二次函数知识点总结与典型例题

二次函数知识点总结及典型例题二次函数知识点总结及典型例题 一 二次函数的概念和图像一 二次函数的概念和图像 1 二次函数的概念 一般地 如果 那么 y 叫做 x 的二次函数二次函数 0 2 acbacbxaxy是常数 叫做二次函数的一般式 0 2 acbacbxaxy是常数 2 二次函数的图像 二次函数的图像是一条关于对称的曲线 这条曲线叫抛物线抛物线 a b x 2 抛物线的主要特征 有开口方向 有对称轴 有顶点 3 二次函数图像的画法 五点法 二 二次函数的解析式二 二次函数的解析式 二次函数的解析式有三种形式 1 一般式 一般式 0 2 acbacbxaxy是常数 2 顶点式 顶点式 0 2 akhakhxay是常数 3 当抛物线与 x 轴有交点时 即对应二次好方程cbxaxy 2 有实根和存在时 根据二次三项式的分解因式0 2 cbxax 1 x 2 x 二次函数可转化为两根式两根式 21 2 xxxxacbxax cbxaxy 2 如果没有交点 则不能这样表示 21 xxxxay 三 抛物线三 抛物线中 中 的作用的作用cbxaxy 2 cba 1 决定开口方向及开口大小 这与中的完全一样 a 2 axy a 2 和共同决定抛物线对称轴的位置 由于抛物线的对称轴是直线bacbxaxy 2 故 时 对称轴为轴所在直线 即 同号 a b x 2 0 by0 a b ab 时 对称轴在轴左侧 即 异号 时 对称轴在轴右侧 y0 a b aby 3 的大小决定抛物线与轴交点的位置 ccbxaxy 2 y 当时 抛物线与轴有且只有一个交点 0 0 xcy cbxaxy 2 yc 抛物线经过原点 与轴交于正半轴 与轴交于负半轴 0 c0 cy0 cy 以上三点中 当结论和条件互换时 仍成立 如抛物线的对称轴在轴右侧 则 y0 a b 四 二次函数的性质四 二次函数的性质 1 二次函数的性质 函数 二次函数 0 2 acbacbxaxy是常数 a 0a 0 图像 y 0 x y 0 x 性质 1 抛物线开口向上 并向上无限延伸 2 对称轴是 x 顶点坐标是 a b 2 a b 2 a bac 4 4 2 3 在对称轴的左侧 即当 x 时 y 随 x 的增大而增大 简记左减右 a b 2 增 4 抛物线有最低点 当 x 时 a b 2 y 有最小值 a bac y 4 4 2 最小值 1 抛物线开口向下 并向下无限延伸 2 对称轴是 x 顶点坐标是 a b 2 a b 2 a bac 4 4 2 3 在对称轴的左侧 即当 x 时 y 随 x a b 2 的增大而减小 简记左增右减 4 抛物线有最高点 当 x 时 a b 2 y 有最大值 a bac y 4 4 2 最大值 五 二次函数与一元二次方程的关系五 二次函数与一元二次方程的关系 一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与 x 轴的交点坐标 因此一元二次方程中的 在二次函数中表示图像与 x 轴是否有交点 ac4b2 当 0 时 图像与 x 轴有两个交点 当 0 时 图像与 x 轴有一个交点 当 0 时 图像与 x 轴没有交点 补充 补充 函数平移规律 函数平移规律 左加右减 上加下减左加右减 上加下减 六 二次函数的最值六 二次函数的最值 如果自变量的取值范围是全体实数 那么函数在顶点处取得最大值 或最小值 即 当时 a b x 2 a bac y 4 4 2 最值 如果自变量的取值范围是 那么 首先要看是否在自变量取值范围 21 xxx a b 2 内 若在此范围内 则当 x 时 21 xxx a b 2 a bac y 4 4 2 最值 若不在此范围内 则需要考虑函数在范围内的增减性 21 xxx 如果在此范围内 y 随 x 的增大而增大 则当时 当 2 xx cbxaxy 2 2 2最大 时 1 xx cbxaxy 1 2 1最小 如果在此范围内 y 随 x 的增大而减小 则当时 当 1 xx cbxaxy 1 2 1最大 时 2 xx cbxaxy 2 2 2最小 典型例题典型例题 1 已知函数 则使 y k 成立的 x 值恰好有三个 则 k 的值为 2 2 113 513 xx y xx A 0B 1C 2D 3 2 如图为抛物线的图像 A B C 为抛物线与坐标轴的交点 且 2 yaxbxc OA OC 1 则下列关系中正确的是 A a b 1 B a b 1 C b 2a D ac 0 3 二次函数的图象如图所示 则反比例函数与一次函数 2 yaxbxc a y x 在同一坐标系中的大致图象是 ybxc 4 如图 已知二次函数的图象经过点 1 0 1 2 当随的增cbxxy 2 yx 大而增大时 的取值范围是 x x y O 1 1 1 2 cbxxy 2 1 5 在平面直角坐标系中 将抛物线绕着它与 y 轴的交点旋转 180 所得抛 2 23yxx 物线的解析式是 A B 2 1 2yx 2 1 4yx C D 2 1 2yx 2 1 4yx 6 已知二次函数的图像如图 其对称轴 给出下列结果 cbxaxy 2 1 x 则正确的结论是 acb4 2 0 abc02 ba0 cba0 cba A B C D 7 抛物线上部分点的横坐标 纵坐标的对应值如下表 2 yaxbxc xy x 2 1012 y 04664 从上表可知 下列说法中正确的是 填写序号 抛物线与轴的一个交点为 3 0 函数的最大值为 6 x 2 yaxbxc 抛物线的对称轴是 在对称轴左侧 随增大而增大 1 2 x yx 8 如图 在平面直角坐标系中 O 是坐标原点 点 A 的坐标是 2 4 过点 A 作 AB y 轴 垂足为 B 连结 OA 1 求 OAB 的面积 2 若抛物线经过点 A 2 2yxxc 求 c 的值 将抛物线向下平移 m 个单位 使平移后得到的抛物线顶点落在 OAB 的内部 不包 括 OAB 的边界 求 m 的取值范围 直接写出答案即可 9 已知二次函数 y x 2 x 的图像如图 1 4 3 2 1 求它的对称轴与 x 轴交点 D 的坐标 2 将该抛物线沿它的对称轴向上平移 设平移后的抛物线与 x 轴 y 轴的交点分别 为 A B C 三点 若 ACB 90 求此时抛物线的解析式 3 设 2 中平移后的抛物线的顶点为 M 以 AB 为直径 D 为圆心作 D 试判断 直线 CM 与 D 的位置关系 并说明理由 10 如图 在平面直角坐标系 xOy 中 AB 在 x 轴上 AB 10 以 AB 为直径的 O 与 y 轴 正半轴交于点 C 连接 BC AC CD 是 O 的切线 AD CD 于点 D tan CAD 抛物 2 1 线过 A B C 三点 cbxaxy 2 1 求证 CAD CAB 2 求抛物线的解析式 判定抛物线的顶点 E 是否在直线 CD 上 并说明理由 3 在抛物线上是否存在一点 P 使四边形 PBCA 是直角梯形 若存在 直接写出点 P 的坐标 不写求解过程 若不存在 请说明理由 11 如图所示 在平面直角坐标系中 四边形 ABCD 是直角梯形 BC AD BAD 90 BC 与 y 轴相交于点 M 且 M 是 BC 的中点 A B D 三点的坐标分别是 A 1 0 B 1 2 D 3 0 连接 DM 并把线段 DM 沿 DA 方向平移到 ON 若抛物线 y ax2 bx c 经过点 D M N 1 求抛物线的解析式 2 抛物线上是否存在点 P 使得 PA PC 若存在 求出点 P 的坐标 若不存 在 请说明理由 3 设抛物线与 x 轴的另 个交点为 E 点 Q 是抛物线的对称轴上的 个动点 当点 Q 在什么位置时有最大 并求出最大值 QEQC A B C DOE NM x y 图 12 如图 抛物线 y x2 bx 2 与 x 轴交于 A B 两点 与 y 轴交于 C 点 且 A 一 2 1 1 0 求抛物线的解析式及顶点 D 的坐标 判断 ABC的形状 证明你的结论 点M m 0 是x轴上的一个动点 当CM DM的值最小时 求m的值 13 在平面直角坐标系中 如图 1 将 n 个边长为 1 的正方形并排组成矩形 OABC 相邻两 边 OA 和 OC 分别落在 x 轴和 y 轴的正半轴上 设抛物线 y ax2 bx c a 0 过矩形顶点 B C 1 当 n 1 时 如果 a 1 试求 b 的值 2 当 n 2 时 如图 2 在矩形 OABC 上方作一边长为 1 的正方形 EFMN 使 EF 在线