高中数学 2.2.3 向量数乘运算及其几何意义备课资料 新人教A版必修4

用心 爱心 专心1 备课资料备课资料 一 向量的数乘运算律的证明 设 a b 为任意向量 为任意实数 则有 1 a a 2 a a a 3 a b a b 证明 证明 1 如果 0 或 0 或 a 0 则 式显然成立 如果 0 0 且 a 0 则根据向量数乘的定义 有 a a a a a a 所以 a a 如果 同号 则 式两边向量的方向都与 a 同向 如果 异号 则 式两边向量的方向 都与 a 反向 因此 向量 a 与 a 有相等的模和相同的方向 所以这两个向量相等 2 如果 0 或 0 或 a 0 则 显然成立 如果 0 0 且 a 0 可分如下两种情况 当 同号时 则 a 和 a 同向 所以 a a a a a a a a a a 即有 a a a 由 同号 知 式两边向量的方向或都与 a 同向 或都与 a 反向 即 式两边向量的方向 相同 综上所述 式成立 如果 异号 当 时 式两边向量的方向都与 a 的方向相同 当 0 且 1 时如图 13 在平面内任取一点 O 作OA a AB b 1 OA a 11B A b 则 OB a b 1 OB a b 由作法知AB 11B A 有 OAB OA1B1 11B A AB 用心 爱心 专心2 所以 1 OA OA 11 11 BA BA 所以 AOB A1OB1 所以 1 OB OB AOB A1OB1 图 14 因此 O B B1在同一条直线上 1 OB OB 1 OB与 OB的方向也相同 所以 a b a b 当 0 时 由图 14 可类似证明 a b a b 所以 式也成立 二 备用习题 1 3 1 2 1 2a 8b 4a 2b 等于 A 2a b B 2b a C b a D a b 2 设两非零向量 e1 e2不共线 且 ke1 e2与 e1 ke2共线 则 k 的值为 A 1 B 1 C 1 D 0 3 若向量方 2x 3 x 2a 0 则向量 x 等于 A 5 6 a B 6a C 6a D 5 6 a 4 在 ABCAE 5 1 AB EF BC EF 交 AC 于 F 设AB a AC b 则BF用 a b 表示的形式 是BF 5 在 ABC M N P 分别是 AB BC CA 边上的靠近 A B C 的三等分点 O 是 ABC 平面上的任意一点 若OA OCOB 3 1 e1 2 1 e2 则OPONOM 6 已知 ABC 的重心为 G O 为坐标原点 OA a OB b OC c 求证 OG 3 1 a b c 7 对判断向量 a 2e 与 b 2e 是否共线 有如下解法 解解 a 2e b 2e b a a 与 b 共线 请根据本节所学的共线知识给以评析 如果解法有误 请 给出正确解法 参考答案参考答案 1 B 2 C 3 C 4 a 5 1 b 用心 爱心 专心3 5 3 1 e1 2 1 e2 6 连接 AG 并延长 设 AG 交BC于 M AB b a AC c a BC c b AM AB 2 1 BC b a 2 1 c b 2 1 c b 2a AG 3 2 AM 3 1 c b 2a OG OA AG a 3 1 c b 2a 3 1 a b c 7 评析评析 乍看上述解答 真是简单明快 然而 仔细研究题目已知 却发现其解答存在问题 这是因 为 原题已知中 对向量 e 并无任何限制 那么就应允许 e 0 而当 e 0 时 显然 a 0 b 0 此时 a 不符合定理中的条件 且使 b a 成立的 值也不唯一 如 1 1 2 等均可使 b a 成立 故不能应用定理来判断它们是否共线 可见 对 e 0 的情况应另法判断才妥 综上分析 此题应解答如下 解解 1 当 e 0 时 则 a 2e 0 由于 零向量与任一向量平行 且 平行向量也是共线向量 所以此时 a 与 b 共线 2 当 e 0