2011年北京市各区一模试题分类解析十二、圆锥曲线(选修2-1)

十二 圆锥曲线十二 圆锥曲线 1 1 20112011 西城一模文西城一模文 1111 双曲线的离心率为 若椭圆 2 2 1 2 x Cy 6 2 与双曲线有相同的焦点 则 2 2 2 1 0 x ya a Ca 2 2 2 20112011 西城一模文西城一模文 1212 设不等式组表示的区域为 圆 22 22 x y W C 及其内部区域记为 若向区域内投入一点 则该点落在区域 22 2 4xy DW 内的概率为 D 8 3 3 20112011 东城一模理东城一模理 1313 过抛物线的焦点作倾斜角为的直线 与抛物 2 2 0 ypx p 60 线分别交于 两点 点在轴上方 ABAx AF BF 3 4 20112011 东城一模文东城一模文 9 抛物线 2 8yx 的焦点坐标为 2 0 5 2011 朝阳一模理朝阳一模理 7 如图 双曲线的中心 在坐标原点 O A C 分别是双曲线虚轴的上 下顶点 是双B 曲线的左顶点 为双曲线的左焦点 直F 线与相交于点 若双曲线的离心ABFCD 率为 2 则的余弦值是 C BDF A B 7 7 5 7 7 C D 7 14 5 7 14 6 2011 丰台一模理丰台一模理 10 双曲线的焦点在 x 轴上 实轴长为 4 离心率为 3 则该双曲线的 标准方程为 渐近线方程为 22 1 432 xy 2 2yx 7 7 2011 门头沟一模理 12 设双曲线的一条渐近线与抛物线只有1 2 2 2 2 b y a x 2 1yx 一个公共点 则双曲线的离心 率等于 5 x y O C B A F D 8 8 2011 石景山一模理 7 已知椭圆的焦点为 在长轴上任取一 2 2 1 4 x y 1 F 2 F 12 A A 点 过作垂直MM 于的直线交椭圆于点 则使得的点的概率为 12 A AP 12 0PFPF M A B C D 2 3 6 3 2 6 3 1 2 9 9 2011 朝阳一模文 12 抛物线上一点与该抛物线的焦点的距离 2 4yx MF 4MF 则点的横坐标 3 Mx 10 201110 2011 丰台文丰台文 9 已知抛物线上一点 P 3 y 则点 P 到抛物线焦点的距离为 4 2 4yx 11 2011 门头沟一模文门头沟一模文 5 5 椭圆两焦点为 1 4 0 F 2 4 0 F P在椭圆上 若 12 PFF的面积的最大值为 12 则该椭圆的标准方程为 A 22 1 259 xy B 22 1 2516 xy C 22 1 169 xy D 1 610 22 yx 12 201112 2011 石景山一模文石景山一模文 7 已知椭圆的焦点为 在长轴上任取一 2 2 1 4 x y 1 F 2 F 12 A A 点 过作垂直MM 于的直线交椭圆于点 则使得的点的概率为 12 A AP 12 0PFPF M A B C D 2 3 6 3 2 6 3 1 2 解答解答 1 1 20112011 西城一模理西城一模理 1919 本小题满分 本小题满分 1414 分 分 已知抛物线的焦点为 过的直线交轴正半轴于点 交抛 2 2 0 ypx p FFyP 物线于两点 其中点在第一象限 A BA 求证 以线段为直径的圆与轴相切 FAy 若 求的取值范围 1 FAAP 2 BFFA 1 2 1 1 4 2 2 解 解 由已知 设 则 0 2 p F 11 A x y 2 11 2ypx 圆心坐标为 圆心到轴的距离为 11 2 42 xp y y 1 2 4 xp 2 分 圆的半径为 1 1 21 2224 FAxpp x 4 分 所以 以线段为直径的圆与轴相切 FAy 5 分 解法一 设 由 得 022 0 PyB xy 1 FAAP 2 BFFA 111101 2 p xyx yy 22211 22 pp xyxy 6 分 所以 11 11101 2 p xxyyy 221221 22 pp xxyy 8 分 由 得 221 yy 222 221 yy 又 2 11 2ypx 2 22 2ypx 所以 2 221 xx 10 分 代入 得 221 22 pp xx 2 2121 22 pp xx 2122 1 1 2 p x 整理得 1 2 2 p x 12 分 代入 得 11 1 2 p xx 1 22 222 ppp 所以 1 22 1 1 13 分 因为 所以的取值范围是 1 2 1 1 4 2 2 4 2 3 14 分 解法二 解法二 设 2211 yxByxA 2 p AB xmy 将代入 得 2 p xmy 2 2ypx 22 20ypmyp 所以 2 12 y yp 6 分 由 得 1 FAAP 2 BFFA 7 111101 2 p xyx yy 22211 22 pp xyxy 分 所以 11 11101 2 p xxyyy 8 221221 22 pp xxyy 分 将代入 式 得 122 yy 2 2 1 2 p y 10 分 所以 2 1 2 2 p px 1 2 2 p x 12 分 代入 得 11 1 2 p xx 1 22 1 1 13 分 因为 所以的取值范围是 1 2 1 1 4 2 2 4 2 3 14 分 2 2 20112011 西城一模文西城一模文 1919 已知抛物线的焦点为 直线 过点 2 4yx Fl 4 0 M 若点到直线 的距离为 求直线 的斜率 Fl3l 设为抛物线上两点 且不与轴重合 若线段的垂直平分线恰过 A BABxAB 点 求证 线段中点的横坐标为定值 MAB 解 由已知 不合题意 设直线 的方程为 4x l 4 yk x 由已知 抛物线的焦点坐标为 C 1 0 1 分 因为点到直线 的距离为 所以 Fl3 2 3 3 1 k k 3 分 解得 所以直线 的斜率为 2 2 k l 2 2 5 分 设线段中点的坐标为 AB 00 N xy 2211 yxByxA 因为不垂直于轴 ABx 则直线的斜率为 直线的斜率为 MN 0 0 4 y x AB 0 0 4x y 7 分 直线的方程为 AB 0 00 0 4 x yyxx y 8 分 联立方程 0 00 0 2 4 4 x yyxx y yx 消去得 x 22 0 0000 1 4 0 4 x yy yyx x 10 分 所以 0 12 0 4 4 y yy x 11 分 因为为中点 所以 即 NAB 12 0 2 yy y 0 0 0 2 4 y y x 13 分 所以 即线段中点的横坐标为定值 14 分 0 2x AB2 3 20113 2011 东城一模理东城一模理 19 19 本小题共 13 分 已知椭圆的离心率为 且两个焦点和短轴的一个端点是 22 22 1 0 yx ab ab 2 2 一个等腰三角形的顶点 斜率为的直线 过椭圆的上焦点且与椭圆相交于 0 k k lP 两点 线段的垂直平分线与轴相交于点 QPQy 0 Mm 求椭圆的方程 求的取值范围 试用表示 的面积 并求面积的最大值 MPQ 解 依题意可得 2 2 a c cb 又 222 cba 可得 1 2ba 所以椭圆方程为 2 2 1 2 y x 设直线 的方程为 l1ykx 由可得 2 2 1 1 2 ykx y x 22 2 210kxkx 设 1122 P x yQ xy 则 12 2 2 2 k xx k 12 2 1 2 x x k 可得 1212 2 4 2 2 yyk xx k 设线段中点为 则点的坐标为 PQNN 22 2 22 k kk 由题意有 1 kkMN 可得 2 2 2 2 1 2 m k k k k 可得 2 1 2 m k 又 0k 所以 1 0 2 m 设椭圆上焦点为 F 则 12 1 2 MPQ SFMxx 2 2 121212 22 8 1 4 2 k xxxxx x k 由 可得 2 1 2 m k 2 1 2k m 所以 12 2 1 8 1 8 1 1 m xxmm m 又 1FMm 所以 3 2 1 MPQ Smm 所以 的面积为 MPQ 3 1 2mm 2 1 0 m 设 3 1 mmmf 则 41 1 2 mmmf 可知在区间单调递增 在区间单调递减 mf 4 1 0 2 1 4 1 所以 当时 有最大值 4 1 m mf 64 27 4 1 f 所以 当时 的面积有最大值 4 1 mMPQ 8 63 4 20112011 东城一模文东城一模文 19 本小题共 本小题共 14 分 分 已知椭圆的中心在坐标原点 焦点在轴上 离心率为 椭圆上的点到焦点距Cx 1 2 C 离的最大值为 3 求椭圆的标准方程 C 若过点的直线 与椭圆交于不同的两点 且 求实数 0 PmlC A B3APPB 的取值范围 m 解 设所求的椭圆方程为 22 22 1 0 xy ab ab 由题意 222 1 2 2 33 1 c a a acb c abc 所求椭圆方程为 5 分 22 1 43 xy 若过点的斜率不存在 则 0 Pm 3 2 m 若过点的直线斜率为 即 时 0 Pmk 3 2 m 直线的方程为ABymkx 由 222 22 34 84120 3412 ykxm kxkmxm xy 2222 644 34 412 m kkm 因为和椭圆交于不同两点ABC 所以 0 22 430km 所以 22 43km 设 1122 A x yB xy 由已知 则 3APPB 2 1212 22 8412 3434 kmm xxx x kk 1122 APx myPBxym 12 3xx 将 代入 得 2 2 22 4412 3 3434 kmm kk 整理得 2222 1612390m kkm 所以代入 式得 2 2 2 93 1612 m k m 2 22 2 93 43 43 m km m 解得 22 2 4 3 0 43 m m m 2 3 3 4 m 所以或 3 3 2 m 3 3 2 m 综上可得 实数的取值范围为 m 33 3 3 22 14 分 5 2011 朝阳一模理朝阳一模理 19 本小题满分 14 分 已知 为椭圆的左 右顶点 为其右焦点 是椭圆上异 2 0 A 2 0 BCFPC 于 的动点 且面积的最大值为 ABAPB 2 3 求椭圆的方程及离心率 C 直线与椭圆在点处的切线交于点 当直线绕点转动时 试判断以APBDAPA BD 为直径的圆与直线的位置关系 并加以证明 PF 解 由题意可设椭圆的方程为 C 22 22 1 0 xy ab ab 0 F c 由题意知解得 222 1 22 3 2 2 a b a abc 3b 1c 故椭圆的方程为 离心率为 6 分C 22 1 43 xy 1 2 以为直径的圆与直线相切 BDPF 证明如下 由题意可设直线的方程为 AP 2 yk x 0 k 则点坐标为 中点的坐标为 D 2 4 kBDE 2 2 k 由得 22 2 1 43 yk x xy 2222 34 1616120kxk xk 设点的坐标为 则 P 00 xy 2 0 2 1612 2 34 k x k 所以 10 分 2 0 2 68 34 k x k 00 2 12 2 34 k yk x k 因为点坐标为 F 1 0 当时 点的坐标为 点的坐标为 1 2 k P 3 1 2 D 2 2 O F E P D BA y x 直线轴 此时以为直径的圆与直线相切 PFx BD 22 2 1 1xy PF 当时 则直线的斜率 1 2 k PF 0 2 0 4 11 4 PF yk k xk 所以直线的方程为 PF 2 4 1 1 4 k yx k 点到直线的距离 EPF 22 2 22 84 2 1 41 4 16 1 1 4 kk k kk d k k 3 2 2 2 28 1 4 2 14 1 4 kk k k k k 又因为 所以 4 BDk 1 2 dBD 故以为直径的圆与直线相切 BDPF 综上得 当直线绕点转动时 以为直径的圆与直线相切 14 分APABDPF 6 2011 丰台一模理丰台一模理 19 本小题共 本小题共 14 分 分 已知点 动点 P 满足 记动点 P 的轨迹为 W 1 0 A 1 0 B 2 3PAPB 求 W 的方程 直线与曲线 W 交于不同的两点 C D 若存在点 使得1ykx 0 M m 成立 求实数 m 的取值范围 CMDM 解 由椭圆的定义可知 动点 P 的轨迹是以 A B 为焦点 长轴长为的椭 2 3 圆 2 分 3 分 1c 3a 2 2b W 的方程是 4 分 22 1 32 xy 另解 设坐标 1 分 列方程 1 分 得结果 2 分 设 C D 两点坐标分别为 C D 中点为 11 C x y 22 D xy 00 N xy 由 得 6 分 22 1 1 32 ykx xy 22 32 630kxkx 所以 7 分 12 2 6 32 k xx k 从而 12 0 2 3 232 xxk x k 00 2 2 1 32 ykx k 斜率 9 分MN 2 0 0 2 2 32 3 32 MN y k k k xm m k 又 CMDM CDMN 即 10 分 2 2 2 1 32 3 32 k k k m k 2 32 k m k 当时 11 分0k 0m 当时 13 分0k 2 1 2 32 3 k m k k k 12 6 0 0 12 6 故所求的取范围是 14 分m 12 6 12 6 7 2011 海淀一模理海淀一模理 19 19 本小题共 本小题共 14 分 分 已知椭圆 经过点其离心率为 22 22 1 xy C ab 0 ab 3 1 2 M 1 2 求椭圆的方程 C 设直线与椭圆相交于 A B 两点 以线段为邻 1 2 l ykxmk C OA OB 边作平行四边形 OAPB 其中顶点 P 在椭圆上 为坐标原点 求的取值范围 COOP 解 由已知可得 所以 1 分 22 2 2 1 4 ab e a 22 34ab 又点在椭圆上 所以 2 3 1 2 MC 22 19 1 4ab 分 由 解之 得 22 4 3ab 故椭圆的方程为 5 分C 22 1 43 xy 由 22 1 43 ykxm xy 消化简整理得 y 222 34 84120kxkmxm 222222 644 34 412 48 34 0k mkmkm 8 分 设点的坐标分别为 则 A B P 112200 x yxyxy 01201212 22 86 2 3434 kmm xxxyyyk xxm kk 9 分 由于点在椭圆上 所以 PC 22 00 1 43 xy 10 分 从而 化简得 经检验满足 式 222 2222 1612 1 34 34 k mm kk 22 434mk 11 分 又 222 22 00 2222 6436 34 34 k mm OPxy kk 222 222 4 169 169 34 43 mkk kk 12 2 3 4 43k 分 因为 得 有 1 2 k 2 3434k 2 33 1 443k 故 13 3 2 OP 即所求的取值范围是 14 分OP 13 3 2 另解 设点的坐标分别为 A B P 112200 x yxyxy 由在椭圆上 可得 A B 22 11 22 22 3412 3412 xy xy 6 分 整理得 12121212 3 4 0 xxxxyyyy 7 分 由已知可得 所以 OPOAOB 120 120 xxx yyy 8 分 由已知当 即 12 12 yy k xx 1212 yyk xx 9 分 把 代入 整理得 00 34xky 10 分 与联立消整理得 22 00 3412xy 0 x 2 0 2 9 43 y k 11 分 由得 22 00 3412xy 22 00 4 4 3 xy 所以 222222 00000 2 413 444 3343 OPxyyyy k 12 分 因为 得 有 1 2 k 2 3434k 2 33 1 443k 故 13 3 2 OP 13 分 所求的取值范围是 14OP 13 3 2 分 8 20118 2011 门头沟一模理门头沟一模理19 本小题满分 13 分 如图 平行四边形的周长为 8 点的坐标分别为 AMBN M N 0 3 0 3 求点所在的曲线方程 A B 过点的直线 与 中曲线交于点 与Y 2 0 C lD 轴交于点 且 ElOA O x y A M N B 求证 为定值 2 CD CE OA 解 因为四边形是平行四边形 周长为 8AMBN 所以两点到的距离之和均为 4 可知所求曲线为椭圆 A B M N 1 分 由椭圆定义可知 2 3ac 1b 所求曲线方程为 41 4 2 2 y x 分 由已知可知直线 的斜率存在 又直线 过点ll 2 0 C 设直线 的方程为 l 2 yk x 5 分 代入曲线方程 并整理得 2 2 1 0 4 x yy 2222 14 161640kxk xk 点在曲线上 所以 2 0 C D 2 2 82 14 k k 2 4 14 k k 8 分 0 2 EkCD 22 44 1414 k kk 2 2 CEk 9 分 因为 OAl 所以设的方程为 OAykx 10 分 代入曲线方程 并整理得 22 14 4kx 所以 22 22 1414 k A kk 11 分 2 22 22 22 88 1414 2 44 1414 k CD CE kk k OA kk 所以 为定值 2 CD CE OA 13 分 9 9 20112011 石景山一模理石景山一模理 19 本小题满分 本小题满分 13 分分 已知椭圆经过点 离心率为 动点1 2 2 2 2 b y a x 0 ba 2 1 2 6 P 2 2 2 0 Mtt 求椭圆的标准方程 求以 OM 为直径且被直线截得的弦长为 2 的圆的方程 3450 xy 设 F 是椭圆的右焦点 过点 F 作 OM 的垂线与以 OM 为直径的圆交于点 N 证明线段 ON 的长为定值 并求出这个定值 解 由题意得 2 2 c a 因为椭圆经过点 所以 2 1 2 6 P 22 22 61 22 1 ab 又 222 abc 由 解得 2 2 a1 22 cb 所以椭圆方程为 3 分 2 2 1 2 x y 以 OM 为直径的圆的圆心为 半径 1 2 t 2 1 4 t r 方程为 5 分 2 22 1 1 24 tt xy 因为以 OM 为直径的圆被直线截得的弦长为 2 3450 xy 所以圆心到直线的距离 7 分3450 xy 2 1dr 2 t 所以 解得 325 52 tt 4t 所求圆的方程为 9 分 22 1 2 5xy 方法一 过点 F 作 OM 的垂线 垂足设为 K 由平几知 2 ONOK OM 则直线 OM 直线 FN 11 分 2 t yx 2 1 yx t 由得 2 2 1 t yx yx t 2 4 4 K x t 22 2 1 1 44 KM tt ONxx 22 4 4 4 4 2 2 t t 所以线段 ON 的长为定值 13 分2 方法二 设 则 00 N xy 1 00 yxFN 2 tOM 2 00 tyxMN 00 yxON 11 分OMFN 0 1 2 00 tyx22 00 tyx 又 ONMN 0 2 0000 tyyxx 22 00 2 0 2 0 tyxyx 为定值 13 分2 2 0 2 0 yxON 10 2011 朝阳一模文 19 本小题满分 14 分 已知 为椭圆的左右顶点 为其右焦点 2 0 A 2 0 BC 1 0 F 求椭圆的标准方程及离心率 C 过点的直线 与椭圆的另一个交点为 不同于 与椭圆在点处的AlCPABB 切线交于点 当直线 绕点转动时 试判断以为直径的圆与直线的位DlABDPF 置关系 并加以证明 解 解 由题意可设椭圆的方程为 半焦距为 C 22 22 1 0 xy ab ab c 因为 为椭圆的左 右顶点 为其右焦点 2 0 A 2 0 BC 1 0 F 所以 2a 1c 又因为 所以 222 abc 22 3bac 故椭圆的方程为 离心率为 5 分C 22 1 43 xy 1 2 以为直径的圆与直线相切 证明如下 BDPF 由题意可设直线 的方程为 l 2 yk x 0 k 则点坐标为 中点的坐标为 D 2 4 kBDE 2 2 k 由得 22 2 1 43 yk x xy 2222 34 1616120kxk xk 设点的坐标为 则 P 00 xy 2 0 2 1612 2 34 k x k 所以 2 0 2 68 34 k x k 00 2 12 2 34 k yk x k 因为点坐标为 F 1 0 当时 点的坐标为 点的坐标为 1 2 k P 3 1 2 D 2 2 直线轴 此时以为直径的圆与直线相切 PFx BD 22 2 1 1xy PF 当时 则直线的斜率 1 2 k PF 0 2 0 4 11 4 PF yk k xk 所以直线的方程为 PF 2 4 1 1 4 k yx k 点到直线的距离 EPF 22 2 22 84 2 1 41 4 16 1 1 4 kk k kk d k k 3 2 2 2 28 1 4 2 14 1 4 kk k k k k 又因为 所以 4 BDk 1 2 dBD O F E P D BA y x 故以为直径的圆与直线相切 BDPF 综上得 当直线 绕点转动时 以为直径的圆与直线相切 14 分lABDPF 11 2011 丰台文丰台文 18 本小题共 本小题共 14 分 分 已知椭圆的焦点在轴上 离心率为 对称轴为坐标轴 且经过点 Ex 1 2 3 1 2 求椭圆的方程 E 直线与椭圆相交于 A B 两点 在上存在一点 上存在2ykx EOAMOB 一点 使得 若原点在以为直径的圆上 求直线斜率N 1 2 MNAB OMN 的值 k 解 依题意 可设椭圆的方程为 E 22 22 1 0 xy ab ab 1 分 1 2 c a 2ac 2222 3bacc 3 分 椭圆经过点 3 1 2 椭圆的方程为 22 1 43 xy 5 分 记两点坐标分别为 A B 11 A x y 22 B xy 消 y 得 22 2 1 43 ykx xy 22 43 1640kxkx 7 分 直线与椭圆有两个交点 24 16 16 43 0kk 2 1 4 k 9 分 由韦达定理 12 2 16 43 k xx k 12 2 4 43 x x k 原点在以为直径的圆上 OMN 即 OMON 0OM ON 在上 在上 1 2 MNAB MOANOB 0OA OB 10 分 又 11 OAx y 22 OBxy OA OB 12121212 2 2 x xy yx xkxkx 2 1212 1 2 4kx xk xx 2 22 416 1 2 4 0 4343 k kk kk 2 41 32 k 13 分 2 3 3 k 14 分 12 2011 海淀一模文海淀一模文 19 19 本小题共 14 分 已知椭圆 经过点其离心率为 22 22 1 xy C ab 0 ab 3 1 2 M 1 2 求椭圆的方程 C 设直线 与椭圆相交于 A B 两点 以线段为邻边作平行四边形lC OA OB OAPB 其中顶点 P 在椭圆上 为坐标原点 求到直线距离的 最小值 COOl 解 由已知 所以 1 分 22 2 2 1 4 ab e a 22 34ab 又点在椭圆上 所以 2 分 3 1 2 MC 22 19 1 4ab 由 解之 得 22 4 3ab 故椭圆的方程为 5 分C 22 1 43 xy 当直线 有斜率时 设时 l ykxm 则由 22 1 43 ykxm xy 消去得 6 分y 222 34 84120kxkmxm 7 分 222222 644 34 412 48 34 0k mkmkm 设 A B 点的坐标分别为 则 P 112200 x yxyxy 8 分 01201212 22 86 2 3434 kmm xxxyyyk xxm kk 由于点在椭圆上 所以 9 分PC 22 00 1 43 xy 从而 化简得 经检验满足 式 222 2222 1612 1 34 34 k mm kk 22 434mk 10 分 又点到直线 的距离为 Ol 11 分 2 2 22 3 113 4 11 4 1 42 11 k m d k kk 当且仅当时等号成立 12 分 0k 当直线 无斜率时 由对称性知 点一定在轴上 lPx 从而点为 直线 为 所以点到直线 的距离为 1 13 分 P 2 0 2 0 l1x Ol 所以点到直线 的距离最小值为 14 分 Ol 3 2 13 2011 门头沟一模文 18 本小题满分 14 分 已知双曲线 1 的两个焦点为 P 是双曲线上的一点 2 22 4b yx Nb 1 F 2 F 且满足 4PFFFPFPF 2 2 2121 I 求的值 b II 抛物线的焦点 F 与该双曲线的