高二数学解三角形测试题(附答案)

高中辅导网 京翰教育 1 对 1 家教 1 解三角形测试题 一 选择题 1 ABC 中 a 1 b A 30 则 B 等于 3 A 60 B 60 或 120 C 30 或 150 D 120 2 符合下列条件的三角形有且只有一个的是 A a 1 b 2 c 3 B a 1 b A 30 C a 1 b 2 A 100 D b c 1 B 45 2 3 在锐角三角形 ABC 中 有 A cosA sinB 且 cosB sinA B cosA sinB 且 cosBsinB 且 cosB sinA D cosAsinA 4 若 a b c b c a 3abc 且 sinA 2sinBcosC 那么 ABC 是 A 直角三角形 B 等边三角形 C 等腰三角形 D 等腰直角三角形 5 设 A B C 为三角形的三内角 且方程 sinB sinA x2 sinA sinC x sinC sinB 0 有等 根 那么角 B A B 60 B B 60 C B 60 D B 60 6 满足 A 45 c a 2 的 ABC 的个数记为 m 则 a m的值为 6 A 4 B 2 C 1 D 不定 7 如图 D C B 三点在地面同一直线上 DC a 从 C D 两点测得 A 点仰角分别是 A B 高中辅导网 京翰教育 1 对 1 家教 2 则 A 点离地面的高度 AB 等于 A B sin sinsin a cos sinsin a C D sin cossin a cos sincos a 8 两灯塔 A B 与海洋观察站 C 的距离都等于 a km 灯塔 A 在 C 北偏东 30 B 在 C 南 偏东 60 则 A B 之间的相距 A a km B a km C a km D 2a km 32 二 填空题 9 A 为 ABC 的一个内角 且 sinA cosA 则 ABC 是 三角形 12 7 10 在 ABC 中 A 60 c b 8 5 内切圆的面积为 12 则外接圆的半径为 11 在 ABC 中 若 S ABC a2 b2 c2 那么角 C 4 1 12 在 ABC 中 a 5 b 4 cos A B 则 cosC 32 31 三 解答题 13 在 ABC 中 求分别满足下列条件的三角形形状 B 60 b2 ac b2tanA a2tanB sinC a2 b2 sin A B a2 b2 sin A B BA BA coscos sinsin D C 高中辅导网 京翰教育 1 对 1 家教 3 14 已知 ABC 三个内角 A B C 满足 A C 2B 求 Acos 1 Ccos 1 Bcos 2 的值 2 cos CA 15 二次方程 ax2 bx c 0 其中 a b c 是一钝角三角形的三边 且以 b 为最长 2 证明方程有两个不等实根 证明两个实根 都是正数 若 a c 试求 的变化范围 16 海岛 O 上有一座海拨 1000 米的山 山顶上设有一个观察站 A 上午 11 时 测得一 高中辅导网 京翰教育 1 对 1 家教 4 轮船在岛北 60 东 C 处 俯角 30 11 时 10 分 又测得该船在岛的北 60 西 B 处 俯角 60 这船的速度每小时多少千米 如果船的航速不变 它何时到达岛的正西方向 此时所在点 E 离岛多少千 米 高中辅导网 京翰教育 1 对 1 家教 5 一 BDBBD AAC 二 9 钝角 10 11 12 3 3 14 4 8 1 三 13 分析 化简已知条件 找到边角之间的关系 就可判断三角形的形状 由余弦定理 acacca ac bca ac bca 22 222222 2 1 22 60cos0 2 ca 由 a c 及 B 60 可知 ABC 为等边三角形 由ca A Ab BaAb cos sin tantan 2 22 2sin2sin cossincossin sin sin cossin cossin cos sin 2 2 2 22 BABBAA A B a b BA AB B Ba A B 或 A B 90 ABC 为等腰 或 Rt 由正弦定理 BA BA C coscos sinsin sin 再由余弦定理 cos cosbaBAc ba ac bca c bc cba c 22 222222 由条件变形为 RtABCbacbacba为 0 222222 22 22 sin sin ba ba BA BA 90 2sin2sin sin sin sincos cossin sin sin sin sin 2 2 2 2 BABABA B A BA BA b a BABA BABA 或 ABC 是等腰 或 Rt 点评 这类判定三角形形状的问题的一般解法是 由正弦定理或 余弦定理将已知条件转化为只含边的式子或只含角的三角函数式 然后化简考察边或角的关系 从而确定三角形的形状 有时一个条件既可用正弦定理也可用余弦定理甚至可以混用 如本例 的 也可用余弦定理 请同学们试试看 14 分析 再代入三角式解得 A 或 C 解 120 60 2CABBCA 120 60 2180 2CABBBBCA 由已知条件化为 22cos 120cos 22 120cos 1 cos 1 AA AA 高中辅导网 京翰教育 1 对 1 家教 6 设 代入上式得 120cos cosAA 60 60 2 CA CA 则 60cos 化简整理得 60cos 60cos 22 60cos 023cos2cos24 2 注 本题有多种 2 2 2 cos 2 2 cos 0 3cos22 2cos2 CA 即 解法 即可以从上式中消去 B C 求出 cosA 也可以象本例的解法 还可以用和 差化积的公 式 同学们可以试一试 15 分析 证明方程有两个不等实根 即只要验证 0 即可 要证 为正数 只要证 明 0 0 即可 解 在钝角 ABC 中 b 边最长 acbacbBaccabB424 2 cos20cos1 22222 且 其中 0 cos4 24 cos2 2 222 BaccaacBacca0cos40 2 2 Bacca且 方程有两个不相等的实根 两实根 都是正数 0 0 2 a c a b a c 时 4 2 4 2 1 2 2 2 2222 a b a a c a b 2 0 4cos40 0cos1 cos4 4 cos2 2 2 222 因此BBB a aBacca 16 分析 这是一个立体的图形 要注意画图和空间的简单感觉 解 如图 所示 OB OA 千米 千米 3 3 30tan 3 OC 则 千米 3 13 120cos2 22 OCOBOCOBBC 高中辅导网 京翰教育 1 对 1 家教 7 千米 小时 392 60 10 3 13 v船速 由余弦定理得 OBCEBO BCOB OCBCOB OBCsinsin 26 135 2 cos 222 30 180sin sin 26 135 cos 26 393 26