例谈函数值域的求法

1 例谈函数值域的求法例谈函数值域的求法 1 配方法 配方法 主要用于和一元二次函数有关的函数求值域问题 例 1 设 求函数的值域 02x 1 43 21 xx f x A 解 12 43 21 23 8 xxx f x A 02x 24 x 当时 函数取得最小值 当时 函数取得最大值 23 x 8 21 x 4 函数的值域为 84 评注 配方法往往需结合函数图象求值域 2 单调性法 单调性法 单调性法是求函数值域的常用方法 就是利用我们所学的基本初等函数的单调性 再根据 所给定义域来确定函数的值域 例 2 函数 的值域是 2 1 f xx x 1 x 解析 函数和在上都是减函数 所以 所以函数 2 yx 1 y x 1 min 1 0yf 的值域为 f x 0 3 数形结合法 数形结合法 对于一些函数 如二次函数 分段函数等 的求值域问题 我们可以借助形象直观的函数 图象来观察其函数值的变化情况 再有的放矢地通过函数解析式求函数最值 确定函数值 域 用数形结合法 使运算过程大大简化 例 3 求函数的 2 2 23 20 23 03 xxx f x xxx 值域 分析 求分段函数的值域可作出它的图象 则其函 数值的整体变化情况就一目了然了 从而可以快速 地求出其值域 解 作图象如图所示 1 1 4ff 2 3f 3 0f 0 3f 函数的最大值 最小值分别为和 即函数的值域为 04 4 0 4 判别式法 判别式法 2 对于形如 不同时为 的函数常采用此法 就是把函数转化 2 111 2 222 a xb xc y a xb xc 1 a 2 a0 成关于的一元二次方程 二次项系数不为时 通过方程有实数根 从而根的判别式大x0 于等于零 求得原函数的值域 例 4 求函数的值域 2 2 1 1 xx y x 解 原函数化为关于的一元二次方程 x 2 1 10yxxy 1 当时 解得 1y x R 2 1 4 1 1 0yy 13 22 y 2 当时 而 1y 0 x 1 3 1 2 2 故函数的值域为 1 3 2 2 评注 在解此类题的过程中要注意讨论二次项系数是否为零 使用此法须在或x R 仅有个别值 个别值是指使分母为的值 处理方法为将它们代入方程求出相应的值 0y 若在求出的值域中则应除去此值 不能取的情况下 否则不能使用 如求函数y 的值域 则不能使用此方法 2 2 1 1 xx y x 2 3 x 5 换元法 换元法 有时候为了沟通已知与未知的联系 我们常常引进一个 几个 新的量来代替原来的量 实行这种 变量代换 往往可以暴露已知与未知之间被表面形式掩盖着的实质 发现解题 方向 这就是换元法 在求值域时 我们可以通过换元将所给函数化成值域容易确定的另 一函数 从而求得原函数的值域 例 5 求的值域 1f xxx 解 令 则 10 xt 2 1 0 xtt 2 22 155 1 1 244 f xftttt 所以函数值域为 5 4 评注 利用引入的新变量 使原函数消去了根号 转化成了关于 的一元二次函数 使问tt 题得以解决 用换元法求函数值域时 必须确定新变量的取值范围 它是新函数的定义 域 6 反解法 反解法 3 就是用来表示 利用其变形形式求得原函数的值域 yx 例 6 求函数的值域 3 1 x y x 解 函数可化为 可得 3 1 x y x 3 1 y x y 1y 所以原函数的值域为 1yy R 7 分离常数法 分离常数法 对于分子 分母同次的分式形式的函数求值域问题 因为分子分母都有变量 利用函数单 调性确定其值域较困难 因此 我们可以采用凑配分子的方法 把函数分离成一个常数和 一个分式和的形式 而此时的分式 只有分母上含有变量 进而可利用函数性质确定其值 域 例 7 求函数的值域 2