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平面向量【知识梳理】（1）平面向量基本定理：如果是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量，有且只有一对实数使：，其中不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底（主要应用于线性表示）（2）非零向量的单位向量为 或 。（3） 证明线段平行或点共线问题，包括相似问题，常用共线向量定理： ab ab(b0) x1y2x2y10. (4) 证明垂直问题，常用数量积的运算性质 ab ab0 x1x2y1y20.（5）向量数量积：=（6）求夹角问题，利用夹角公式cos (为a与b的夹角)知识网络向量向量的概念向量的运算向量的运用向量的加、减法实数与向量的积向量的数量积平面向量的基本定理及坐标表示物理学中的运用几何中的运用两向量平行的充要条件两向量垂直的充要条件向量的夹角向量的模两点间的距离平面向量单元复习题型一: 向量的加、减法运算及相关运算律1.平面向量坐标的求法已知，则2平面向量的坐标运算已知，（1）向量的加法：，（2）向量的减法：（3）向量的数乘： .例1平面内有三个已知点A(1，2)，B(7，0)，C(5，6)，求 ， ， ， ，2 ， 3 变式练习1：若A(0， 1)， B(1， 2)， C(3， 4) ， 则-2= .变式练习2：化简变式练习3： 平面上有四个互异点A、B、C、D，已知(2)()0，则ABC的形状是_定比分点问题例2若M(3， -2) N(-5， -1) 且 ， 求P点的坐标变式练习1：已知A（-2，4）、B（3,-1）、C（-3,-4）且CM=3CA,CN=2CB,求点M、N及MN的坐标.变式练习2：已知点A（-1，2），B（2，8）以及AC= AB，DA=- BA，求点C、D的坐标和向量CD的坐标.题型二：利用一组基底表示平面内的任一向量（平面向量基本定理）例3在OAB中，AD与BC交于点M，设=，=，用,表示.变式练习1：若已知、是平面上的一组基底，则下列各组向量中不能作为基底的一组是 ( )A与 B3与2 C与 D与2变式练习2：在ABC中，=,EFBC,EF交AC于F,设,则用、表示的形式是=_.题型三: 三点共线（平行）问题字母运算：向量与非零向量共线当且仅当有唯一一个实数，使得 。坐标运算：已知，则a/b x1x2=y1y2例4设两个非零向量e1和e2不共线.如果AB=e1-e2，BC=3e1+2e2，CD=-8e1-2e2， 求证：A、C、D三点共线；变式练习1:设是不共线的向量,已知向量,若A,B,D三点共线,求k的值例5已知O为原点，A、B、C为平面上的三点，求证（1）若A、B、C三点共线，则存在实数，且，使得(2) 若存在实数，且，使得，则A、B、C三点共线变式练习1：已知ABC的重心为G,O为坐标原点,=,=,=, 求证:=( +).例6 已知向量，若，则锐角等于（ ）A B C D变式练习1：1.若向量=(-1,x)与=(-x, 2)共线且方向相同，则x=_2.2011北京卷 已知向量a(，1)，b(0，1)，c(k，)若a2b与c共线，则k_.3.2011广东卷 已知向量a(1,2)，b(1,0)，c(3,4)若为实数，(ab)c，则_变式练习2：已知点O(0，0)，A(1，2)，B(4，5)及，求(1)t为何值时，P在x轴上？P在y轴上？P在第二象限。(2)四边形OABP能否构成为平行四边形？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由题型四：向量的数量积问题求数量积： = x1x2 + y1y2 例7. 若，且，则等于（ ）A、3 B、 C、 D、变式练习：1（2010广东）若向量a(1，1)，b(2，5)，c =(3,x),满足条件（8a- b）c =30,则x=( )A6 B5 C4 D32.若则（ ）A23 B57 C63 D833.(2010重庆南开中学)平面向量a与b的夹角为60，a(2,0)，|b|1，则ab()A. B1 C. D.4. 2011江西卷 已知两个单位向量e1，e2的夹角为，若向量b1e12e2，b23e14e2，则b1b2_.5.已知_（其中为两个相互垂直的单位向量）6.则_ _例8.则方向上的投影为_变式练习1：若a(2,3)，b(4,7)，则a在b方向上的投影为()A. B. C. D.思考：已知一个向量，怎么求它所对应的单位向量呢？例9 ；变式练习1：变式练习2：已知ABC，则“”是“ABC为钝角三角形”的_(条件)求模：1.2011全国卷 设向量a，b满足|a|b|1，ab，则|a2b|_2.2011重庆卷 已知单位向量e1，e2的夹角为60，则|2e1e2|_.3.2011淄博二模 设平面向量a(1,2)，b(2，y)，若ab，则|3ab|等于_4.已知向量，若，则（ ） A B C D5.【2012高考新课标文15】已知向量夹角为 ，且；则6.【2012高考江西文12】设单位向量m=（x，y），b=（2，-1）。若，则=_求夹角：cosq = 例10在ABC中，a，b，c分别为角A、B、C的对边；若向量 与的夹角为，求角B的大小变式练习1：1.已知向量，则向量与的夹角为（ ）A B C D2.2011安徽卷 已知向量a，b满足(a2b)(ab)6，且|a|1，|b|2，则a与b的夹角为_3.2011湖北卷 若向量a(1,2)，b(1，1)，则2ab与ab的夹角等于_4.2011江西卷 已知|a|b|2，(a2b)(ab)2，则a与b的夹角为_例11已知,且关于的方程有实根,则与的夹角的取值范围是 ( )A.0, B. C. D.变式练习1：设非零向量=，=，且，的夹角为钝角，求的取值范围变式练习2：已知，,如果与的夹角为锐角,则的取值范围是 证明向量垂直（从向量内积的定义出发，夹角为90度的情形）例12若非零向量、满足，证明:变式练习1：1.2011课标全国卷 已知a与b为两个不共线的单位向量，k为实数，若向量ab与向量kab垂直，则k_.2.2011江苏卷 已知e1，e2是夹角为的两个单位向量，ae12e2，bke1e2, 若ab0，则实数k的值为_3.已知a、b是非零向量，则|a|=|b|是(a+b)与(a-b)垂直的（ ）A.充分但不必要条件 B.必要但不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件变式练习2：1.2011辽宁卷 已知向量a(2,1)，b(1，k)，a(2ab)0，则k_2.【2012高考辽宁文1】已知向量a = (1,1)，b = (2,x).若a b = 1,则x =_3.【2012高考重庆文6】设 ，向量且 ，则_4.【2012高考安徽文11】设向量，若，则_5.（江西理11）已知,=-2，则与的夹角为_题型五：综合题与函数综合例13 为的内角A、B、C的对边，且与的夹角为，求C；变式练习1：（湖北理17）已知向量在区间（1，1）上是增函数，求t的取值范围.变式练习2：已知向量u=x，y与向量v=y，2y-x的对应关系用v=fu表示。（1）设a=1,1，b=1，0，求向量fa与fb的坐标；（2）求使fc=p，qp，q为常数的向量c的坐标；（3）证明：对任意的向量a、b及常数m，n恒有fma+nb=mfa+nfb成立。与三角函数综合例14已