直线与园、圆与圆的位置关系知识点及习题

直线与圆 圆与圆的位置关系直线与圆 圆与圆的位置关系 一 直线与圆的位置关系一 直线与圆的位置关系 1 直线与圆相离 无交点 dr 2 直线与圆相切 有一个交点 切点 dr 3 直线与圆相交 有两个交点 dr d r d r r d 二 切线的判定定理与性质二 切线的判定定理与性质 1 切线的判定定理 过半径外端且垂直于半径的直线是切线 两个条件 过半径外端且垂直半径 二者缺一不可 即 且过半径外端MNOA MNOA 是 的切线MNO 2 性质定理 经过切点的半径垂直于圆的切线 经过切点垂直于切线的直线必经过圆心 如上图 过圆心 过切点 垂直切线 三个条件中知道其中两个条件就 能推出最后一个 例例 1 在中 BC 6cm B 30 C 45 以 A 为圆心 当半径 r 多长时所作的 A 与直线 BC 相切 相交 相离 解题思路 作 AD BC 于 D 在中 B 30 在中 C 45 CD AD BC 6cm NM A O P B A O B A C DO 当时 A 与 BC 相切 当时 A 与 BC 相交 当时 A 与 BC 相离 例例 2 如图 AB 为 O 的直径 C 是 O 上一点 D 在 AB 的延长线上 且 DCB A 1 CD 与 O 相切吗 如果相切 请你加以证明 如果不相切 请说明理由 2 若 CD 与 O 相切 且 D 30 BD 10 求 O 的半径 解题思路 1 要说明 CD 是否是 O 的切线 只要说明 OC 是否垂直于 CD 垂足 为 C 因为 C 点已在圆上 由已知易得 A 30 又由 DCB A 30 得 BC BD 10 解 1 CD 与 O 相切 理由 C 点在 O 上 已知 AB 是直径 ACB 90 即 ACO OCB 90 A OCA 且 DCB A OCA DCB OCD 90 综上 CD 是 O 的切线 2 在 Rt OCD 中 D 30 COD 60 A 30 BCD 30 BC BD 10 AB 20 r 10 答 1 CD 是 O 的切线 2 O 的半径是 10 三 切线长定理 三 切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线 它们的切线长相等 这点和圆心的连线平 分两条切线的夹角 即 是的两条切线PAPB 平分PAPB POBPA 证明 四 圆幂定理四 圆幂定理 1 相交弦定理 圆内两弦相交 交点分得的两条线段的乘 积相等 P O D C B A P B A O 即 在 中 弦 相交于点 OABCDP 相似 PA PBPC PD 2 推论 如果弦与直径垂直相交 那么弦的一半是它分直径所 成的两条线段的比例中项 即 在 中 直径 OABCD 2 CEAE BE 3 切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线 切线长是这点 到割线与圆交点的两条线段长的比例中项 即 在 中 是切线 是割线OPAPB 2 PAPC PB 4 割线定理 从圆外一点引圆的两条割线 这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长 的积相等 如上图 即 在 中 是割线OPBPE PC PBPD PE 五 三角形的内切圆五 三角形的内切圆 1 定义 与三角形三边都相切的圆 角平分线的交点 2 内心 外切三角形 例例 1 1 如图 O为 ABC的内切圆 C AO的延长线交BC于点 90 D AC 4 DC 1 则 O的半径等于 1 如图 ABC 90 O为射线 BC 上一点 以点O为圆心 BO长为 2 1 半径作 O 当射线BA绕点B按顺时针方向旋转 度时与 0相切 六 圆与圆的位置关系六 圆与圆的位置关系 外离 图 1 无交点 dRr 外切 图 2 有一个交点 dRr OE D C B A D E C B P A O D E C B P A O 相交 图 3 有两个交点 RrdRr 内切 图 4 有一个交点 dRr 内含 图 5 无交点 dRr 图 1 r R d 图 3 rR d 例例 1 两个同样大小的肥皂泡黏在一起 其剖面如图 1 所示 点 O O 是圆心 分隔 两个肥皂泡的肥皂膜 PQ 成一条直线 TP NP 分别为两圆的切线 求 TPN 的大小 1 2 解题思路 要求 TPN 其实就是求 OPO 的角度 很明显 POO 是正三角形 如 图 2 所示 解 PO OO PO PO O 是一个等边三角形 OPO 60 又 TP 与 NP 分别为两圆的切线 TPO 90 NPO 90 TPN 360 2 90 60 120 例例 2 如图 1 所示 O 的半径为 7cm 点 A 为 O 外一点 OA 15cm 求 1 作 A 与 O 外切 并求 A 的半径是多少 图 2 r R d 图 4 r R d 图 5 r R d A O 1 2 2 作 A 与 O 相内切 并求出此时 A 的半径 解题思路 1 作 A 和 O 外切 就是作以 A 为圆心的圆与 O 的圆心距 d rO rA 2 作 OA 与 O 相内切 就是作以 A 为圆心的圆与 O 的圆心距 d rA rO 解 如图 2 所示 1 作法 以 A 为圆心 rA 15 7 8 为半径作圆 则 A 的半径 为 8cm 2 作法 以 A 点为圆心 rA 15 7 22 为半径作圆 则 A 的半径为 22cm 例例 3 如图所示 点 A 坐标为 0 3 OA 半径为 1 点 B 在 x 轴上 1 若点 B 坐标为 4 0 B 半径为 3 试判断 A 与 B 位置关系 2 若 B 过 M 2 0 且与 A 相切 求 B 点坐标 答 1 AB 5 1 3 外离 2 设 B x 0 x 2 则 AB 2 9x B 半径为 x 2 设 B 与 A 外切 则 2 9x x 2 1 当 x 2 时 2 9x x 3 平方化简得 x 0 符题意 B 0 0 当 x 2 舍 设 B 与 A 内切 则 2 9x x 2 1 当 x 2 时 2 9x x 1 得 x 4 2 B 4 0 当 x 2 时 2 9x x 3 得 x 0 七七 两圆公共弦定理 两圆公共弦定理 两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共 弦 如图 垂直平分 12 OOAB 即 相交于 两点 1 O 2 OAB B A O1 O2 A y x O 垂直平分 12 OOAB 八 圆的公切线八 圆的公切线 两圆公切线长的计算公式 1 公切线长 中 12 Rt OO C 2222 1122 ABCOOOCO 2 外公切线长 是半径之差 内公切线长 是半径之和 2 CO 2 CO 九九 圆内正多边形的计算 圆内正多边形的计算 1 正三角形 在 中 是正三角形 有关计算在中进行 OABCRt BOD 1 3 2OD BD OB 2 正四边形 同理 四边形的有关计算在中进行 Rt OAE 1 1 2OE AE OA 3 正六边形 同理 六边形的有关计算在中进行 Rt OAB 1 3 2AB OB OA E CB AD O B A O C O2 O1 B A D C B A O 基础训练基础训练 1 填表 直线与圆的 位置关系 图形 公共点 个数 公共点 名称 圆心到直线的距离 d 与圆的半径 r 的关系 直线的 名称 相交 相切 相离 2 若直线 a 与 O 交于 A B 两点 O 到直线 a 的距离为 6 AB 16 则 O 的半径为 3 在 ABC 中 已知 ACB 90 BC AC 10 以 C 为圆心 分别以 5 5 8 为半径作2 图 那么直线 AB 与圆的位置关系分别是 4 O 的半径是 6 点 O 到直线 a 的距离为 5 则直线 a 与 O 的位置关系为 A 相离 B 相切 C 相交 D 内含 5 下列判断正确的是 直线上一点到圆心的距离大于半径 则直线与圆相离 直线上一点到圆心的距离等 于半径 则直线与圆相切 直线上一点到圆心的距离小于半径 则直线与圆相交 A B C D 6 OA 平分 BOC P 是 OA 上任一点 O 除外 若以 P 为圆心的 P 与 OC 相离 那么 P 与 OB 的位置关系是 A 相离 B 相切 C 相交 D 相交或相切 7 如图所示 Rt ABC 中 ACB 90 CA 6 CB 8 以 C 为圆心 r 为半径 作 C 当 r 为多少时 C 与 AB 相切 8 如图 O 的半径为 3cm 弦 AC 4cm AB 4cm 若以 O 为圆心 再作一个圆与 AC2 相切 则这个圆的半径为多少 这个圆与 AB 的位置关系如何 提高训练提高训练 9 如图所示 在直角坐标系中 M 的圆心坐标为 m 0 半径为 2 如果 M 与 y 轴所在直线相切 那么 m 如果 M 与 y 轴所在直线相交 那 么 m 的取值范围是 10 如图 ABC 中 AB AC 5cm BC 8cm 以 A 为圆心 3cm 长为半径的圆与直线 BC 的 位置关系是 11 如图 正方形 ABCD 的边长为 2 AC 和 BD 相交于点 O 过 O 作 EF AB 交 BC 于 E 交 AD 于 F 则以点 B 为圆心 长为半径的圆与直线 AC EF CD 的位置关系分别是什2 么 12 已知 O 的半径为 5cm 点 O 到直线 L 的距离 OP 为 7cm 如图所示 1 怎样平移直线 L 才能使 L 与 O 相切 2 要使直线 L 与 O 相交 应把直线 L 向上平移多少 cm 13 如图 Rt ABC 中 C 90 AC 3 AB 5 若以 C 为圆心 r 为半径作圆 那么 1 当直线 AB 与 C 相切时 求 r 的取值范围 2 当直线 AB 与 C 相离时 求 r 的取值范围 3 当直线 AB 与 C 相交时 求 r 的取值范围 14 在南部沿海某气象站 A 测得一热带风暴从 A 的南偏东 30 的方向迎着气象站袭来 已知该风暴速度为每小时 20 千米 风暴周围 50 千米范围内将受到影响 若该风暴不 改变速度与方向 问气象站正南方 60 千米处的沿海城市 B 是否会受这次风暴的影响 若不受影响 请说明理由 若受影响 请求出受影响的时间 九年级下册直线和圆的位置关系练习题九年级下册直线和圆的位置关系练习题 一 选择题 1 若 OAB 30 OA 10cm 则以 O 为圆心 6cm 为半径的圆与射线 AB 的位置关系是 A 相交B 相切C 相离D 不能确定 2 Rt ABC 中 C 90 AB 10 AC 6 以 C 为圆心作 C 和 AB 相切 则 C 的半径长 为 A 8B 4C 9 6D 4 8 3 O 内最长弦长为 直线 与 O 相离 设点 O 到 的距离为 则与的关系是mllddm A B C 2 m D 2 m dmdmdd 4 以三角形的一边长为直径的圆切三角形的另一边 则该三角形为 A 锐角三角形B 直角三角形C 钝角三角形D 等边三角形 5 菱形对角线的交点为 O 以 O 为圆心 以 O 到菱形一边的距离为半径的圆与其他几边的 关系为 A 相交B 相切C 相离D 不能确定 6 O 的半径为 6 O 的一条弦 AB 为 6 3 以 3 为半径的同心圆与直线 AB 的位置关系 是 A 相离B 相交C 相切D 不能确定 7 下列四边形中一定有内切圆的是 A 直角梯形B 等腰梯形C 矩形D 菱形 8 已知 ABC 的内切圆 O 与各边相切于 D E F 那么点 O 是 DEF 的 A 三条中线交点B 三条高的交点 C 三条角平分线交点D 三条边 的垂直平分线的交点 9 给出下列命题 任一个三角形一定有一个外接圆 并且只有一个外接圆 任一个圆一定有一个内接三角形 并且只有一个内接三角形 任一个三角形一定有一个内切圆 并且只有一个内切圆 任一个圆一定有一个外切三角形 并且只有一个外切三角形 其中真命题共有 A 1 个B 2 个C 3 个D 4 个 二 证明题 1 如图 已知 O 中 AB 是直径 过 B 点作 O 的切线 BC 连结 CO 若 AD OC 交 O 于 D 求证 CD 是 O 的切线 2 已知 如图 同心圆 O 大圆的弦 AB CD 且 AB 是小圆的切线 切点为 E 求证 CD 是小圆的切线 3 如图 在 Rt ABC 中 C 90 AC 5 BC 12 O 的半径为 3 1 当圆心 O 与 C 重合时 O 与 AB 的位置关系怎样 2 若点 O 沿 CA 移动时 当 OC 为多少时 C 与 AB 相切 4 如图 直角梯形 ABCD 中 A B 90 AD BC E 为 AB 上一点 DE 平分 ADC CE 平分 BCD 以 AB 为直径的圆与边 CD 有怎样的位置关系 5 设直线 到 O 的圆心的距离为 d 半径为 R 并使 x2 2dx R 0 试由关于 x 的一元二次方程根的情况讨论 与 O 的位置关系 6 如图 AB 是 O 直径 O 过 AC 的中点 D DE BC 垂足为 E 1 由这些条件 你能得出哪些结论 要求 不准标其他字母 找结论过程中所连的 辅助线不能出现在结论中 不写推理过程 写出 4 个结论即可 2 若 ABC 为直角 其他条件不变 除上述结论外你还能推出哪些新的正确结论 并画 出图形 要求 写出 6 个结论即可 其他要求同 1 7 如图 在 Rt ABC 中 C 90 AC 3 BC 4 若以 C 为圆心 R 为半径所作的圆与斜 边 AB 只有一个公共点 则 R 的取值范围是多少 8 如图 有一块锐角三角形木板 现在要把它截成半圆形板块 圆心在 BC 上 问怎样 截取才能使截出的半圆形面积最大 要求说明理由 9 如图 直线 1 2 3表示相互交叉的公路