勾股定理(知识点+题型分类练习)

精品文档 1欢迎下载 A A B B C C a b c 弦 股 勾 勾股定理 知识点 勾股定理 知识点 知识要点 1 1 勾股定理的概念 勾股定理的概念 如果直角三角形的两直角边长分别为 a b 斜边长为 c 那么 a2 b2 c2 即直角三角形两直角边 的平方和等于斜边的平方 常用关系式常用关系式 由三角形面积公式可得 AB CD AC BC 2 2 勾股定理的逆定理 勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长 a b c 有下面关系 a2 b2 c2 那么这个三角形是直角三角形 其中为斜c 边 3 3 勾股数勾股数 满足 a2 b2 c2的三个正整数正整数叫做勾股数 注意 注意 若 a b c 为勾股数 那么 ka kb kc 同样也是勾股数组 记住常见的勾股数可以提高解题速度 如 8 15 17 等3 4 56 8 105 12 137 24 25 用含字母的代数式表示组勾股数 n 为正整数 22 1 2 1nn n 2 n n 为正整数 22 21 22 221nnnnn n 为正整数 2222 2 mnmn mn mn mn 4 4 判断直角三角形判断直角三角形 1 有一个角为 90 的三角形是直角三角形 2 有两个角互余的三角形是直角三角形 精品文档 2欢迎下载 A C B D 3 如果三角形一边上的中线等于这边的一半 那么这个三角形是直角三角形 4 如果三角形的三边长 a b c 满足 a2 b2 c2 那么这个三角形是直角三角形 经典直角三角形 勾三 股四 弦五 用勾股定理逆定理判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是 1 确定最大边 不妨设为 c 2 若 c2 a2 b2 则 ABC 是以 C 为直角的三角形 若 a2 b2 c2 则此三角形为钝角三角形 其中 c 为最大边 若 a2 b2 c2 则此三角形为锐角三角形 其中 c 为最大边 5 5 直角三角形的性质直角三角形的性质 1 直角三角形的两个锐角互余 可表示如下 C 90 A B 90 2 在直角三角形中 30 角所对的直角边等于斜边的一半 A 30 可表示如下 BC AB 2 1 C 90 3 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 ACB 90 可表示如下 CD AB BD AD 2 1 D 为 AB 的中点 6 6 数轴上表示无理数数轴上表示无理数 第一步 分析所有表示二次根式中被开方数可以写成哪两个有理数的和 第二步 在数轴上画出其中一个有理数 以该有理数为垂足做垂线 在垂线上标出第二个有理数的长度 连接端点和原点 以原点为圆心 端点为半径画圆 于数轴交点即为所有无理数 精品文档 3欢迎下载 a ba b c c AB C D E a ba b c c AB C D E 勾股定理专项练习勾股定理专项练习 一 基本应用一 基本应用 考点考点 1 1 勾股定理 勾股定理 1 下列是勾股数的一组是 D 精品文档 4欢迎下载 A 4 5 6 B 5 7 12 C 12 13 15 D 21 28 35 2 ABC 中 A B C 2 1 1 a b c 分别是 A B C 的对边 则下列各等式中成立的是 A a2 b2 c2 B a2 2b2 C c2 2a2 D b2 2a2 3 矩形 ABCD AB 5 cm AC 13 cm 则这个矩形的面积为 60 cm2 4 如图 在 ABC 中 BAC 90 AB 15 AC 20 AD BC 垂足为 D 则 ABC 斜边上的高 AD 12 5 已知等腰三角形底边长为 10cm 腰长为 13cm 则腰上的高为 C A 12cm B C D 60 13 cm 120 13 cm 10 13 cm 6 一个直角三角形的三边为三个连续偶数 则它的三边长分别为 6 8 10 7 易错题 已知直角三角形的两边 x y 的长满足 x 4 0 则第三边的长为 5 或 3 y 7 8 若直角三角形的三边长分别为 2 4 x 则 x 的可能值有 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 9 已知直角三角形两边长分别为 3 4 则第三边长为 10 已知直角三角形的两直角边之比为 3 4 斜边为 10 则直角三角形的两直角边的长分别为 11 如图 分别以 Rt ABC 三边为边向外作三个正方形 其面积分别用 S1 S2 S3表示 容易得出 S1 S2 S3之间有的关系式 S1 S2 S3 12 易错题 如图 已知在 Rt ABC 中 ACB 90 AB 4 分别以 AC BC 为直径作半圆 面积分别记 为 S1 S2 则 S1 S2的值等于 2 13 如图 所有的四边形都是正方形 所有的三角形都是直角三角形 其中最大的正方形边长为 7cm 则 正方形 A B C D 的面积之和为 49 cm2 精品文档 5欢迎下载 第 4 题 第 11 题 第 12 题 第 13 题 14 在 Rt ABC C 90 1 已知 c 17 b 8 求 a a 15 2 已知 a b 1 2 c 5 求 a a 5 3 已知 b 15 A 30 求 a c a c 5 310 3 15 若直角三角形的三边长分别是n 1 n 2 n 3 求n n 2 16 若直角三角形两直角边的比是 3 4 斜边长是 20 求此直角三角形的面积 S 96 考点考点 2 2 勾股定理逆定理勾股定理逆定理 1 以下列各组线段为边长 能构成三角形的是 能构成直角三角形的是 填序号 精品文档 6欢迎下载 3 4 5 1 3 4 4 4 6 6 8 10 5 7 2 13 5 12 7 25 24 2 在下列以线段 a b c 的长为三边的三角形中 不能构成直角三角形的是 D A a 9 b 41 c 40 B a b 5 c C a b c 3 4 5 D a 11 b 12 c 1525 3 若一个三角形三边长的平方分别为 32 42 x2 则此三角形是直角三角形的 x2的值是 D A 42 B 52 C 7 D 52或 7 4 下列 说法不正确的是 B A 三个角的度数之比为 1 3 4的三角形是直角三角形 B 三个角的度数之比为 3 4 5的三角形是直角三角 形 C 三边长度之比为 3 4 5的三角形是直角三角形 D 三边长度之比为 5 12 13的三角形是直角三角 形 5 若 ABC 的三边 a b c 满足 a b a2 b2 c2 0 则 ABC 是 C A 等腰三角形 B 直角三角形 C 等腰三角形或直角三角形 D 等腰直角三角形 6 有下列说法 若两直角边的平方和等于斜边的平方 则此三角形是直角三角形 在 ABC 中 a b c 分别是 A B C 的对边 若 a2 b2 c2 则 ABC 是钝角三角形 在 ABC 中 a b c 分别是 A B C 的对边 若 b2 c2 a2 则 C 900 在 ABC 中 a b c 分别是 A B C 的对边 C 900 则 a2 b2 c2 其中正确的是 D A B C D 7 下列说法中正确的有 如果 A B C 3 4 5 则 ABC 是直角三角形 如果 A B C 那么 ABC 是直角三角形 如果三角形三边之比为 6 8 10 则 ABC 是直角三角形 如果三边长分别是 n2 1 2n n2 1 n 1 则 ABC 是直角三角形 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 8 若 a 12 b 5 2 0 则以 a b c 为三边的三角形是 直角 三角形 13 c 9 如果 ABC 的三边 a b c 满足关系式 b 18 2 0 则 ABC 是 三角形 182 ba30 c 精品文档 7欢迎下载 10 已知 a b c 为 ABC 的三边 且满足 a2c2 b 2c2 a4 b4 试判断 ABC 的形状 解 a2c2 b2c2 a4 b4 c2 a2 b2 a2 b2 a2 b2 c2 a2 b2 ABC 是直角三角形 问 1 在上述解题过程中 从哪一步开始出现错误 请写出该步的代号 2 错误的原因为 除数可能为零 11 已知 ABC 的三边为 a b c 且 求三角形三个内角度数的比 A B C 1 1 2 1 1 cba 2 12 ABC 的三边 a b c 满足 试判断 ABC 的形状 直角三角 0 40 32 50 2 cbaba 形 13 已知 ABC 的三边为 a b c 且 a b 4 ab 1 c 试判定 ABC 的形状 直角三角形 14 14 若 ABC 的三边 a b c 满足条件 a2 b2 c2 338 10a 24b 26c 试判定 ABC 的形状 直角三角形 精品文档 8欢迎下载 15 一根 24 米绳子 折成三边为三个连续偶数的三角形 则三边长分别为多少米 此三角形的形状为 6 8 10 直角三角形 16 若 ABC的三边长为a b c 根据下列条件判断 ABC的形状 1 a2 b2 c2 200 12a 16b 20c 2 a3 a2b ab2 ac2 bc2 b3 0 考点考点 3 3 数轴表示无理数数轴表示无理数 尺规作图 保留作图痕迹 不写作法 1 用圆规与尺子在数轴上作出表示的点 并补充完整作图方法13 2 在数轴上画出表示的点 17 精品文档 9欢迎下载 3 在数轴上作出表示 3 的点2 考点考点 4 4 勾股定理几何应用勾股定理几何应用 1 如图在矩形 ABCD 中 M 是 CD 中点 AB 8 AD 3 1 求 AM 的长 2 MAB 是直角三角形吗 为什 么 AM 5 不是直角三角形 2 如图所示 在 Rt ABC 中 ACB 90 CD 是 AB 边上高 若 AD 8 BD 2 求 CD CD 4 3 一个长方体木箱沿斜面下滑 当木箱滑至如图位置时 AB 3m 已知木箱高 BE m 斜面坡角为 30 3 求木箱端点 E 距地面 AC 的高度 EF EF 3 精品文档 10欢迎下载 4 有一块土地形状如图所示 B D 90 AB 20 米 BC 15 米 CD 7 米 请计算这块地的面积 S 234 5 5 四边形 ABCD 中 B 90 AB 3 BC 4 CD 12 AD 13 求四边形 ABCD 的面积 S 36 6 如图 在四边形 ABCD 中 AB 12 cm BC 3 cm CD 4 cm C 90 1 求 BD 的长 BD 5 2 当 AD 为多 少时 ABD 90 AD 13 7 农民牛伯伯承包了一块四边形水稻田 ABCD 他量得边长 AB 90m BC 120m CD 130m DA 140m 且边 AB BC 正好位于两条相互垂直的公路的拐角处 请你帮牛伯伯计算一下这块水稻田的面积 S 13800 8 如图所示的一块地 AD 12m CD 9m ADC 90 AB 39m BC 36m 求这块地的面积 A B C D 精品文档 11欢迎下载 二 二 实际应用 实际应用 1 1 梯子滑动问题 梯子滑动问题 1 一架长 2 5的梯子 斜立在一竖起的墙上 梯子底端距离墙底 0 7 如图 如果梯子的顶端沿墙mm 下滑 0 4 那么梯子底端将向左滑动 0 8 米m 2 如图 一个长为 10 米的梯子 斜靠在墙面上 梯子的顶端距地面的垂直距离为 8 米 如果梯子的顶端 下滑 1 米 那么 梯子底端的滑动距离 1 米 51 3 小明想知道学校旗杆的高度 他发现旗杆上的绳子垂到地面上还多 1 m 当他把绳子的下端拉开 5 米后 发现绳子下端刚好触到地面 试问旗杆的高度为 12 米 4 如图 一根 12 米高的电线杆两侧各用 15 米的铁丝固定 两个固定点之间的距离是 18 第 1 题 第 2 题 第 4 题 5 5 如图 一个 3 米长的梯子AB 斜着靠在竖直的墙AO上 这时AO的距离为 2 5 米 求梯子的底端B距墙角O多少米 1 66 如果梯的顶端A沿墙下滑 0 5 米至C算一算 底端 滑动的距离近似值 结果保留两位小数 0 58 6 如图所示 梯子 AB 靠在墙上 梯子的底端 A 到墙根 O 的距离为 2m 梯子的顶端 B 到地面的距离为 7m 现将梯子的底端 A 向外移动到 A 使梯子的底端 A 到墙根 O 的距离 8 6 精品文档 12欢迎下载 为 3m 同时梯子的顶端 B 下降到 B 那么 BB 也等于 1m 吗 不等于 1 小于 1 2 2 爬行距离最短问题 爬行距离最短问题 1 如图 正方体盒子的棱长为 2 AB 中点为 M 一只蚂蚁从点 M 沿正方体的表面爬到点 蚂蚁爬行的 C 最短距离是 B A B C D 1317552 2 如图 一块砖宽 AN 5 长 ND 10 CD 上的点 F 距地面的高 FD 8 地面上 A 处的一只蚂蚁到 F 处 吃食 要爬行的最短路线是 17 cm 3 如图 是一个三级台阶 它的每一级的长 宽 高分别为 20dm 3dm 2dm A 和 B 是这个台阶两相对 的端点 A 点有一只昆虫想到 B 点去吃可口的食物 则昆虫沿着台阶爬到 B 点的最短路程是 25 分米 4 一只蚂蚁从长 宽都是 3 高是 8 的长方体纸箱的 A 点沿纸箱爬到 B 点 那么它所爬行的最短路线的长 是 10 5 在一个长为 2 米 宽为 1 米的矩形草地上 如图堆放着一根长方体的木块 它的棱长和场地宽 AD 平行 且 AD 木块的正视图是边长为 0 2 米的正方形 求一只蚂蚁从点 A 处 到达 C 处需要走的最短路 2 6 第 1 题 第 2 题 第 3 题 第 4 题 第 5 题 3 3 方向问题 方向问题 精品文档 13欢迎下载 1 一座垂直于两岸的桥长 15 米 一艘小船自桥北头出发 向正南方向驶去 因 水流原因 到达南岸后 发现已偏离桥南头 9 米 则小船实际行驶了 3 米 34 2 一职工下班后以 50 米 分的速度骑自行车沿着东西马路向东走了 5 6 分 又沿南北马路向南走了 19 2 分到家 则他的家离公司距离为 D A 100m B 500m C 1 240m D 1 000m 3 有一次 小明坐着轮船由 A 点出发沿正东方向 AN 航行 在 A 点望湖中小岛 M 测得 MAN 30 当他 到 B 点时 测得 MBN 45 AB 100 米 你能算出 AM 的长吗 x 50 50 3 4 远航 号 海天 号轮船同时离开港口 各自沿一固定方向航行 远航 号每小时航行 16 海里 海天 号每小时航行 12 海里 它们离开港口一个半小时后相距 30 海里 如果知道 远航 号沿东北 方向航行 能知道 海天 号沿哪个方向航行吗 西北方向 5 5 一轮船在大海中航行 它先向正北方向航行 8 km 接着 它又掉头向正东方向航行 15 千米 此时轮船离开出发点多少 km 17km 若轮船每航行 1km 需耗油 0 4 升 那么在此过程中轮船共耗油多少升 9 2km M A B N 精品文档 14欢迎下载 6 甲 乙两船上午 11