高中数学平面向量单元同步练习新人教A版必修4

1 平面向量平面向量 A A 组组 一 选择题一 选择题 1 1 化简 化简AC BD CD AB 得 得 A AB B DA C BC D 0 2 2 设 设 00 a b 分别是与分别是与 a b 向的单位向量 则下列结论中正确的是 向的单位向量 则下列结论中正确的是 A 00 ab B 00 1ab C 00 2ab D 00 2ab 3 已知下列命题中 已知下列命题中 1 1 若 若kR 且 且0kb 则 则0k 或或0b 2 2 若 若0a b 则 则0a 或或0b 3 3 若不平行的两个非零向量 若不平行的两个非零向量ba 满足 满足 ba 则 则0 baba 4 4 若 若a与与b平行 则平行 则 a bab A其中真命题的个数是 其中真命题的个数是 A 0 B 1 C 2 D 3 4 下列命题中正确的是 下列命题中正确的是 A 若 若 a b 0 则 则 a 0 或或 b 0 B 若 若 a b 0 则 则 a b C 若 若 a b 则 则 a 在在 b 上的投影为上的投影为 a D 若 若 a b 则 则 a b a b 2 5 已知平面向量 已知平面向量 3 1 a 3 bx 且 且ab 则 则x A 3 B 1 C 1 D 3 6 已知向量 已知向量 sin cos a 向量向量 1 3 b则则 2 ba 的最大值 的最大值 最小值分别是 最小值分别是 A 0 24 B 24 4 C 16 0 D 4 0 二 填空题二 填空题 1 若 若OA 8 2 OB 2 7 则 则 3 1 AB 2 平面向量 平面向量 a b 中 若中 若 4 3 a b 1 且 且5a b 则向量 则向量b 3 3 若 若3a 2b 且 且a与与b的夹角为的夹角为 0 60 则 则ab 4 把平面上一切单位向量归结到共同的始点 那么这些向量的终点 把平面上一切单位向量归结到共同的始点 那么这些向量的终点 所构成的图形是所构成的图形是 2 5 已知 已知 1 2 a 与与 2 1 b 要使 要使b ta 最小 则实数最小 则实数t的值为的值为 三 解答题三 解答题 1 1 如图 如图 ABCDA中 中 E F分别是分别是 BC DC的中点 的中点 G为交点 若为交点 若AB a AD b 试以试以a b 为基底表示为基底表示DE BF CG 2 2 已知向量 已知向量 a与b的夹角为的夹角为60 4 2 3 72babab 求向量求向量a 的模 的模 3 已知点 已知点 2 1 B 且原点 且原点O分分 AB的比为的比为3 又 又 1 3 b 求 求 b在在 AB上的投影 上的投影 4 已知 已知 1 2 a 2 3 b 当当k为何值时 为何值时 1 1 kab 与与3ab 垂直 垂直 2 2 ka b与与3a b平行 平行时它们是同向还是反向 平行 平行时它们是同向还是反向 B B 组组 一 选择题一 选择题 1 下列命题中正确的是 下列命题中正确的是 A OAOBAB B 0ABBA C 00AB D ABBCCDAD 2 设点 设点 2 0 A 4 2 B 若点若点P在直线在直线AB上 且上 且AB 2 AP 则点则点P的坐标为 的坐标为 A 3 1 B 1 1 C 3 1 或或 1 1 D 无数多个 无数多个 3 若平面向量 若平面向量b与向量与向量 2 1 a的夹角是的夹角是 o 180 且 且53 b 则 则 b A 6 3 B 6 3 C 3 6 D 3 6 4 向量 向量 2 3 a 1 2 b 若 若mab 与与2ab 平行 则平行 则m等于等于 A 2 B 2 C 2 1 D 1 2 5 若 若 a b 是非零向量且满足是非零向量且满足 2 aba 2 bab 则 则a 与与b 的夹角是 的夹角是 A 6 B 3 C 3 2 D 6 5 6 设 设 3 sin 2 a 1 cos 3 b 且 且 a b 则锐角 则锐角 为 为 A G E FC B D 3 A 0 30 B 0 60 C 0 75 D 0 45 二 填空题二 填空题 1 若 若 1 2 abcab 且 且ca 则向量 则向量a 与与b 的夹角为的夹角为 2 2 已知向量 已知向量 1 2 a 2 3 b 4 1 c 若用 若用 a和和 b表示表示 c 则 则 c 3 若 若1a 2b a与与b的夹角为的夹角为 0 60 若 若 35 ab mab 则 则m的值为的值为 4 若菱形 若菱形ABCD的边长为的边长为2 则 则ABCBCD 5 若 若 a 3 2 b 7 4 则 则 a在在 b上的投影为上的投影为 三 解答题三 解答题 1 1 求与向量 求与向量 1 2 a 2 1 b 夹角相等的单位向量夹角相等的单位向量c 的坐标 的坐标 2 试证明 平行四边形对角线的平方和等于它各边的平方和 试证明 平行四边形对角线的平方和等于它各边的平方和 3 设非零向量 设非零向量 a b c d 满足 满足 da c ba b c AA 求证 求证 ad 4 已知 已知 cos sin a cos sin b 其中 其中0 1 求证 求证 ab 与与ab 互相垂直 互相垂直 2 若若ka b与与a k b的长度相等 求的长度相等 求 的值的值 k为非零的常数为非零的常数 C C 组组 一 选择题一 选择题 1 1 若三点 若三点 2 3 3 4 ABa Cb共线 则有 共线 则有 A 3 5ab B 10ab C 23ab D 20ab 2 2 设 设 20 已知两个向量 已知两个向量 sin cos 1 OP cos2 sin2 2 OP 则向量 则向量 21P P长度的最大值是 长度的最大值是 A 2 B 3 C 23 D 32 3 3 下列命题正确的是 下列命题正确的是 A 单位向量都相等 单位向量都相等 B 若 若a与与b是共线向量 是共线向量 b与与c是共线向量 则是共线向量 则a与与c是共线向量 是共线向量 4 C baba 则 则0a b D 若 若 0 a与与 0 b是单位向量 则是单位向量 则 00 1ab 4 已知 已知 a b 均为单位向量 它们的夹角为均为单位向量 它们的夹角为 0 60 那么 那么3ab A 7 B 10 C 13 D 4 5 已知向量 已知向量a b 满足满足1 4 ab 且且2a b 则则a 与与b 的夹角为的夹角为 A 6 B 4 C 3 D 2 6 若平面向量 若平面向量b与向量与向量 1 2 a平行 且平行 且52 b 则 则 b A 2 4 B 2 4 C 3 6 D 2 4 或或 2 4 二 填空题二 填空题 1 已知向量 已知向量 cos sin a 向量 向量 3 1 b 则 则2ab 的最大值是的最大值是 2 若 若 1 2 2 3 2 5 ABC 试判断则 试判断则 ABC 的形状的形状 3 若 若 2 2 a 则与 则与a 垂直的单位向量的坐标为垂直的单位向量的坐标为 4 若向量 若向量 1 2 2 abab 则则 ab 5 平面向量平面向量ba 中 已知中 已知 4 3 a 1b 且 且5a b A 则向量 则向量 b 三 解答题三 解答题 1 1 已知 已知 a b c 是三个向量 试判断下列各命题的真假 是三个向量 试判断下列各命题的真假 1 1 若 若a ba c 且且0a 则 则 bc 2 向量 向量a 在在b 的方向上的投影是一模等于的方向上的投影是一模等于cosa 是是a 与与b 的夹角 方向与的夹角 方向与a 在在 b 相同或相反的一个向量 相同或相反的一个向量 2 证明 对于任意的 证明 对于任意的 a b c dR 恒有不等式 恒有不等式 22222 acbdabcd 3 平面向量平面向量 13 3 1 22 ab 若存在不同时为 若存在不同时为0的实数的实数k和和t 使 使 5 2 3 xatb ykatb 且且xy 试求函数关系式 试求函数关系式 kf t 4 如图 在直角 如图 在直角 ABC 中 已知中 已知BCa 若长为 若长为2a的线段的线段PQ以点以点A为中点 问为中点 问 BCPQ与 的夹角的夹角 取何值时取何值时CQBP 的值最大 并求出这个最大值 的值最大 并求出这个最大值 A A 组组 一 选择题一 选择题 1 D 0ADBDABADDBABABAB 2 C 因为是单位向量 因为是单位向量 00 1 1ab 3 C 1 是对的 是对的 2 仅得 仅得ab 3 3 2 2 22 0abababab 4 4 平行时分 平行时分 0 0和和 0 180两种 两种 cosa babab A 4 D 若若ABDC 则 则 A B C D四点构成平行四边形 四点构成平行四边形 abab 若若 ab 则 则a 在在b 上的投影为上的投影为a 或或a 平行时分 平行时分 0 0和和 0 180两种两种 2 0 0aba ba b AA 5 C 31 3 0 1xx 6 D 22 2 2cos3 2sin1 2 2cos3 2sin1 abab 84sin4 3cos88sin 3 最大值为 最大值为4 最小值为 最小值为0 二 填空题二 填空题 1 3 2 9 6 ABOBOA 2 43 55 5 cos 1 a b aa ba b a b A 方向相同 方向相同 143 555 ba 3 7 222 1 292 2 347 2 ababaabb 4 圆圆 以共同的始点为圆心 以单位以共同的始点为圆心 以单位1为半径的圆为半径的圆 6 5 4 5 22222 2585atbatbatabt btt 当 当 4 5 t 时即可时即可 三 解答题三 解答题 1 解 解 11 22 DEAEADABBEADabbab 11 22 BFAFABADDFABbaaba G是是 CBD的重心 的重心 111 333 CGCAACab 2 解 解 22 2 3 672ababaa bb AA 2 22 0 cos60672 2240 aa bbaa 4 2 0 4aaa 3 解 设解 设 A x y 3 AO OB 得 得3AOOB 即 即 3 2 1 6 3xyxy 得得 6 3 A 4 2 20ABAB 5 cos 10 b AB b AB A 4 解 解 1 2 3 2 3 22 kabkkk 3 1 2 3 3 2 10 4 ab 1 1 kab 3 ab 得得 kab A 3 10 3 4 22 2380 19abkkkk 2 2 kab 3 ab 得 得 1 4 3 10 22 3 kkk 此时此时 10 41 10 4 333 kab 所以方向相反 所以方向相反 B B 组组 一 选择题一 选择题 1 D 起点相同的向量相减 则取终点 并指向被减向量 起点相同的向量相减 则取终点 并指向被减向量 OAOBBA AB BA 是一对相反向量 它们的和应该为零向量 是一对相反向量 它们的和应该为零向量 0ABBA 2 C 设设 P x y 由 由AB 2 AP 得得2ABAP 或 或2ABAP 2 2 2 ABAPxy 即 即 2 2 2 2 3 1 xy xy 3 1 P 2 2 2 2 1 1 xy xy 1 1 P 7 3 A 设设 2 0bkakk k 而 而53 b 则 则 2 53 5 3 3 6 kkb 4 D 2 3 1 2 21 32 mabmmmm 2 2 3 2 4 4 1 ab 则 则 1 21128 2 mmm 5 B 2 2222 2 1 1 2 20 20 cos 2 a a b aa bba babab a ba A AA 6 D 00 31 sincos sin21 290 45 23 二 填空题二 填空题 1 0 120 2 2 1 0 0 cos 2 a ba ab aaa b a ba b A AA 或画图来做或画图来做 2 2 1 设设cxayb 则 则 2 2 3 2 23 4 1 xxyyxyxy 24 231 2 1xyxyxy 3 23 8 35 ab A 22 3 53 50mabmama bb A 0 3 53 2 cos605 40 823mmm 4 2 2ABCBCDABBCCDACCDAD 5 65 5 13 cos 65 a b a b A 三 解答题三 解答题 1 解 设解 设 cx y 则 则cos cos a cb c 得得 22 22 1 xyxy xy 即 即 2 2 2 2 x y 或或 2 2 2 2 x y 22 22 c 或或 22 22 2 证明 记证明 记 ABa ADb 则则 ACab DBab 22 2222 22ACDBababab 8 222 2 22ACDBab 3 证明 证明 a daa c ba b ca c a ba b c a AAAAAAAA 0a c a ba c a b AAAA ad 4 1 证明 证明 222222 cossin cossin 0ababab A ab 与与ab 互相垂直互相垂直 2 k a coscos sinsin bkk a k coscos sinsin bkk 2 12 cos k a bkk 2 1 2 cos a kbkk 而而 22 12 cos 12 cos kkkk cos 0 2 C C 组组 一 选择题一 选择题 1 C 1 3 2 3 326 23ABaACbABACbaab 2 C 12 2sincos 2cossin PP 22 12 2 2cos 2sin108cos183 2PP 3 C 单位向量仅仅长度相等而已 方向也许不同 当单位向量仅仅长度相等而已 方向也许不同 当0b 时 时 a与与c可以为任意向量 可以为任意向量 baba 即对角线相等 此时为矩形 邻边垂直 还要考虑夹角 即对角线相等 此时为矩形 邻边垂直 还要考虑夹角 4 C 220 3691 6cos60913abaa bb A 9 5 C 21 cos 423 a b a b A 6 D 设设 2 bkak k 而 而 2 5b 则 则 2 52 5 4 2 4 2 kkb 或 二 填空题二 填空题 1 4 2 2cos3 2sin1 288sin 164 3 abab 2 直角三角形直角三角形 1 1 3 3 0 ABACAB ACABAC A 3 2222 2222 或 设所求的向量为设所求的向量为 22 2 220 1 2 x yxyxyxy 4 6 由平行四边形中对角线的平方和等于四边的平方和得由平行四边形中对角线的平方和等于四边的平方和得 222222 22 222222 4