《高等数学》课程教学大纲

高等高等数学数学 课课程程教学教学大大纲纲 总共 144 课时 一 课课程程的的性性质质 目目的的和和任任务务 高等数学 是理 工类 非 数学 专业 本科各专业学生的一门必修的重要基 础理论课 它是为培养我国社会主义现代化建设所需要的高质量专门人才服 务的 通过本课程的学习 要使学生具有比较熟练的基本运算能力 综合运用所学 知识分析和解决实际问题的能力 数学建模及使用计算机求解数学模型的能力 初 步抽象概括问题的能力 自主学习的能力以及一定的逻辑推理能力 使学生在掌握 数学知识的同时 尽量多地理解数学思想 明晰数学方法 建立数学思维 为学习后继课程和进一步获取数学知识奠定必要的数学基础 二二 课课程程内内容容及及学学时时安安排排 序序号号内内容容学学时时安安排排总总计计 第一章函数与极限 18 第二章导数与微分 12 第三章微分中值定理与导数的应用 12 第四章不定积分 6 第五章定积分 6 第六章定积分的应用 6 第第一一学学期期 第七章微分方程 12 小计 72 第八章空间解析几何与向量代数 12 第九章多元函数微分法及其应用 20 第十章重积分 12 第十一章曲线积分与曲面积分 16 第第二二学学期期 第十二章无穷级数 12 小计 72 144 三三 课课程程教教学学基基本本要要求求及及基基本本内内容容 高高等等数数学学 上上 第第一一章章 函函数数与与极极限限 理解函数 复合函数及分段函数的概念 理解极限 左极限与右极限的概念 理解 无穷小 无穷大的概念 理解函数连续性的概念 含左连续与右连续 掌 握基本初等函数的性质及其图形 掌握极限的性质及四则运算法则 掌握极限存在 的两个准则 掌握利用两个重要极限求极限的方法 掌握无穷小的比较方法 了解 函数的奇偶性 单调性 周期性和有界性 了解反函数及隐函数的概念 以及极限 存在与左 右极限之间的关系 了解连续函数的性质和初等函数的连续性 了解闭 区间上连续函数的性质 有界性 最大值最小值定理和介值定理 会建立简 单应用问题中的函数关系式 会利用极限存在的两个准则求极限 会用等价无穷小 求极限 会判别函数间断点的类型 会应用闭区间上连续函数的性质 第第二二章章 导导数数与与微微分分 理解导数和微分的概念 理解导数与微分的关系 理解导数的几何意义 理解函数 的可导性与连续性之间的关系 掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则 掌握基本初等函数的导数公式 了解导数的物理意义 了解微分的四则运算法则和 一阶微分形式的不变性 了解微分在近似计算中的应用 了解高阶导数的概念 会 求平面曲线的切线方程和法线方程 会用导数描述一些物理量 会求函数的微分 会求简单函数的n 阶导数 会求分段函数的一阶 二阶导数 会求隐函数和由参 数方程所确定的函数的一阶 二阶导数 会求反函数的导数 第第三三章章 微微分分 中中值值定定理理与与导导数数的的应应用用 理解函数的极值概念 掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法 掌握函 数最大值和最小值的求法及其简单应用 掌握用洛必达法则求未定式极限的方法 了解柯西中值定理 了解曲率和曲率半径的概念 会用罗尔定理 拉格朗日中值定 理和泰勒定理 会用导数判断函数图形的凹凸性和拐点 会求函数图形的水平 铅 直和斜渐近线 会描绘函数的图形 会计算曲率和曲率半径 会求两曲线的交角 第第四四章章 不不定定积积分分 理解原函数 不定积分的概念 掌握不定积分性质 掌握不定积分的基本公式 掌 握换元积分法与分部积分法 会求有理函数 三角函数有理式及简单无理函数的积 分 第第五五章章 定定积积分分 理解定积分的概念 理解变上限定积分定义的函数及其求导公式 掌握定积分的性 质及定积分中值定理 掌握牛顿 莱布尼茨公式 掌握定积分的换元积分法与分部 积分法 了解广义积分的概念并会计算广义积分 第第六六章章 定定积积分分的的应应用用 掌握定积分的元素法 掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量 平面 图形的面积 平面曲线的弧长 旋转体的体积及侧面积 平行截面面积为已知的立 体体积 变力作功 引力 压力及函数的平均值等 第第七七章章 微微分分方方程程 理解线性微分方程解的性质及解的结构定理 掌握变量可分离的方程及一阶线性方 程的解法 掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法 了解微分方程及其解 阶 通解 初始条件和特解等概念 了解微分方程的幂级数解法 会解齐次方程 伯努 利方程和全微分方程 会用简单的变量代换解某些微分方程 会用降价法解下列方 程 和了 会解某些高于二阶的常系数 xfy n yxfy yyfy 齐次线性微分方程 会求自由项为多项式 指数函数 正弦函数 余弦函数 以及 它们的和与积的二级常系数非齐次线性微分方程的特解和通解 会解欧拉方程 会 解包含两个未知函数的一阶常系数线性微分方程组 会用微分方程 或方程组 解 决一些简单的应用问题 高高等等数数学学 下下 第第八八章章 空空间间解解析析几几何何与与向向量量代代数数 理解空间直角坐标系 理解向量的概念及表示 理解曲面方程的概念 掌握向量的 运算 线性运算 数量积 向量积 混合积 掌握单位向量 方向数与方向 余弦 向量的坐标表达式 以及用坐标表达式进行向量运算的方法 掌握平面方程 和直线方程及其求法 了解两个向量垂直 平行的条件 了解常用二次曲面的方程 及其图形 了解平面曲线的参数方程和一般方程 了解 会利用平面 直线的相互 关系 平行 垂直 相交等 解决有关问题 会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及 母线平行于坐标轴的柱面方程 会求空间曲线在坐标面上的投影曲线的方程 第第九九章章 多多元元函函数数微微分分法法及及其其应应用用 理解多元函数的概念 理解二元函数的几何意义 理解多元函数偏导数和全微 分的概念 理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法 理解多元函数极值和条 件极值的概念 掌握多元复合函数偏导数的求法 掌握方向导数与梯度的计算方法 掌握多元函数极值存在的必要条件 了解二元函数的偏导数和全微分的概念 以及 有界闭区域上连续函数的性质 了解全微分存在的必要条件和充分条件 了解全微 分形式的不变性 了解全微分在近似计算中的应用 了解曲线的切线和法平面及曲 面的切平面和法线的概念 了解二元函数极值存在的充分条件 会求全微分 会求 隐函数 包括由方程组确定的隐函数 的偏导数 会求曲线的切线和法平面及曲面 的切平面和法线的方程 会求二元函数的极值 会用拉格朗日乘数法求条件极值 会求简单多元函数的最大值和最小值 并会解决一些简单的应用问题 第第十十章章 重重积积分分 理解二重积分 三重积分的概念 掌握二重积分 直角坐标 极坐标 的计算方法 了解重积分的性质 了解二重积分 三重积分的概念 了解重积分的性质 了解二 重积分的中值定理 会计算三重积分 直角坐标 柱面坐标 球面坐标 第第十十 一一章章 曲曲线线积积分分与与曲曲面面积积分分 理解两类曲线积分的概念 掌握计算两类曲线积分的方法 掌握格林公式并会运用 平面曲线积分与路径无关的条件 掌握计算两类曲面积分的方法 了解两类曲线积 分的性质及两类曲线积分的关系 了解两类曲面积分的概念 性质及两类曲面积分 的关系 了解高斯公式 斯托克斯公 会用高斯公式计算曲面积分 会用重积分 曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量 平面图形的面积 体积 曲面面积 弧长 质量 重心 转动惯量 引力 功及流量等 会计算散度与旋度 第第十十 二二章章 无无穷穷级级数数 理解常数项级数收敛 发散以及收敛级数的和的概念 掌握级数的基本性质及收敛 的必要条件 掌握几何级数与级数的收敛与发散的条件 掌握正项级数的比 p 较审敛法和比值审敛法 掌握交错级数的莱布尼茨定理 掌握幂级数的收敛半径 收敛区间及收敛域的求法 掌握 和的麦克 x exsinxcos 1ln x 1 x 劳林展开式 了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念 以及绝对收敛与条件收 敛的关系 了解函数项级数的收敛域及和函数的概念 了解幂级数在其收敛区间内 的一些基本性质 了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件 了解幂级数在近似计 算上的简单应用 了解傅里叶级数的概念和函数展开为傅里叶级数的狄利克雷定理 会用根值审敛法 会求一些幂级数在收敛区间内的和函数 会将一些简单函数间接 展开成幂级数 会将定义在上的函数展开为傅里叶级数 会将定义在 ll 上的函数展开为正弦级数与余弦级数 会写出傅里叶级数的和函数的表达式 0 l 四四 教教材材与与参参考考书书 高等数学 上 下册 同济大学 第六版 数学教研室主编 高等教育出 版社 高等数学 辅导 同济大学 彭辉等主编 山东科学技术出版社 数学分析 上 下册 复旦大学陈传璋等编 高等教育出版社 高等数学释疑解难 工科数学课程教学指导委员会编 高等教育出版 五五 本本课课程程的的教教学学方方式式 本课程的特点是理论性强 思想性强 与相关基础课及专业课联系较多 教 学中应注重启发引导学生掌握重要概念的背景思想 理解重要概念的思想本质 避 免学生死记硬背 要善于将有关学科或生活中常遇到的名词概念与微积分学的概念 结合起来 使学生体会到学习微积分的必要性 注重各教学环节 理论教学 习题 课 作业 辅导 的有机联系 特别是强化作业与辅导环节 使学生加深对课 堂教学内容的理解 提高分析解决问题的能力和运算能力 教学中有计划有目的地 向学生介绍学习数学与学习专业课之间的关系 学习高等数学是获取进一步学习机 会的关键学科 由于学科特点 本课程教学应突出教师的中心地位 通过教师的努 力 充分