【步步高】2014届高三数学一轮 12.3 模拟方法 概率的应用导学案 理 北师大版

1 学案学案 6262 几何概型几何概型 导学目标 1 了解随机数的意义 能运用模拟方法估计概率 2 了解几何概型的意 义 自主梳理 1 几何概型 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度 面积或体积 成比例 则称这样 的概率模型为几何概率模型 简称为几何概型 2 在几何概型中 事件A的概率计算公式 P A 求试验中几何概型的概率 关键是求得事件所占区域和整个区域 的几何度量 然后 代入公式即可求解 3 要切实理解并掌握几何概型试验的两个基本特点 1 无限性 在一次试验中 可能出现的结果有无限多个 2 等可能性 每个结果的发生具有等可能性 4 古典概型与几何概型的区别 1 相同点 基本事件发生的可能性都是 2 不同点 古典概型的基本事件是有限个 是可数的 几何概型的基本事件是 是不可数的 自我检测 1 2011 南阳调研 在长为 12 cm 的线段AB上任取一点M 并且以线段AM为边作正 方形 则这个正方形的面积介于 36 cm2与 81 cm2之间的概率为 A B C D 1 4 1 3 4 27 4 15 2 2011 福建 如图 矩形ABCD中 点E为边CD的中点 若在矩形ABCD内部随机 取一个点Q 则点Q取自 ABE内部的概率等于 A B C D 1 4 1 3 1 2 2 3 3 如图所示 A是圆上一定点 在圆上其他位置任取一点A 连接AA 得到一条弦 则此弦的长度小于或等于半径长度的概率为 A B 1 2 3 2 C D 1 3 1 4 4 2010 湖南 在区间 1 2 上随机取一个数x 则 x 1 的概率为 5 2011 江西 小波通过做游戏的方式来确定周末活动 他随机地往单位圆内投掷一 2 点 若此点到圆心的距离大于 则周末去看电影 若此点到圆心的距离小于 则去打篮 1 2 1 4 球 否则 在家看书 则小波周末不在家看书的概率为 探究点一 与长度有关的几何概型 例 1 国家安全机关监听录音机记录了两个间谍的谈话 发现 30 min 长的磁带上 从 开始 30 s 处起 有 10 s 长的一段内容包含两间谍犯罪的信息 后来发现 这段谈话的一 部分被某工作人员擦掉了 该工作人员声称他完全是无意中按错了键 使从此处起往后的 所有内容都被擦掉了 那么由于按错了键使含有犯罪的内容的谈话被部分或全部擦掉的概 率有多大 变式迁移 1 在半径为 1 的圆的一条直径上任取一点 过这个点作垂直于直径的弦 则弦长超过圆内接等边三角形边长的概率是 探究点二 与角度有关的几何概型 例 2 2011 承德模拟 如图所示 在等腰 Rt ABC中 过直角顶点C在 ACB内部作 一条射线CM 与线段AB交于点M 求AMb 当a b时 a b取值的情况有 1 0 2 0 2 1 3 0 3 1 3 2 即A包 含的基本事件数为 6 方程f x 0 有两个不相等实根的概率为P A 6 分 6 12 1 2 2 a从区间 0 2 中任取一个数 b从区间 0 3 中任取一个数 则试验的全部结果 构成区域 a b 0 a 2 0 b 3 这是一个 4 矩形区域 其面积S 2 3 6 8 分 设 方程f x 0 没有实根 为事件B 则事件B所构成的区域为M a b 0 a 2 0 b 3 a b 即图中阴影部分的梯形 其面积SM 6 2 2 4 10 分 1 2 由几何概型的概率计算公式可得方程f x 0 没有实根的概率为P B 12 分 SM S 4 6 2 3 突破思维障碍 1 古典概型和几何概型的区别在于试验的全部结果是否有限 因此到底选用哪一种模 型 关键是对试验的确认和分析 2 用几何概型求解的概率问题和古典概型的思路是相同的 同属于 比例解法 易错点剖析 1 计算古典概型的概率时 列举基本事件应不重不漏 2 计算几何概型的概率时 区域的几何度量要准确无误 1 几何概型 若一个试验具有两个特征 每次试验的结果是无限多个 且全体结果 可用一个有度量的几何区域来表示 每次试验的各种结果是等可能的 那么这样的 试验称为几何概型 2 由概率的几何定义可知 在几何概型中 等可能 一词应理解为对应于每个试验 结果的点落入某区域内的可能性大小仅与该区域的几何度量成正比 而与该区域的位 置与形状无关 3 几何概型的概率公式 设几何概型的基本事件空间可表示成可度量的区域 事 件A所对应的区域用A表示 A 则P A A的度量 的度量 满分 75 分 一 选择题 每小题 5 分 共 25 分 1 2009 辽宁 ABCD为长方形 AB 2 BC 1 O为AB的中点 在长方形ABCD内随 机取一点 取到的点到O的距离大于 1 的概率为 A B 1 C D 1 4 4 8 8 2 2011 天津和平区模拟 在面积为S的 ABC的边AB上任取一点P 则 PBC的面 积大于 的概率是 S 4 A B C D 1 4 1 2 3 4 2 3 3 2010 青岛模拟 5 如右图 在一个长为 宽为 2 的矩形OABC内 曲线y sin x 0 x 与x轴围 成如图所示的阴影部分 向矩形OABC内随机投一点 该点落在矩形OABC内任何一点是等可 能的 则所投的点落在阴影部分的概率是 A B C D 1 2 3 4 4 已知函数f x x2 bx c 其中 0 b 4 0 c 4 记函数f x 满足Error 的事件 为A 则事件A的概率为 A B C D 5 8 1 2 3 8 1 4 5 2011 滨州模拟 在区域Error 内任取一点P 则点P落在单位圆x2 y2 1 内的 概率为 A B C D 2 8 6 4 二 填空题 每小题 4 分 共 12 分 6 2010 陕西 从如图所示的长方形区域内任取一个点M x y 则点M落在阴影部分的概率为 7 如图所示 半径为 10 cm 的圆形纸板内有一个相同圆心的半径为 1 cm 的小圆 现 将半径为 1 cm 的一枚硬币抛到此纸板上 使硬币整体随机落在纸板内 则硬币落下后与小 圆无公共点的概率为 8 2011 济南模拟 在可行域内任取一点 规则如程序框图所示 则能输出数对 x y 的概率是 6 三 解答题 共 38 分 9 12 分 已知等腰 Rt ABC中 C 90 1 在线段BC上任取一点M 求使 CAM 30 的概率 2 在 CAB内任作射线AM 求使 CAM0 成立时的概率 学案学案 6262 几何概型几何概型 自主梳理 2 构成事件A的区域长度 面积或体积 试验的全部结果所构成的区域长度 面积或体积 4 1 相等的 2 无限个 自我检测 1 A AM 2 36 81 AM 6 9 P 9 6 12 3 12 1 4 2 C 这是一道几何概型的概率问题 点 Q 取自 ABE 内部的概率为 S ABE S矩形ABCD 1 2 AB AD AB AD 1 2 故选C 3 C 当 A OA 时 AA OA P 3 2 3 2 1 3 4 2 3 解析 由 x 1 得 1 x 1 由几何概型的概率求法知 所求的概率 P 区间 1 1 的长度 区间 1 2 的长度 2 3 5 13 16 解析 去看电影的概率 P1 12 1 2 2 12 3 4 去打篮球的概率 P2 1 4 2 12 1 16 8 不在家看书的概率为 P 3 4 1 16 13 16 课堂活动区 例 1 解题导引 解决概率问题先判断概型 本题属于几何概型 满足两个条件 基 本事件的无限性和每个基本事件发生的等可能性 需要抓住它的本质特征 即与长度有 关 解 包含两个间谍谈话录音的部分在 30 s和 40 s之间 当按错键的时刻在这段时间 之内时 部分被擦掉 当按错键的时刻在 0 到 30 s之间时全部被擦掉 即在 0 到 40 s之 间 即 0 到 min之间的时间段内按错键时含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉 而 0 2 3 到 30 min之间的时间段内任一时刻按错键的可能性是相等的 所以按错键使含有犯罪内容 的谈话被部分或全部擦掉的概率只与从开始到谈话内容结束的时间段长度有关 符合几何 概型的条件 记 A 按错键使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉 A 的发生就是在 0 到 min 2 3 时间段内按错键 P A 2 3 30 1 45 变式迁移 1 1 2 解析 记 弦长超过圆内接等边三角形的边长 为事件 A 如图所示 不妨在过等边三角形 BCD 的顶点 B 的直径 BE 上任取一点 F 作垂直于直径的弦 当弦为 CD 时 就是等边三角形 的边长 弦长大于 CD 的充要条件是圆心 O 到弦的距离小于 OF 由几何概型的概率公式得 P A 1 2 2 2 1 2 例 2 解题导引 如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用角度来表示 则其概 率公式为 P A 构成事件A的角度 试验的全部结果所构成区域的角度 解 在 AB 上取 AC AC 连接 CC 则 ACC 67 5 180 45 2 设 A 在 ACB 内部作出一条射线 CM 与线段 AB 交于点 M AM AC 则 90 A 67 5 P A A 67 5 90 3 4 变式迁移 2 解 不一样 这时 M 点可取遍 AC 长度与 AC 相等 上的点 故此事件的概率应为 AC 长度 AB长度 2 2 9 例 3 解题导引 解决此题的关键是将已知的两个条件转化为线性约束条件 从而转 化成平面区域中与面积有关的几何概型问题 对于几何概型的应用题 关键是构造出随机事件 A 对应的几何图形 利用几何图形的 度量来求随机事件的概率 根据实际问题的具体情况 合理设置参数 建立适当的坐标系 在此基础上将试验的每一个结果一一对应于该坐标系的一点 便可构造出度量区域 解 设两人分别于 x 时和 y 时到达约见地点 要使两人能在约定的时间范围内相 见 当且仅当 x y 2 3 两人在约定时间内到达约见地点的所有可能结果可用图中的单位正方形内 包括边界 的点来表示 两人在约定时间内相见的所有可能结果可用图中的阴影部分 包括边界 的点 来表示 因此阴影部分与单位正方形的面积比就反映了两人在约定时间范围内相遇的可能 性的大小 也就是所求的概率 即 P S阴影部分 S单位正方形 1 1 3 2 12 8 9 变式迁移 3 解 设甲 乙两船到达时间分别为 x y 则 0 x 24 0 y 24 且 y x 4 或 y x 4 作出区域Error 设 两船无需等待码头空出 为事件 A 则 P A S阴影部分 S正方形 2 1 2 20 20 24 24 25 36 课后练习区 1 B 当以 O 为圆心 1 为半径作圆 则圆与长方形的公共区域内的点满足到点 O 的 距离小于或等于 1 故所求事件的概率为 P A 1 A S长方形 S半圆 S长方形 4 2 C 由于 ABC PBC 有公共底边 BC 所以只需 P 位于线段 BA 靠近 B 的四分之一 分点 E 与 A 之间 即构成一个几何概型 所求的概率为 AE AB 3 4 3 A S矩形 OABC 2 S阴影 sin xdx 2 0 由几何概型概率公式得 P 2 2 1 4 A 10 满足 0 b 4 0 c 4 的区域的面积为 4 4 16 由Error 得Error 其表示的区域如图中阴影部分所示 其面积为 2 4 1 2 2 2 4 10 故事件 A 的概率为 1 2 10 16 5 8 5 D 区域为 ABC 内部 含边界 则概率为 P S半圆 S ABC 2 1 2 2 2 2 4 6 1 3 解析 阴影部分的面积为 S 3x2dx x3 1 所以点 M 落在阴影区域的概率为 1 01 0 1 3 7 77 81 解析 由题意知 硬币的中心应落在距圆心 2 9 cm的圆环上 圆环的面积为 92 22 77 故所求概率为 77 81 77 81 8 4 解析 根据题意易知输出数对 x y 的