高中数学《二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题》学案2 新人教A版必修5

用心 爱心 专心1 巧用线性规划思想解题巧用线性规划思想解题 当约束条件或目标函数不是线性规划问题 但其几何意义明显时 仍可利用线性规划 的思想来解决问题 从而使解题思路拓宽 提高解题能力 一 函数问题转化为线性规划问题 例 1如图 1 xy 满足的可行域是图中阴影部分 包括边界 若函数 2taxy 在 点 0 5 取得最小值 求a的取值范围 解 由图 1 易得xy 满足的约束条件为 50 260 0 0 xy xy x y 将目标函数2taxy 改为斜截式 22 at yx 2 t 表示直 线在y轴上的截距 欲求t的最小值 可转化为求 2 t 的最大 值 当0a 时 显然直线在点 0 5 处 2 t 取得最大值 当0a 时 依题意 1 2 a 易得20a 综上所述 2a 时 函数2taxy 在点 0 5 取得最小值 二 方程问题转化为线性规划问题 例 2已知ab R 若方程 2 20 xaxb 与方程 2 20 xbxa 都有实数根 求ab 的最小值 解 由题意 得 2 2 80 440 ab ba 即 2 2 8 ab ba 画出其可行域为如图 2 所示阴影部分 令tab 故要求ab 的最小值 即求过可行域 内的点 使得bta 在b轴上截距最小的点的坐 标 由图知 A点即为所求 由 2 2 8 ab ba 解得42ab ab 的最小值为 6 用心 爱心 专心2 三 不等式问题转化为线性规划问题 例 3已知 3f xxy 且11xy 13xy 求 f x的取值范 围 解 如图 3 作出不等式组 11 13 xy xy 所表示的平面区域 即可行域 作直线 30lxy 把直线l向右下方平移过 01 B 即直线10 xy 与 10 xy 的交点时 min 3 0 11f x 再把直线l向右下方平移过 21 A 即直线30 xy 与10 xy 的交点时 max 2 3 17f x 1 7f x 说明 说明 本题还可运用整体代换法 先用xy 与xy 的一次组合表示 找出它们之间 的线性关系 然后利用不等式的性质加以解决 四 多元问题转化为线性规划问题 例 4已知ABC 的三边长abc 满足2bca 2acb 求 b a 的取值范 围 解 由题意 应用 2 2 000 abca bacb cab abc 令 bc xy aa 上述不等式可化为 12 12 1 00 xy xyx yx xy 求出x的范围即可 作出可行域如图 4 易得 23 32 x 于是 b a 的范围为 2 3 3 2 用心 爱心 专心3 实实 际际 问问 题题 中中 的的 易易 错错 点点 在解决线性规划中的一些实际问题时 我们对整数点往往寻找的不正确 出现这种子 错误的原因是由于我们画图不准确或都是没有考虑到实际问题的特殊性 下面 我们就一 道例题来剖析在解决实际问题时容易出现的一些错误及如何寻找整数点 例 有一批钢管 长度都是 4000mm 要截成 500mm 和 600mm 两种毛坯 且这两种数量 比大于 1 3 要使钢管截得的毛坯最多 问怎样截最合理 误 误 设截 500mm 的x根 600mm 的y根 则xy 满足的约束条件为 5006004000 1 3 0 0 xy x y x y 即 5640 3 0 0 xy yx x y 其中xy 均为整数 作出可行域 如图 1 中阴影部分所示 目标函数为zxy 作一组平行直线 0 lxyt 经过可行域内的点且和原点距离最远的直线为过A点的直线 先求出A点的坐标 解 3 5640 yx xy 得 17 1 23 5 5 23 x y 175 15 2323 A 即为7xy 又由于xy 均为正整数 故调整为25xy 经检验满足条件 所以每根钢管截 500mm 的毛坯两根 600mm 的毛坯五根最合理 析 析 本题的错误主要是在作一组平行直线xyt 时 没能准确作出 而得到可行域 内的点且和原点距离最远的直线为过A点的直线 此错误可检验如下 如果直线xyt 通过点A时是可行域内的点到原点的距离最远的直线 那么 175 15 2323 t 即7xy 由于xy 为整数 因此点 175 15 2323 A 不是最优解 则 需调整点 但在可行域内除A点外不可能再有其它点满足7xy 只能在可行域内找满 足5xy 的整数点 但我们知道25xy 满足题意 这样 就会出现矛盾 从而判 断解法错误 即xyt 通过A点心并不是可行域内的点且和原点距离最远的直线 用心 爱心 专心4 正 正 设截 500mm 的毛坯x根 600mm 根的毛坯y根 根据题意 得 5640 3 0 0 xy yx x y 且xy 均为正整数 作出可行域 如图 2 中阴影部分 目标函数为zxy 作一组平行直线xyt 经过可 行域为的点且和原点距离最远的直线必为过点 0 8 B 的直线 在 此时 有的同学由于没有考虑到实际问题的特殊性 所以会误认 为 0 8 是最优整数解 这时8xy xy 为正整数 0 8 不是最优解 在可行域内找整点 使7xy 经验证 可知点 2 5 3 4 4 3 5 2 61 均为最优解 答 每根钢管截 500mm 的两根 600mm 的五根 或截 500mm 的三根 600mm 的四根 或截 500