综合检测二(含答案)

高二数学 下高二数学 下 B 综合检测二 综合检测二 1 坛子里放有 2 个白球 3 个黑球 从中进行不放回摸球 A1表示第一次摸得白球 A2表示第 二次摸得白球 则 A1与 A2是 A 互斥事件 B 独立事件 C 对立事件 D 不独立事件 解 A2的发生受到 A1发生的影响 第二次摸到白球的概率取决于第一次摸的什么颜色的球 故不独立 选 D 2 有 5 列火车停在某车站并行的 5 条轨道上 若快车 A 不能停在第 3 轨道上 货车 B 不能停在 第 1 轨道上 则 5 列火车的停车方法种数有 A 78 B 72 C 120 D 96 解 选 A 543 543 A2AA78 3 在空间 如果 x y z 表示直线或平面 命题 若 x y x z 则 y z 成立 那么 x y z 所分别表示的元素正确的是 A x y z 都是直线 B x y z 都是平面 C x y 为平面 z 为直线 D x 为平面 y z 为直线 解 选 D 4 用 1 2 3 4 5 这五个数字 可组成比 20000 大 并且百位数字不是 3 的无重复数字的五 位数 共有 A 96 个 B 78 个 C 72 个 D 64 个 解 3 在首位 2 或 4 或 5 在首位 故选 B 4 4 24A 113 333 AA54A 5 二面角 l 的平面角为 120 A B l AC BD AC l BD l 若 AB AC BD 1 则 CD 等于 A B 23 C 2 D 5 解法一 如图 将 BD 平移至 AE 在 Rt CED 中 22222 2cos2CDCEEDCAAECA AECAEED A 解法二 注意 选 C CDCAABBD 60CA BD 6 七个人排成一排 甲 乙必须相邻 且甲 乙都不与丙相邻 则不同的排法有 A 960 种 B 840 种 C 720 种 D 600 种 解 将甲乙捆在一起 并与丙插入另外四人之间 故有种排法 选 A 24 24 A A 2 5 A 7 平面 M 内有 OA 是平面 M 的斜线段 且 OA 与的两边所成60BOC 6 3OA BOC 的角都是 45 那么点 A 到平面 M 的距离是 A 9 B 6 C 18 D 2 解 如图 由 cos45 cos AOD cos30 所以 cos AOD OD AD 6 选 B 2 3 6 2 8 地球半径为 R 在北纬 30 圆上有两点 A B A 点的经度为东经 120 B 点的经度为西经 60 则 A B 两点的球面距离为 A B C D 1 3 R 3 2 R 1 2 R 2 3 R 解 如图 OBO1 OAO1 30 AO1B 180 所以 AOB 120 故选 D 2 3 9 矩形 ABEF 和矩形 EFCD 不共面 EF 4 AD 5 则平行直线 AB 与 CD 之间的距离是 A C D B E A O D A B O O1 A 5 B 4 C 3 D 12 解 BD 即为AB与CD之间的距离 显然 BD 3 选 C 10 6 本不同的图书全部分给 2 个学生 每个学生最多 4 本 则不同的分法种数为 A 35 B 50 C 70 D 100 解 先分组 再分配 分组可以 3 3 分或 4 2 分 故 选 B 33 42263 622 C C C CA 2 A 11 已知 1 x x2 3 1 2x2 4 a0 a1x a2x2 a14x14 则 a1 a3 a5 a11 a13 13 解 在已知等式中分别取 x 1 和 1 得 a0 a1 a2 a13 a14 1 a0 a1 a2 a13 a14 27 得 2 a1 a3 a5 a11 a13 26 所 以 a1 a3 a5 a11 a13 13 12 已知的展开式中 的系数为 则常数 a 的值为 4 9 2 ax x 3 x 9 4 解 r 8 所以 9 9 2 9 2 199 2 CC 2 2 r r rr r rr r r axa Tx x 93 2 r r 8 9 4 9 C 4 2 a 13 三棱锥 P ABC 的四个顶点在同一球面上 若 PA 底面 ABC 底面 ABC 是直角三角形 PA 2 AC BC 1 则此球的表面积为 6 解 PB 为球直径 2R PB 22 6PAAB 2 4SR 球 14 甲乙两个围棋队各 5 名队员按事先排好的顺序进行擂台赛 双方 1 号队员先赛 负者被淘汰 然后负方的队员 2 号队员再与对方的获胜队员再赛 负者又被淘汰 一直这样进行下去 直到有一方 队员全被淘汰时 另一方获胜 假设每个队员的实力相当 则甲方有 4 名队员被淘汰且最后战胜乙方 的概率是 35 256 解 根据题意 甲方获胜时 双方共有 9 个人被淘汰 每淘汰 1 人须比赛一场 而甲方必须获胜五场且最后一场 必胜 其它四个胜场是随机的 故所求概率为 下图就是一例 44 4 8 111 C 222 P 甲 1 2345 乙12345 15 本小题 12 分 设在一袋子内装有 5 只白球 5 只黑球 从这袋子内任意取球 5 次 每次取 一只 每次取出的球又立即放回袋子中 求在这 5 次取球中 结果保留两个有效数字 1 取得白球 3 次的概率 2 至少有 1 次取得白球的概率 解 记 取球一次得白球 为事件 A 取球一次得黑球 为事件 B 则 511 1022 P AP BP AP B 1 32 3 55 11 3C0 31 22 P 因此 取得白球 3 次的概率为 0 31 2 05 0 55 11 101 C0 97 22 P 因此 至少有一次取得白球的概率为 0 97 16 本小题满分 12 分 在正方体 AC1中 E F 分别为 BB1 CD 的中点 1 求证 AD D1F 2 求 AE 与 D1F 所成角的大小 A D C B A1 D1 C1 B1 F E C AB E F D A P C B 3 求证 平面 AED 平面 A1FD1 解 本题宜于用坐标法 建立坐标系 D ACD1 设长方体的棱长为 2 则 2 0 0A 1 0 0 2D 2 2 1E 0 1 0F 1 2 0 0AD 1 0 1 2D F 故 AD D1F 1 2 0 00 1 22 00 1020AD D F AA 2 1 0 2 1 0 1 2AED F 1 1 1 2 00 102 cos 0 55 AE D F AE D F AE D F A 故 即 AE 与 D1F 所成的角为 90 1 AED F 3 由 1 2 知 AD D1F 且 AE D1F D1F 平面 AEDADAEA 又 D1F 平面 A1FD1 平面 AED 平面 A1FD1 17 本小题满分 14 分 某种电路开关闭合后 会出现红灯或绿灯闪动 已知开关第一次闭合后 出现红灯和出现绿灯的概率都是 从开关第二次闭合起 若前次出现红灯 则下一次出现红灯的 1 2 概率是 出现绿灯的概率是 若前次出现绿灯 则下一次出现红灯的概率是 出现绿灯的概 1 3 2 3 3 5 率是 问 2 5 第二次闭合后出现红灯的概率是多少 三次发光中 出现一次红灯 两次绿灯的概率是多少 解 记第一次出现红灯 则接着又出现红灯为事件 A 则 记第一次出现绿灯 接着出现红灯 111 236 P A 为事件 B 则 133 2510 P B 显然 事件 A 与 B 相互独立 因此 第二次出现红灯的概率为 1 11 23 P 137 2515 由题意 三次发光中 出现一次红灯 两次绿灯的情况共有如下三种方式 当出现绿 绿 红时的概率为 123 255 当出现绿 红 绿时的概率为 132 253 当出现红 绿 绿时的概率为 122 235 所以三次发光中 出现一次红灯 两次绿灯的概率为 123 255 132 253 122 235 34 75 18 本小题满分 14 分 如图 四棱锥 P ABCD 的底面是正方形 PA 底面 ABCD PA AD 2 点 M N 分别在棱 PD PC 上 且平面 AMN PC 求证 AMPD 求二面角的大小 PAMN 求直线 CD 与平面 AMN 所成角的大小 证明 ABCD 是正方形 CD AD PA 底面 ABCD CD 底面 ABCD PA CD CD 平面 PADPAADA AM 平面 PAD CD AM PC 平面 AMN AM 底面 AMN PC AM 又 AM 平面 PCDPCCDC PD 平面 PCD AM 平面 PD 解法一 AM 平面 PCD 已证 AMPMAMNM 故 为二面角的平面角 PMN PAMN 平面 PN AMNPNNM 在 Rt PCD 中 2 2 22 3CDPDPC M 为 PD 的中点 PAADAMPD 1 2 2 PMPD 由 得 RtPMN RtPCD CD PM MN PC 即 23 cos 3 2 3 MNCD PMN PMPC 3 arccos 3 PMN 即二面角的大小为 PAMN 3 arccos 3 法 1 延长 NM CD 交于点 E 平面 PC AMN 为 CE 在平面内的射影NEAMN 为 CD 即 CE 与平面 AMN 所成的角CEN CDPD ENPN CENMPN 在中 RtPMN 3 sin 3 MN MPN PM 0 2 MPN 3 arcsin 3 MPN CD 与平面所成的角的大小为 AMN 3 arcsin 3 法 2 由已知为平面 AMN 的法向量 因此 CD 平面 AMN 所成的角等于 CD 与 PC 所成角的余角PC 故 CD 平面 AMN 所成的角为 2 tancot 2 CD PCD PD 2 arctan 2 19 如图 斜三棱柱 ABC A1B1C1 已知侧面 BB1C1C 是边长为 2 的菱形 且 CBB1 60 侧 面 BB1C1C 与底面 ABC 垂直 BCA 90 二面角 A BB1 C 为 30 1 求证 AC 平面 BB1C1C 2 求 AB1与平面 BB1C1C 所成角的大小 3 在平面 AA1B1B 内找一点 P 使三棱锥 P BB1C 为三棱锥 并求它的体积 1 证明 平面 ABC 平面 BB1C1C 且它们交于 BC AC BC AC 平面 BB1C1C 2 解 AC 平面 BB1C1C AB1C 是 AB1与平面 BB1C1C 所成的角 BCB1是正三角形 取 BB1的中点 M 连结 CM 则 CM BB1 连结 AM 则 AM BB1 AMC 是二面角 A BB1 C 的平面角 A B C P D N M A B C P D N M E A1 B1 C1 A B C M O P 在 Rt ACM 中 AC 1 tan AB1C 1 1 2 AC BC AB1与平面 BB1C1C 所成的角为 arctan 1 2 3 解 取正 BB1C 的中心 O 作 OP CA 交 AM 于 P 则 OP 平面 BB1C 从而 P BB1C 是一个正三棱锥 且 PO AC 1 3 1 3 1 31313 2 3439 P BB C V 20 一个布袋里有 3 个红球 2 个白球 抽取 3 次 每次任意抽取 2 个 并待放回后再抽下一次 求 1 每次取出的 2 个球都是 1 个白球和 1 个红球的概率 2 有 2 次每次取出的 2 个球是 1 个白球和 1 个红球 还有 1 次取出的 2 个球同色的概率 3 有 2 次每次取出的 2 个球是 1 个白球和 1 个红球 还有 1 次取出的 2 个球是红球的概率 解 记事件 A 为 一次取出的 2 个球是 1 个白球和 1 个红球 事件 B 为 一次取出的 2 个球都是白 球 事件 C 为 一次取出的 2 个球都是红球 A B C 互相独立 1 6 0 C CC A P 2 5 1 2 1 3 4 分 330 33 3 0 6 1 0 6 0 216PC 2 ACB 可以使用 n 次独立重复试验 所求概率为 8 分432 0 6 01 6 0C 2 P 2322 33 3 本题事件可以表示为 A A C A C A C A A P A A C A C A C A A C31P A P A P C 0 324 14 分 21 某厂生产的 A 产品按每盒 10 件进行包装 每盒产品均需检验合格后方可出厂 质检办法规定 从每盒 10 件 A 产品中任抽 4 件进行检验 若次品数不超过 1 件 就认为该盒产品合格 否则 就认 为该盒产品不合格 已知某盒 A 产品中有 2 件次品 1 求该盒产品被检验合格的概率 2 若对该盒产品分别进行两次检验 求两次检验得出的结果不一致的概率 解 从该盒 10 件产品中任抽 4 件 有等可能的结果数为种 1 分 4 10 C 1 其中次品数不超过 1 件有种 2 分 431 882 CC C 被检验认为是合格的概率为 4 分 431 882 4 10 CC C C 本步正确 对上两步不作要求 6 分 13 15 2 两次检验是相互独立的 可视为独立重复试验 7 分 因两次检验得出该盒产品合格的概率均为 故 两次检验得出的结果不一致 即两次检验中恰 13 15 有一次是合格的概率为 10 分 1 2 1313 C 1 1515 12 分 52 225 附加题 附加题 1 从 10 种不同的作物种子中选出 6 种分别放入 6 个不同的瓶子中展出 如果甲 乙两种种子都不许 放入第一号瓶子内 那么不同的放法共有 D A 种 B 种 155 285 c c c 11524 25858 c