题型四-反比例函数与一次函数综合题

1 题型四 反比例函数与一次函数综合题 针对演练针对演练 1 如图 一次函数 y kx 1 k 0 与反比例函数 y m 0 的图象 m x 有公共点 A 1 2 直线 l x 轴于点 N 3 0 与一次函数和反比例 函数的图象分别相交于点 B C 连接 AC 1 求 k 和 m 的值 2 求点 B 的坐标 3 求 ABC 的面积 第 1 题图 2 2 已知正比例函数 y 2x 的图象与反比例函数 y k 0 在第一象 k x 限内的图象交于点 A 过点 A 作 x 轴的垂线 垂足为点 P 已知 OAP 的面积为 1 1 求反比例函数的解析式 2 有一点 B 的横坐标为 2 且在反比例函数图象上 则在 x 轴上是 否存在一点 M 使得 MA MB 最小 若存在 请求出点 M 的坐标 若不存在 请说明理由 第 2 题图 3 3 如图 反比例函数的图象与一次函数 y kx b 的图象交于 2 y x 点 A B 点 A B 的横坐标分别为 1 2 一次函数图象与 y 轴 交于点 C 与 x 轴交于点 D 1 求一次函数的解析式 2 对于反比例函数 当 y 1 时 写出 x 的取值范围 2 y x 3 在第三象限的反比例函数图象上是否存在一点 P 使得 S ODP 2S OCA 若存在 请求出点 P 的坐标 若不存在 请说明理由 第 3 题图 4 4 2016 巴中 10 分 已知 如图 一次函数 y kx b k b 为常数 k 0 的图象与 x 轴 y 轴分别交于 A B 两点 且与反比例函数 y n 为常数且 n 0 的图象在第二象限交于点 C CD x 轴 垂足为 D n x 若 OB 2OA 3OD 6 1 求一次函数与反比例函数的解析式 2 求两函数图象的另一个交点坐标 3 直接写出不等式 kx b 的解集 n x 第 4 题图 5 5 如图 点 A 2 n B 1 2 是一次函数 y kx b 的图象和反 比例函数 y 的图象的两个交点 m x 1 求反比例函数和一次函数的解析式 2 根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的 x 的取值范 围 3 若 C 是 x 轴上一动点 设 t CB CA 求 t 的最大值 并求出此 时点 C 的坐标 第 5 题图 6 6 如图 直线 y1 x 1 与 x 轴交于点 A 与 y 轴交于点 C 与反比 1 4 例函数 y2 x 0 的图象交于点 P 过点 P 作 PB x 轴于点 B 且 m x AC BC 1 求点 P 的坐标和反比例函数 y2的解析式 2 请直接写出 y1 y2时 x 的取值范围 3 反比例函数 y2图象上是否存在点 D 使四边形 BCPD 为菱形 如 果存在 求出点 D 的坐标 如果不存在 说明理由 第 6 题图 7 7 如图 直线 y x b 与 x 轴交于点 C 4 0 与 y 轴交于点 B 并 与双曲线 y x 0 交于点 A 1 n m x 1 求直线与双曲线的解析式 2 连接 OA 求 OAB 的正弦值 3 若点 D 在 x 轴的正半轴上 是否存在以点 D C B 构成的三角 形 OAB 相似 若存在求出 D 点的坐标 若不存在 请说明理由 第 7 题图 8 8 2016 金华 8 分 如图 直线 y x 与 x y 轴分别交于点 3 33 A B 与反比例函数 y k 0 图象交于点 C D 过点 A 作 x 轴 k x 的垂线交该反比例函数图象于点 E 1 求点 A 的坐标 2 若 AE AC 求 k 的值 试判断点 E 与点 D 是否关于原点 O 成中心对称 并说明理由 第 8 题图 9 9 如图 已知双曲线 y 经过点 D 6 1 点 C 是双曲线第三象限 k x 上的动点 过点 C 作 CA x 轴 过点 D 作 DB y 轴 垂足分别为 A B 连接 AB BC 1 求 k 的值 2 若 BCD 的面积为 12 求直线 CD 的解析式 3 判断 AB 与 CD 的位置关系 并说明理由 第 9 题图 10 10 如图 点 B 为双曲线 y x 0 上一点 直线 AB 平行于 y 轴 k x 交直线 y x 于点 A 交 x 轴于点 D 双曲线 y 与直线 y x 交于 k x 点 C 若 OB2 AB2 4 1 求 k 的值 2 点 B 的横坐标为 4 时 求 ABC 的面积 3 双曲线上是否存在点 P 使 APC AOD 若存在 求出点 P 的坐标 若不存在 请说明理由 第 10 题图 11 答案答案 1 解 1 点 A 1 2 是一次函数 y kx 1 与反比例函数 y 的公共点 m x k 1 2 2 k 1 m 2 1 m 2 直线 l x 轴于点 N 3 0 且与一次函数的图象交于点 B 点 B 的横坐标为 3 将 x 3 代入 y x 1 得 y 3 1 4 点 B 的坐标为 3 4 3 如解图 过点 A 作 AD 直线 l 垂足为点 D 由题意得 点 C 的横坐标为 3 点 C 在反比例函数图象上 y C 点坐标为 3 2 x 2 3 2 3 BC BN CN 4 2 3 10 3 又 AD 3 1 2 S ABC BC AD 2 1 2 1 2 10 3 10 3 12 第 1 题解图 2 解 1 设 A 点的坐标为 x y 则 OP x PA y OAP 的面积为 1 xy 1 1 2 xy 2 即 k 2 反比例函数的解析式为 2 y x 2 存在 如解图 作点 A 关于 x 轴的对称点 A 连接 A B 交 x 轴于点 M 此时 MA MB 最小 点 B 的横坐标为 2 点 B 的纵坐标为 y 1 2 2 即点 B 的坐标为 2 1 又 两个函数图象在第一象限交于 A 点 2 2x x 解得 x1 1 x2 1 舍去 y 2 点 A 的坐标为 1 2 点 A 关于 x 轴的对称点 A 1 2 设直线 A B 的解析式为 y kx b 代入 A 1 2 B 2 1 得 13 23 215 kbk kbb 解得 直线 A B 的解析式为 y 3x 5 令 y 0 得 x 5 3 直线 y 3x 5 与 x 轴的交点为 0 5 3 即点 M 的坐标为 0 5 3 第 2 题解图 3 解 1 反比例函数 y 图象上的点 A B 的横坐标 2 x 分别为 1 2 点 A 的坐标为 1 2 点 B 的坐标为 2 1 点 A 1 2 B 2 1 在一次函数 y kx b 的图象上 21 211 kbk kbb 解得 一次函数的解析式为 y x 1 2 由图象知 对于反比例函数 当 y 1 时 x 的取值 2 y x 范围是 2 x 0 14 3 存在 对于 y x 1 当 y 0 时 x 1 当 x 0 时 y 1 点 D 的坐标为 1 0 点 C 的坐标为 0 1 设点 P m n S ODP 2S OCA 1 n 2 1 1 1 2 1 2 n 2 点 P m 2 在反比例函数图象上 2 2 m m 1 点 P 的坐标为 1 2 4 解 1 OB 2OA 3OD 6 OA 3 OD 2 A 3 0 B 0 6 D 2 0 将点 A 3 0 和 B 0 6 代入 y kx b 得 302 66 kbk bb 解得 一次函数的解析式为 y 2x 6 3 分 将 x 2 代入 y 2x 6 得 y 2 2 6 10 点 C 的坐标为 2 10 将点 C 2 10 代入 y 得 n x 15 10 解得 n 20 2 n 反比例函数的解析式为 5 分 20 y x 2 将两个函数解析式组成方程组 得 26 20 yx y x 解得 x1 2 x2 5 7 分 将 x 5 代入 20 4 y x 两函数图象的另一个交点坐标是 5 4 8 分 3 2 x 0 或 x 5 10 分 解法提示 不等式 kx b 的解集 即是直线位于双曲线下 n x 方的部分所对应的自变量 x 的取值范围 也就是 2 x 0 或 x 5 5 解 1 点 A 2 n B 1 2 是一次函数 y kx b 的 图象和反比例函数 y 的图象的两个交点 m x m 2 反比例函数解析式为 2 y x n 1 点 A 2 1 将点 A 2 1 B 1 2 代入 y kx b 得 211 21 kbk kbb 解得 一次函数的解析式为 y x 1 16 2 结合图象知 当 2 x 0 或 x 1 时 一次函数的值小于反 比例函数的值 3 如解图 作点 A 关于 x 轴的对称点 A 连接 BA 延长交 x 轴 于点 C 则点 C 即为所求 A 2 1 A 2 1 设直线 A B 的解析式为 y mx n 1 12 3 25 3 m mn mn n 解得 y x 1 3 5 3 令 y 0 得 x 5 则 C 点坐标为 5 0 t 的最大值为 A B 2 1 2 1 2 210 第 5 题解图 6 解 1 一次函数 y1 x 1 的图象与 x 轴交于点 A 与 1 4 y 轴交于点 C 17 A 4 0 C 0 1 又 AC BC CO AB O 为 AB 的中点 即 OA OB 4 且 BP 2OC 2 点 P 的坐标为 4 2 将点 P 4 2 代入 y2 得 m 8 m x 反比例函数的解析式为 y2 8 x 2 x 4 解法提示 由图象可知 当 y1 y2时 即是直线位于双曲线 上方的部分 所对应的自变量 x 的取值范围是 x 4 3 存在 假设存在这样的 D 点 使四边形 BCPD 为菱形 如解 图 连接 DC 与 PB 交于点 E 四边形 BCPD 为菱形 CE DE 4 CD 8 D 点的坐标为 8 1 将 D 8 1 代入反比例函数 D 点坐标满足函数关系式 8 y x 即反比例函数图象上存在点 D 使四边形 BCPD 为菱形 此时 D 点坐标为 8 1 18 第 6 题解图 7 解 1 直线 y x b 与 x 轴交于点 C 4 0 把点 C 4 0 代入 y x b 得 b 4 直线的解析式为 y x 4 直线也过 A 点 把点 A 1 n 代入 y x 4 得 n 5 A 1 5 将 A 1 5 代入 y x 0 得 m 5 m x 双曲线的解析式为 5 y x 2 如解图 过点 O 作 OM AC 于点 M 点 B 是直线 y x 4 与 y 轴的交点 令 x 0 得 y 4 点 B 0 4 OC OB 4 OCB 是等腰直角三角形 OBC OCB 45 在 OMB 中 sin45 OM 2 OM OB 4 OM 2 AO 12 5226 19 在 AOM 中 sin OAB OM OA 2 2 26 2 13 13 第 7 题解图 3 存在 如解图 过点 A 作 AN y 轴于点 N 则 AN 1 BN 1 AB 12 122 OB OC 4 BC 4 42 422 又 OBC OCB 45 OBA BCD 135 OBA BCD 或 OBA DCB 或 OB BC BA CD OB DC BA BC 即 或 4 4 2 2 CD 4 DC 2 4 2 CD 2 或 CD 16 点 C 4 0 点 D 的坐标是 6 0 或 20 0 20 8 解 1 当 y 0 时 得 0 x 解得 x 3 3 33 点 A 的坐标为 3 0 2 分 2 如解图 过点 C 作 CF x 轴于点 F 设 AE AC t 点 E 的坐标是 3 t 在 Rt AOB 中 tan OAB OB OA 3 3 OAB 30 在 Rt ACF 中 CAF 30 CF t AF AC cos30 t 1 2 3 2 点 C 的坐标是 3 t t 3 2 1 2 点 C E 在 y 的图象上 k x 3 t t 3t 3 2 1 2 解得 t1 0 舍去 t2 2 3 k 3t 6 5 分 3 点 E 与点 D 关于原点 O 成中心对称 理由如下 由 知 点 E 的坐标为 3 2 3 设点 D 的坐标是 x x 3 33 x x 6 解得 x1 6 舍去 x2 3 3 333 21 点 D 的坐标是 3 2 3 点 E 与点 D 关于原点 O 成中心对称 8 分 第 8 题解图 9 解 1 双曲线 y 经过点 D 6 1 k x 1 解得 k 6 6 k 2 设点 C 到 BD 的距离为 h 点 D 的坐标为 6 1 DB y 轴 BD 6 S BCD 6 h 12 1 2 解得 h 4 点 C 是双曲线第三象限上的动点 点 D 的纵坐标为 1 点 C 的纵坐标为 1 4 3 3 解得 x 2 6 x 点 C 的坐标为 2 3 设直线 CD 的解析式为 y kx b 则 22 1 23 2 61 2 kbk kb b 解得 直线 CD 的解析式为 y x 2 1 2 3 AB CD 理由如下 CA x 轴 DB y 轴 点 D 的坐标为 6 1 设点 C 的坐标为 c 6 c 点 A B 的坐标分别为 A c 0 B 0 1 设直线 AB 的解析式为 y mx n 则 1 0 1 1 mcnm c n n 解得 直线 AB 的解析式为 y 1 1 x c 设直线 CD 的解析式为 y ex f 则 1 6 6 61 e ecf c c c eff c 解得 直线 CD 的解析式为 y 1 x c 6c c AB CD 的解析式中 k 都等