF BC于F 连结SF 由BC SE SE和EF相交 得 BC 平面SEF 由BC在平面SBC内 得平面SEF 平面SBC 用心 爱心 专心18 作EG SF于G 则EG 平面SBC 即线段EG的长即为三棱锥E SBC的高 9 分 由SE 1 BE 2 CE 得BC 4 EF 2 33 在中 Rt SEF 3 2 ES EF EG SF 所以三棱锥E SBC的高为 12 分 3 2 3 2012 年石家庄市高中毕业班教学质量检测 二 1 1 8 分DE3 设平面 BEF 的法向量 则 1 nzyx 令 则 03 02 zyx zy 1 y3 2 xz 10 分 1 n2 1 3 同理 可求平面 DEF 的法向量 2 n2 1 3 设所求二面角的平面角为 则 12 分 cos 4 1 文 如图 在多面体 ABCDEF 中 ABCD 为菱形 ABC 60 EC面 ABCD FA面 用心 爱心 专心19 ABCD G 为 BF 的中点 若 EG 面 ABCD I 求证 EG面 ABF 若 AF AB 2 求多面体 ABCDEF 的体积 证明 第二问中利用体积分割进行求解 解 取 AB 的中点 M 连结 GM MC 可得 GM FA 因为 EC面 ABCD F A 面 ABCD 所以 CE FA EC GM 2 分 面 CEGM面 ABCD CM EG 面 ABCD EG CM 4 分 在正三角形 ABC 中 CMAB 又 FACM EGAB EGAF EG面 ABF 6 分 8 分V B ACEFD ACEF VV 10 分 1 3 ACEF SBD 12 分 11 12 22 32 3 32 4 4 河北省石家庄市河北省石家庄市 20122012 届高三上学期教学质量检测届高三上学期教学质量检测 一一 理 如图 在四棱锥 P ABCD 中 底面 ABCD 是正方形 PA 底面 ABCD 且 PA AB M N 分别是 PA BC 的中点 I 求证 MN 平面 PCD II 在棱 PC 上是否存在点 E 使得 AE 上平面 PBD 若存在 求出 AE 与平面 PBC 所成角的正 弦值 若不存在 请说明理由 证明 取 PD 中点为 F 连结 FC MF 用心 爱心 专心20 文 如图 在三棱柱 ABC A1B1C1中 AA1 平面 A1B1C1 B1A1C1 90 D E 分别为 CC1 和 A1B1的中点 且 A1A AC 2AB 2 I 求证 C1E 平面 A1BD 求点 C1到平面 A1BD 的距离 证明 取中点 F 连结 EF FD 1 AB 又 1 1 2 EFB BA 11 B BC CA 11 1 2 C DC C 平行且等于EF 1 1 2 C D 所以为平行四边形 4 分 1 C EFD 又平面 1 C EDFDF 1 ADB 平面 6 分 1 C E 1 ADB 8 分 1 5ABAD 6BD 所以 1 131 6521 222 A BD S 11 1 11 2 1 1 3 23 B A C D V 10 分 1111 B A C DCA BD VV 用心 爱心 专心21 及 1 11 21 3 23 d 2 21 21 d 所以点到平面的距离为 12 分 1 C 1 ABD 2 21 21 5 5 保定市保定市 20112011 20122012 学年度第一学期高三期末调研考试学年度第一学期高三期末调研考试 理 如图 在正三棱柱中 是的中点 是线段 111 ABCABC 1 2 AAAB N 1 CC M 上的动点 且 1 AB 1 AMAB 1 若 求证 1 2 1 MNAA 2 求二面角的余弦值 1 BABN 3 若直线与平面所成角的大小为 求的最大值 MN 1 ABB sin 解析 1 证明 取中点 连接 则有平ABE ME CEMENC与 行且相等 所以四边形是平行四边形 2 分MNCEMNCE 1 13 1 0 0 1 1 0 2 0 2 22 BNBM 用心 爱心 专心22 3 1 22 33 21 22 sincos 133 1 2 1 244 MN n 10 分 2 2 2 21 0 1 7552 令 22 22 45 0 552 552 ff 则 4 5 或0 48 0 1 515 man ff 当时 12 分 max 4 70 sin 35 文 如图 在正三棱柱中 是 111 ABCABC 1 2 AAAB N 的中点 是线段上的动点 且 1 CC M 1 AB 1 AMAB 1 若 求证 1 2 1 MNAA 2 求二面角的正弦值 NABC 3 求三棱锥的体积 1 BABN 用心 爱心 专心23 所以点到平面的距离等于 10 分 N1 ABB 3 2 CE 又1 1 1 21 2 ABB S 12 分11 133 1 326 BABNNABB VV 所以平面 SA SDC 即 SASD SASC 用心 爱心 专心24 设为平面的一个法向量 则有 x y z nCSA 0 0 SA CA n n 即 所以 7 分 22 0 22 230 axaz axay 3 2 3 n 用心 爱心 专心25 所以 12 分 NOSP 因为平面平面 平面平面 并且 SAD ABCDSAD ABCDADSPAD 所以平面 SP ABCD 所以平面 13 分NO ABCD 又因为平面 NO DMN 所以平面平面 14 分DMN ABCD 因为 为的中点 PDPA QAD 用心 爱心 专心26 P Q M D C A B N x y z 所以 ADPQ 又 QPQBQ 所以平面 4 分AD PQB 又平面 平面 MNMQB PAMQB 所以 平面 9 分PAMQB 因为 ADPQ 又平面平面 交线为 PAD ABCDAD 所以平面 PQABCD 以为坐标原点 分别以所在的直QQPQBQA 线为轴 x y z 建立如图所示的空间直角坐标系 xyzQ 由 2 PA PDAD 用心 爱心 专心27 则有 0 0 1 A 0 3 0 B 3 0 0 P 设平面的法向量为 MQBn zyx 文 如图 在四棱锥中 底面是正方形 平面 ABCDP ABCDPA ABCD 是中点 为线段上一点 EPCFAC 求证 EFBD 所以 EFPO 在 中 为的中点 POCEPC 所以为中点 FOC 在 中 分别为 的中点 POCEFPCOC 所以 EFPO 又 平面 平面 EFPBDPOPBD 故 平面 14 分EFPBD 8 北京市西城区 2011 2012 学年度第一学期期末试卷 理 如图 在直三棱柱中 是 111 CBAABC 1 2ABBCAA 90ABC D 的中点 BC 求证 平面 1 AB 1 ADC 用心 爱心 专心28 求二面角的余弦值 1 CADC 试问线段上是否存在点 使与成 11 ABEAE 1 DC60 角 若存在 确定点位置 若不存在 说明理由 E 证明 连结 交于点 连结 1 AC 1 ACOOD 由 是直三棱柱 111 CBAABC 得 四边形为矩形 为的中点 11 ACC AO 1 AC 又为中点 所以为中位线 DBCOD 1 ABC 所以 2 分 1 ABOD 因为 平面 平面 OD 1 ADC 1 AB 1 ADC 所以 平面 4 分 1 AB 1 ADC 解 由是直三棱柱 且 故两两垂直 111 CBAABC 90ABC 1 BBBCBA 如图建立空间直角坐标系 5 分xyzB 设 则 2 BA 0 0 1 1 0 2 0 2 0 0 0 2 0 0 0 1 DCACB 所以 1 2 0 AD 1 2 2 1 AC 设平面的法向量为 则有 1 ADC x y zn 1 0 0 n AD n AC 所以 取 得 7 分 20 220 xy xyz 1 y 2 1 2 n 易知平面的法向量为 8ADC 0 0 1 v 分 由二面角是锐角 得 9 1 CADC 2 cos 3 n v n v n v 分 所以二面角的余弦值为 1 CADC 2 3 解 假设存在满足条件的点 E 因为在线段上 故可设 其中 E 11B A 1 2 0 1 A 1 0 0 1 B 1 0 E02 所以 11 分 0 2 1 AE 1 1 0 1 DC 用心 爱心 专心29 因为与成角 所以 12AE 1 DC60 1 1 1 2 AE DC AE DC 分 即 解得 舍去 13 2 11 2 2 12 1 3 分 所以当点为线段中点时 与成角 14E 11B AAE 1 DC60 分 文 如图 正三棱柱的侧棱长和底面边长均为 是的中点 111 CBAABC 2DBC 求证 平面 AD 11 B BCC 求证 平面 1 AB 1 ADC 求三棱锥的体积 11 ADBC 证明 因为是正三棱柱 111 CBAABC 所以 平面 1 CC ABC 又 平面 AD ABC 所以 3 分ADCC 1 因为 是正三角形 是的中点 ABCDBC 所以 ADBC 4 分 所以 平面 5 分AD 11 B BCC 证明 连结 交于点 连结 1 AC 1 ACOOD 用心 爱心 专心30 由 是正三棱柱 111 CBAABC 得 四边形为矩形 为的中点 11 ACC AO 1 AC 又为中点 所以为中位线 DBC 1 ABC 所以 8 分 1 ABOD 因为 平面 平面 OD 1 ADC 1 AB 1 ADC 所以 平面 10 分 1 AB 1 ADC 解 因为 12 分 1111 DCBAADBC VV 所以 14 分 1111 12 3 33 CADBB DC VSAD 用心 爱心 专心31 即 m m DB 0 m m DE 0 2x1 2y1 0 x1 z1 0 因此可取m m 1 1 8 分 2 设n n x2 y2 z2 是面SBC的一个法向量 则 即 n n CB 0 n n CS 0 2x2 0 2y2 2z2 0 因此可取n n 0 1 10 分 2 cos m m n n m m n n m m n n 3 23 3 2 用心 爱心 专心32 故平面BED与平面SBC所成锐二面角的大小为 30 12 分 1 10 0 山山西西省省高高三三第第二二次次四四校校联联考考 理 如图 在底面为直角梯形的四棱锥ABCDP 中 90ADBCABC PA 平面ABCD 3 PA 6 32 2 BCABAD 1 求证 BD 平面PAC 2 求二面角PBDA 的大小 P A B C D E 用心 爱心 专心33 文 如图 在四棱锥PABCD 中 侧面PDC是边长 为 2 的正三角形 且与底面垂 直 底面ABCD是菱形 60ADC M为PB的中点 1 求四棱锥PABCD 的体积 2 求证 PA 平面CDM 所以CMPA 又CDCCM 所以PA 面CDM 12 分 M B D C A P 用心 爱心 专心34 4 2 4 0 3 4 4 2 3 4 4 4 5 0 8 0 0 AC BC 设平面BMC的法向量n n1 x1 y1 z1 平面APC的法向量n n2 x2 y2 z2 由Error 得Error 即Error 可取n n1 0 1 2 3 4 4 由Error 即 Error 得Error 可取n n2 5 4 3 又 cos BPA PA2 PB2 AB2 2PA PB 1 3 从而PM PBcos BPA 2 所以AM PA PM 3 综上所述 存在点M符合题意 AM 3 用心 爱心 专心35 0 0nPC 0 0nPD 得 320 0420 xyz xyz 提示四 方法二 用心 爱心 专心36 切值 证明 在四棱锥P ABCD中 连结AC交BD于点O 连结OM PO 由条件可得PO AC 2 PA PC 2 CO AO 222 因为在 PAC中 M为PC的中点 O为AC的中点 所以OM为 PAC的中位线 得OM AP 又因为AP平面MDB OM平面MDB 所以PA 平面MDB 6 分 解 设NC MO E 由题意得BP BC 2 且 CPN 90 因为M为PC的中点 所以PC BM 同理PC DM 故PC 平面BMD 所以直线CN在平面BMD内的射影为直线OM MEC为直线CN与平面BMD所成的角 又因为OM PA 所以 PNC MEC 在 Rt CPN中 CP 2 NP 1 所以 tan PNC 2 CP NP 故直线 CN与平面BMD所成角的正切值为 2 14 分 13 201213 2012 年邯郸市高三第一次模拟考试年邯郸市高三第一次模拟考试 理 如图 已知四棱锥的底面为菱形 且 EABCD 60ABC o 2 ABEC 2AEBE 用心 爱心 专心37 II 以AB中点O为坐标原点 以OB所在直线 为y轴 OE所在直线为z轴 建立空间直角坐标 系如图所示 则 0 1 0 3 0 0 3 2 0 0 0 1 ACDE 8 分 3 1 0 3 0 1 0 2 0 ACECDC uuu ruu u ruuu r 用心 爱心 专心38 即 解得 0 0 AC m EC m uuu r u r uu u r u r 30 310 ab a 3 3 1 a b 10 分 3 1 1 3 m u r 2 7 cos 7 m n m n m n u r r u r r Qu rr 所以二面角的余弦值为 12 分AECD 2 7 7 文 已知四棱锥的底面为菱形 EABCD 且 60ABC o 2 ABEC 为的中点 2AEBE OAB 求证 平面 EO ABCD 求点到面的距离 DAEC 本小题共 12 分 I 证明 连接CO 2 2AEEBAB Q 为等腰直角三角形AEB V 为的中点 QOAB 2 分 1EOABEO 又 60ABBCABC o Q 是等边三角形ACB V 43CO 分 又2 EC 即 222 ECEOCO EOCO 6 分EOABCD 平面 用心 爱心 专心39 平面 PAD 所成的角为 由 sin cos 8 分PBAE AE PB AEPB 34 3 2 a 4 6 解得 a 2 所以 0 0 1 AE3AF 2 3 2 1 设平面 AEF 的一法向量为 m x1 y1 z1 则 因此 0 0 AFm AEm 用心 爱心 专心40 取 z1 1 则 m 0 2 1 10 分 因为 0 2 1 2 3 03 111 1 Zyx x BD AC BD PA PA AC A 所以 BD 平面 AFC 故为平面 AFC 的一法向量 又BD 3 0 BD3 所以 cos m BD 5 15 125 32 BDm BDm 因为二面角 E AF C 为锐角 所以所求二面角的余弦值为 12 分 5 15 文 如图是某直三棱柱 侧棱与底面垂直 被削去上底后的 直观图与三视图的侧视图 俯视图 在直观图中 M是BD 的中点 侧视图是直角梯形 俯视图是等腰直角三角形 有 关数据如图所示 求出该几何体的体积 若N 是BC的中点 求证 AN平面CME 求证 平面BDE 平面BCD 解 由题意可知 四棱锥ACDEB 中 平面ABC 平面ACDE ACAB 所以 AB平面ACDE 2 分 又4 2 CDAEABAC 则四棱锥ACDEB 的体积为 42 2 2 24 3 1 3 1 ABSV ACDE 4 分 连接MN 则 CDAECDMN 又CDAEMN 2 1 所以四边形ANME为平行四边形 EMAN 6 分 AN 平面CME EM平面CME 所以 AN平面CME 8 分 ABAC N 是BC的中点 BCAN 又平面 ABC平面BCD AN平面BCD 10 分 由 知 EMAN EM平面BCD 用心 爱心 专心41 又 EM平面BDE 所以 平面BDE 平面BCD 12 分 14 2012 年河北省普通高考模拟考试 1 2 3 2 2 0 0PD AC 即 PD AC 6 分PDAC II 假设在棱 PA 上存在一点 E 不妨设 AE AP 01 则点 E 的坐标为 8 分 1 0 3 2 0 3 2 2 0 BEBD 设是平面 EBD 的法向量 则 nx y z nBE nBD 0 0 n BE n BD 2 030 2200 xyz xyz 2 3 2 zx yx 用心 爱心 专心42 则 0 2 3 6 0 0 3 cos45 cos 2 3 6 0 0 3 HP n HP n HPn 可解得 即 1 2 AE 1 2 AP 故在棱上存在点 当时 使得二面角 E BD A的大PAE 1 2 AE AP 小等于 45 12 分 文 如图 四棱锥的底面是矩形 PA