代数式的化简求值问题

0 第二讲 代数式的化简求值问题第二讲 代数式的化简求值问题 一 知识链接一 知识链接 1 代数式 是用运算符号把数字或表示数字的字母连结而成的式子 它包括整式 分式 二次根式等内容 是初中阶段同学们应该重点掌握的内容之一 2 用具体的数值代替代数式中的字母所得的数值 叫做这个代数式的值 注 一般来说 代数式的值随着字母的取值的变化而变化 3 求代数式的值可以让我们从中体会简单的数学建模的好处 为以后学习方程 函数等知 识打下基础 二 典型例题二 典型例题 例例 1 若多项式的值与 x 无关 xyxxxmx537852 222 求的值 mmmm 452 22 分析 多项式的值与 x 无关 即含 x 的项系数均为零 因为 8382537852 2222 yxmxyxxxmx 所以 m 4 将 m 4 代人 44161644452 222 mmmmmm 利用 整体思想 求代数式的值 例例 2 x 2 时 代数式的值为 8 求当 x 2 时 代数式6 35 cxbxax 的值 6 35 cxbxax 分析 因为86 35 cxbxax 当 x 2 时 得到 86222 35 cba86222 35 cba 所以1468222 35 cba 当 x 2 时 6 35 cxbxax206 14 6222 35 cba 1 2008 20071 2007 2007 20072 2 223 23 aa aaa aa 2008 20071 2007 20072 20072 1 20072 20072 2 22 2 22 23 aa aaa aaa aaa aa 例例 3 当代数式的值为 7 时 求代数式的值 53 2 xx293 2 xx 分析 观察两个代数式的系数 由 得 利用方程同解原理 得753 2 xx23 2 xx693 2 xx 整体代人 4293 2 xx 代数式的求值问题是中考中的热点问题 它的运算技巧 解决问题的方法需要我们灵活掌 握 整体代人的方法就是其中之一 例例 4 已知 求的值 01 2 aa20072 23 aa 分析 解法一 整体代人 由 得 01 2 aa0 23 aaa 所以 解法二 降次 方程作为刻画现实世界相等关系的数学模型 还具有降次的功能 由 得 01 2 aaaa 1 2 所以 解法三 降次 消元 消元 减项 1 2 aa 2008 20071 2007 2007 2007 20072 2 22 223 23 aa aaaa aaa aa 例例 5 实际应用 A 和 B 两家公司都准备向社会招聘人才 两家公司招聘条件基本相同 2 只有工资待遇有如下差异 A 公司 年薪一万元 每年加工龄工资 200 元 B 公司 半年 薪五千元 每半年加工龄工资 50 元 从收入的角度考虑 选择哪家公司有利 分析 分别列出第一年 第二年 第 n 年的实际收入 元 第一年 A 公司 10000 B 公司 5000 5050 10050 第二年 A 公司 10200 B 公司 5100 5150 10250 第 n 年 A 公司 10000 200 n 1 B 公司 5000 100 n 1 5000 100 n 1 50 10050 200 n 1 由上可以看出 B 公司的年收入永远比 A 公司多 50 元 如不细心考察很可能选错 例例 6 三个数 a b c 的积为负数 和为正数 且 bc bc ac ac ab ab c c b b a a x 则 的值是 1 23 cxbxax 解 因为 abc0 所以 a b c 中只有一个是负数 不妨设 a0 c 0 则 ab 0 ac0 所以 x 1 1 1 1 1 1 0 将 x 0 代入要求的代数式 得到结果为 1 同理 当 b 0 c 0 时 x 0 另 观察代数式 交换 a b c 的位置 我们发现代 bc bc ac ac ab ab c c b b a a 数式不改变 这样的代数式成为轮换式 我们不用对 a b c 再讨论 有兴趣的同学可以 在课下查阅资料 看看轮换式有哪些重要的性质 规律探索问题 例例 7 如图 平面内有公共端点的六条射线 OA OB OC OD OE OF 从射线 OA 开 始按逆时针方向依次在射线上写出数字 1 2 3 4 5 6 7 1 17 在射线 上 2008 在射线 上 2 若 n 为正整数 则射线 OA 上数字的排列规律可以用含 n 的 A B D C E F O 1 7 2 8 39 4 10 5 11 6 12 3 代数式表示为 分析 OA 上排列的数为 1 7 13 19 观察得出 这列数的后一项总比前一项多 6 归纳得到 这列数可以表示为 6n 5 因为 17 3 6 1 所以 17 在射线 OE 上 因为 2008 334 6 4 335 6 2 所以 2008 在射线 OD 上 例例 8 将正奇数按下表排成 5 列 第一列 第二列 第三列 第四列 第五列 第一行 1 3 5 7 第二行 15 13 11 9 第三行 17 19 21 23 第四行 31 29 27 25 根据上面规律 2007 应在 A 125 行 3 列 B 125 行 2 列 C 251 行 2 列 D 251 行 5 列 分析 观察第二 三 四列的数的排列规律 发现第三列数规律容易寻找 第三列数 3 11 19 27 规律为 8n 5 因为 2007 250 8 7 251 8 1 所以 2007 应该出现在第一列或第五列 又因为第 251 行的排列规律是奇数行 数是从第二列开始从小到大排列 所以 2007 应该在第 251 行第 5 列 例例 9 2006 年嘉兴市 定义一种对正整数 n 的 F 运算 当 n 为奇数时 结果为 3n 5 当 n 为偶数时 结果为 其中 k 是使为奇数的正整数 并且运算重 k n 2 k n 2 复进行 例如 取 n 26 则 26134411 第一次 F 第二次 F 第三次 F 4 若 n 449 则第 449 次 F 运算 的结果是 分析 问题的难点和解题关键是真正理解 F 的第二种运算 即当 n 为偶数时 结果为 其中 k 是使 为奇数的正整数 要使所得的商为奇数 这个运算才能结束 k n 2 k n 2 449 奇数 经过 F 变为 1352 1352 是偶数 经过 F 变为 169 169 是奇数 经过 F 变为 512 512 是偶数 经过 F 变为 1 1 是奇数 经过 F 变为 8 8 是偶数 经过 F 变为 1 我们发现之后的规律了 经过多次运算 它的结果将出现 1 8 的交替