三角形的外心、重心、垂心、内心及旁心

三角形的五心三角形的五心 三角形的外心 重心 垂心 内心及旁心 统称为三角形的五心 一 外心 三角形外接圆的圆心 简称外心 与外心关系密切的有圆心角定理和圆周角 定理 例 1 过等腰 ABC 底边 BC 上一点 P 引 PM CA 交 AB 于 M 引 PN BA 交 AC 于 N 作点 P 关于 MN 的对称点 P 试证 P 点在 ABC 外接圆上 分析 由已知可得 MP MP MB NP NP NC 故点 M 是 P BP 的外心 点 N 是 P PC 的外心 有 BP P BMP BAC 2 1 2 1 PP C PNC BAC 2 1 2 1 BP C BP P P PC BAC 从而 P 点与 A B C 共圆 即 P 在 ABC 外接圆上 由于 P P 平分 BP C 显然还有 P B P C BP PC 例 2 在 ABC 的边 AB BC CA 上分别取点 P Q S 证明以 APS BQP CSQ 的外心为顶点的三角形与 ABC 相似 分析 设 O1 O2 O3是 APS BQP CSQ 的外心 作出六边形 O1PO2QO3S 后再由外 心性质可知 PO1S 2 A QO2P 2 B SO3Q 2 C PO1S QO2P SO3Q 360 从而又知 O1PO2 O2QO3 O3SO1 360 将 O2QO3绕着 O3点旋转到 KSO3 易判断 KSO1 O2PO1 同时 可得 O1O2O3 O1KO3 O2O1O3 KO1O3 O2O1K 2 1 O2O1S SO1K 2 1 O2O1S PO1O2 2 1 PO1S A 2 1 同理有 O1O2O3 B 故 O1O2O3 ABC 二 重心 三角形三条中线的交点 叫做三角形的重心 掌握重心将每 条中线都分成定比 2 1 及中线长度公式 便于解题 例 3 AD BE CF 是 ABC 的三条中线 P 是任意一点 证明 在 PAD PBE PCF 中 其中一个面积等于另外两个面积的和 分析 设 G 为 ABC 重心 直线 PG 与 AB BC 相交 从 A C D E F 分别 作该直线的垂线 垂足为 A C D E F 易证 AA 2DD CC 2FF 2EE AA CC EE DD FF 有 S PGE S PGD S PGF 两边各扩大 3 倍 有 S PBE S PAD S PCF 例 4 如果三角形三边的平方成等差数列 那么该三角形和由它的三条中线围 成的新三角形相似 其逆亦真 分析 将 ABC 简记为 由三中线 AD BE CF 围成的三角形简记为 G 为重心 连 DE 到 H 使 EH DE 连 HC HF 则 就是 HCF 1 a2 b2 c2成等差数列 若 ABC 为正三角形 易证 不妨设 a b c 有 CF 222 22 2 1 cba BE 222 22 2 1 bac AD 222 22 2 1 acb 将 a2 c2 2b2 分别代入以上三式 得 CF BE AD a 2 3 b 2 3 c 2 3 CF BE AD a 2 3 b 2 3 c 2 3 A A F F G E E D C P CB D a b c 故有 2 a2 b2 c2成等差数列 当 中 a b c 时 中 CF BE AD 2 S S a CF 据 三角形的三条中线围成的新三角形面积等于原三角形面积的 4 3 有 S S 4 3 3a2 4CF2 2a2 b2 c2 2 2 a CF 4 3 a2 c2 2b2 三 垂心 三角形三条高的交战 称为三角形的垂心 由三角形的垂心造成的四个等 外接 圆三角形 给我们解题提供了极大的便利 例 5 设 A1A2A3A4为 O 内接四边形 H1 H2 H3 H4依次为 A2A3A4 A3A4A1 A4A1A2 A1A2A3的垂心 求证 H1 H2 H3 H4四点共圆 并确定出该圆的圆心位置 分析 连接 A2H1 A1H2 H1H2 记圆半径 为 R 由 A2A3A4知 2RA2H1 2Rcos A3A2A4 132 12 sinHAA HA 由 A1A3A4得 A1H2 2Rcos A3A1A4 但 A3A2A4 A3A1A4 故 A2H1 A1H2 易证 A2H1 A1A2 于是 A2H1 A1H2 故得 H1H2 A2A1 设 H1A1与 H2A2的交点为 M 故 H1H2与 A1A2关于 M 点成中心对称 同理 H2H3与 A2A3 H3H4与 A3A4 H4H1与 A4A1都关于 M 点成中心对 称 故四边形 H1H2H3H4与四边形 A1A2A3A4关于 M 点成中心对称 两者 是全等四边形 H1 H2 H3 H4在同一个圆上 后者的圆心设为 Q Q 与 O 也关于 M 成中心对称 由 O M 两点 Q 点就不难确定了 例 6 H 为 ABC 的垂心 D E F 分别是 BC CA AB 的中心 一个以 H 为 圆心的 H 交直线 EF FD DE 于 A1 A2 B1 B2 C1 C2 求证 AA1 AA2 BB1 BB2 CC1 CC2 分析 只须证明 AA1 BB1 CC1即可 设 BC a CA b AB c ABC 外 接圆半径为 R H 的半径为 r 连 HA1 AH 交 EF 于 M A AM2 A1M2 AM2 r2 MH2 2 1 A r2 AM2 MH2 又 AM2 HM2 AH1 2 AH AH1 2 2 1 2 1 AH AH1 AH2 AH2 AB AH2 cosA bc AH2 而 2RAH2 4R2cos2A ABH AH sin 2Ra2 4R2sin2A A a sin AH2 a2 4R2 AH2 4R2 a2 由 有 A r2 bc 4R2 a2 2 1 A bc acb 2 222 a2 b2 c2 4R2 r2 2 1 同理 a2 b2 c2 4R2 r2 2 1 BB 2 1 a2 b2 c2 4R2 r2 2 1 CC 2 1 故有 AA1 BB1 CC1 四 内心 三角形内切圆的圆心 简称为内心 对于内心 要掌握张角公式 还要记住 下面一个极为有用的等量关系 设 I 为 ABC 的内心 射线 AI 交 ABC 外接圆于 A 则有 A I A B A C 换言之 点 A 必是 IBC 之外心 内心的等量关系之逆同样有 用 例 7 ABCD 为圆内接凸四边形 取 DAB ABC BCD H H H M A B B AA B C C C F 1 2 1 1 1 2 2 2 D E AB C D O O O 2 3 4 O1 CDA 的内心 O1 O2 O3 O4 求证 O1O2O3O4为矩形 1986 中国数学奥林匹克集训题 证明见 中等数学 1992 4 例 8 已知 O 内接 ABC Q 切 AB AC 于 E F 且与 O 内切 试证 EF 中点 P 是 ABC 之内心 分析 在第 20 届 IMO 中 美国提供的一道题实际上是例 8 的一种特例 但它增 加了条件 AB AC 当 AB AC 怎样证明呢 如图 显然 EF 中点 P 圆心 Q BC 中点 K 都在 BAC 平分线上 易知 AQ sin r QK AQ MQ QN QK AQ QNMQ sin 2 r rrR 2 sinrR 由 Rt EPQ 知 PQ r sin PK PQ QK r sin 2 sinrR R2sin PK BK 利用内心等量关系之逆定理 即知 P 是 ABC 这内心 五 旁心 三角形的一条内角平分线与另两个内角的外角平分线相交于 一点 是旁切圆的圆心 称为旁心 旁心常常与内心联系在一起 旁心还与三角形的半周长关系密切 例 9 在直角三角形中 求证 r ra rb rc 2p 式中 r ra rb rc分别表示内切圆半径及与 a b c 相切的旁切圆半径 p 表示半周 分析 设 Rt ABC 中 c 为斜边 先来证明一个特性 p p c p a p b p p c a b c a b c 2 1 2 1 a b 2 c2 4 1 ab 2 1 p a p b a b c a b c 2 1 2 1 A M B C K N E R O Q F r P K r r r r O O O 2 1 3 A O E C B a b c c2 a b 2 ab 4 1 2 1 p p c p a p b 观察图形 可得 ra AF AC p b rb BG BC p a rc CK p 而 r a b c 2 1 p c r ra rb rc p c p b p a p 4p a b c 2p 由 及图形易证 例 10 M 是 ABC 边 AB 上的任意一点 r1 r2 r 分别是 AMC BMC ABC 内切圆的半径 q1 q2 q 分别是上述三角形在 ACB 内部的旁切 圆半径 证明 1 1 q r 2 2 q r q r IMO 12 分析 对任意 A B C 由正弦定理可知 OD OA 2 sin A A B sin 2 sin BOA B 2 sin A A B 2 sin 2 sin 2 sin BA BA O E A B 2 sin 2 cos 2 cos BA BA A B C O O E D 2 2 B tg A tg EO OD 亦即有 1 1 q r 2 2 q r 2222 B tg CNB tg CMA tg A tg 22 B tg A tg q r 六 众心共圆 这有两种情况 1 同一点却是不同三角形的不同的心 2 同一图形出现 了同一三角形的几个心 例 11 设在圆内接凸六边形 ABCDFE 中 AB BC CD DE EF FA 试证 1 AD BE CF 三条对角线交于一点 2 AB BC CD DE EF FA AK BE CF 分析 连接 AC CE EA 由已知可证 AD CF EB 是 ACE 的三条内角平分 线 I 为 ACE 的内心 从而有 ID CD DE IF EF FA IB AB BC 再由 BDF 易证 BP DQ FS 是它的三条高 I 是它的垂心 利用 不等式有 BI DI FI 2 IP IQ IS 不难证明 IE 2IP IA 2IQ IC 2IS BI DI FI IA IE IC AB BC CD DE EF FA 2 BI DI FI IA IE IC BI DI FI AD BE CF I 就是一点两心 例 12 ABC 的外心为 O AB AC D 是 AB 中点 E 是 ACD 的重心 证明 OE 丄 CD 分析 设 AM 为高亦为中线 取 AC 中点 F E 必在 DF 上且 DE EF 2 1 设 CD 交 AM 于 G G 必为 ABC 重心 连 GE MF MF 交 DC 于 K 易证 Erdos I P A B C D E F Q S A BC D E F O K G DG GK DC DC 2 1 3 1 3 1 2 1 DG GK DE EFGE MF OD 丄 AB MF AB OD 丄 MFOD 丄 GE 但 OG 丄 DEG 又是 ODE 之垂心 易证 OE 丄 CD 例 13 ABC 中 C 30 O 是外心 I 是内心 边 AC 上的 D 点与边 BC 上 的 E 点使得 AD BE AB 求证 OI 丄 DE OI DE 分析 辅助线如图所示 作 DAO 平分线交 BC 于 K 易证 AID AIB EIB AID AIB EIB 利用内心张角公式 有 AIB 90 C 105 2 1 DIE 360 105 3 45 AKB 30 DAO 2 1 30 BAC BAO 2 1 30 BAC 60 2 1 BAC BAI BEI 2 1 AK IE 由等腰 AOD 可知 DO 丄 AK DO 丄 IE 即 DF 是 DIE 的一条高 同理 EO 是 DIE 之垂心 OI 丄 DE 由 DIE IDO 易知 OI DE 例 14 锐角 ABC 中 O G H 分别是外心 重心 垂心 设外心到三边距离 和为 d外 重心到三边距 离和为 d重 垂心到三边距离和为 d垂 求证 1 d垂 2 d外 3 d重 分析 这里用三角法 设 ABC 外接圆 半径为 1 三个内角记为 A B C 易知 d外 OO1 OO2 OO3 O A B C D E F I K 30 B C O I A OG H O G H G O GH 1 2 3 11 2 2 3 3 cosA cosB cosC 2d外 2 cosA cosB cosC AH1 sinB AB sinB 2sinC 2sinB sinC 同样可得 BH2 CH3 3d重 ABC 三条高的和 2 sinB sinC sinC sinA sinA sinB 2 BCH BH sin HH1 cosC BH 2 cosB cosC 同样可得 HH2 HH3 d垂 HH1 HH2 HH3 2 cosB cosC cosC cosA cosA cosB 欲证结论 观察 须证 cosB cosC cosC cosA cosA cosB cosA cosB c