费马数与圆内接正多边形.doc

学院学 术 论 文题 目: 费马数与圆内接正多边形学号： 学校： 专业： 班级： 姓名： 指导老师： 时间： 摘要：文章介绍费马数与圆内接正多边形的关系，并给出能尺规作图的圆内接正多边形的边数及推导过程。关键词：费马数 圆内接正多边形The Fermat Numbers and Inscribed Regular PolygonsDeng Jing Number:20091704Jiangxi Science &Technology Normal University Jiangxi Nanchang Abstract :This article introduce the connections between the Fermat Numbers and Inscribed Regular Polygons and gives the number of sides of Inscribed Regular Polygons that can be drawn by rules and compasses as well as derivation.Key words :the Fermat Numbers Inscribed Regular Polygons1.费马费马（也译为“费尔马”）1601年8月17日出生于法国南部图卢兹附近的博蒙德洛马涅。他的父亲多米尼克费马在当地开了一家大皮革商店，拥有相当丰厚的产业，使得费马从小生活在富裕舒适的环境中。费马小时候受教于他的叔叔皮埃尔，受到了良好的启蒙教育，培养了他广泛的兴趣和爱好，对他的性格也产生了重要的影响。直到14岁时，费马才进入博蒙德洛马涅公学，毕业后先后在奥尔良大学和图卢兹大学学习法律。数学论集还是费马去世后由其长子将其笔记、批注及书信整理成书而出版的。我们现在早就认识到时间性对于科学的重要，即使在l7世纪，这个问题也是突出的。费马的数学研究成果不及时发表，得不到传播和发展，并不完全是个人的名誉损失，而是影响了那个时代数学前进的步伐。 对费马来说，真正的事业是学术，尤其是数学。费马通晓法语、意大利语、西班牙语、拉丁语和希腊语，而且还颇有研究。语言方面的博学给费马的数学研究提供了语言工具和便利，使他有能力学习和了解阿拉伯和意大利的代数以及古希腊的数学。正是这些，可能为费马在数学上的造诣莫定了良好基础。在数学上，费马不仅可以在数学王国里自由驰骋，而且还可以站在数学天地之外鸟瞰数学。这也不能绝对归于他的数学天赋，与他的博学多才多少也是有关系的。2.费马数2.1费马猜想法国数学家费马于1640年提出了以下猜想: 揭示了十进制和二进制的关系 可以发现F0=2(20)+1=3 F1=2(21)+1=5 F2=2(22)+1=17 F3=2(23)+1=257 F4=2(24)+1=65537 F5=2(25)+1=4294967297 前5个是质数，因为第6个数实在太大了，费马认为这个数是质数。由此提出(费马没给出证明)，形如Fn=2(2n)+1 的数都是质数的猜想。后来人们就把形如2(2n)+1的数叫费马数。2.2猜想结论1732年，欧拉算出F5=6416700417，也就是说F5不是质数，宣布了费马的这个猜想不成立，它不能作为一个求质数的公式。以后，人们又陆续找到了不少反例，如n=6 时，F6=2(26)+1=27417767280421310721不是质数。至今这样的反例共找到了243个，却还没有找到第6个正面的例子，也就是说目前只有n=0，1，2，3，4这5个情况下，Fn才是质数。甚至有人猜想：费马数N4时，费马数全是合数！ 接下来的几个费马数的分解情况是： F6 = 274177 67280421310721 F7 = 59649589127497217 5704689200685129054721 F8 = 1238926361552897 93461639715357977769163558199606896584051237541638188580280321 F9 = 2424833 7455602825647884208337395736200454918783366342657 741640062627530801524787141901937474059940781097519023905821316144415759504705008092818711693940737 F10 = 45592577 6487031809 4659775785220018543264560743076778192897 P252 F11 = 319489 974849 167988556341760475137 3560841906445833920513 P564 F12 = 114689 26017793 63766529 190274191361 1256132134125569 568630647535356955169033410940867804839360742060818433 C1133 F13 = 2710954639361 2663848877152141313 3603109844542291969 319546020820551643220672513 C2391 早已经有人证明，费马数的因数必然是2(n+2)*k+1 形，注：（n+2)是右上标。例如n=5时，4294967297=(1285+1)(12852347+1)，其中128就是2的7次方。2.3费马数的介绍通常称形如的数为费马数.费马自己知道从到都是质数，然后他猜想所有的都是质数。后来欧拉发现不是质数，它有一个真因数641，直到上世纪末数学家用他们创造的各种方法，经过超级计算机的计算得知，从到都是合数，还不知道是合数还是质数。现在许多数学家认为：之后的费马数都是合数，但是这只是一个猜想。2.4费马数的具体形式 费马数是以数学家费马命名一组自然数，具体形式： 其中n为非负整数。若是素数，可以得到n必须是2的幂。（若，其中且b为奇数，则。）也就是说，所有具有形式的素数必然是费马数，这些素数称为费马素数。已知的费马素数只有至五个。2.5有关费马数的计算设a m n 是正整数，mn，求.解：当mn时，=(=()当2不整除a时，=2当2整除a时，(=13.圆内接正多边形3.1圆内接正多边形的作法：古希腊时期已作出的圆内接正多边形，利用二等分法等分一圆弧，可将一圆弧分成2，4，8等份。由圆内接正三角形出发，可以得到正六边形，正十二边形正边形。正五边形的尺规作图方法如下：在单位圆中，AC与BD是互为垂直的直径，E为AO之中点，而EF=EB，以B为圆点，BF为半径作弧，截圆周于点G，则BG即为正五边形之一边。BO=1（单位圆的半径），EO=,=。由圆内接正五边形出发，可以得到正边形。由于可作出圆内接正三角形及正五边形，而3与5又是互为质数，因而圆内接正15边形以及任何正边形也都可作。3.2费马数与下列尺规作图问题有关：正n边形可尺规作图的充要条件是你n=3且n的最大单因数是不同的费马质数的乘积。3.3能尺规作图的圆内接正多边形3.3.1正多边形之边数为形式的素数3.3.2此类素数（全是不同的）的乘积3.3.3 的乘幂与一个或多个上述形式的素数之乘积4.尺规作图作出能通过有限次二次根式来表达的数量4.1尺规作图作出形如的数量。若令，则有,如图1： c b d x 图1：那样作两条相交直线，并从交点开始，在一条直线上分别截取线段c与d，在另一条直线上截取线段b，连结c与d之端点作一直线，并通过d之端点作一直线与之平行。这样，所要求的线段x即可得出。4.2尺规作图作出形如的数量。由于，所以x是p与q比例中项，这时可以先截取线段，使其长分别等于p与q。然后以它们的和为直径作一个半圆，并在p、q之连接点外一垂线，并与半圆交于一点。垂线的这一段即为所要求的x。如果只要作出，我们可把它解释为，即，在取好单位长与线段之后，x求出。4.3尺规作图作出更为复杂的表达式。例如也可类似地用直尺、圆规作出，例如，在单位圆中，内接正五边形的一边之长等于。4.4尺规作图作出圆内接正N边形作圆的任一直径AB,N等分AB（等分点从左数起分别为P1P2P3PN）。以AB为底边分别在两侧作等边三角形ABC与等边三角形ABD。（1）若N为奇数，则连接B与第奇数个等分点，并延长与圆周相交得到1/2（N-1）个交点，对于D点同样的作法与圆周相交得到1/2（N-1）个交点，顺次连接这N-1个交点与B点，得到一个正N边形。（2）若N为偶数，除B、D分别要与第偶数个等分点连接外其它与上基本相同，得到N-2个交点，顺次连接这N-2个交点与A、B点，得到一个正N边形。5.文章介绍费马数与圆内接正多边形的关系，正多边形之边数为形式的