2011年高考浙江卷理科数学试题及答案

源头学子 特级教师 王新敞 wxckt 2011 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 浙江卷 一 选择题 本大题共 10 小题 每小题 5 分 共 50 分 在每小题给出的四个选项中 只 有一项是符合题目要求的 1 设函数 则实数 2 0 4 0 x x f xf xx 若 A 4 或 2 B 4 或 2 C 2 或 4 D 2 或 2 2 把复数的共轭复数记作 i 为虚数单位 若 zz1 1 zizz 则 A 3 i B 3 i C 1 3i D 3 3 若某几何体的三视图如图所示 则这个几何体的直观图可以是 4 下列命题中错误的是 A 如果平面 那么平面内一定存在直线平行于平面 平面 B 如果平面 不垂直于平面 那么平面内一定不存在直线垂直于平面 C 如果平面 平面 那么 平面 平面 l l 平面 D 如果平面 那么平面内所有直线都垂直于平面 平面 5 设实数满足不等式组若为整数 则的最小值是 x y 250 270 0 xy xy x y 0 x y34xy A 14 B 16 C 17 D 19 6 若 则0 2 0 2 1 cos 43 3 cos 423 cos 2 A B C D 3 3 3 3 5 3 9 6 9 源头学子 特级教师 王新敞 wxckt 7 若为实数 则 是的 a b01mab 11 ab ba 或 A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 8 已知椭圆与双曲线有公共的焦点 的一条 22 1 22 1 0 xy Cab ab 2 2 1 1 4 y Cx 1 C 渐近线与以的长轴为直径的圆相交于两点 若恰好将线段三等分 则 1 C A B 1 CAB A B C D 2 13 2 a 2 13a 2 1 2 b 2 2b 9 有 5 本不同的书 其中语文书 2 本 数学书 2 本 物理书 1 本 若将其随机的并排摆放 到书架的同一层上 则同一科目的书都不相邻的概率 A B C D 1 5 2 5 3 5 4 5 10 设 a b c 为实数 f x x a 记集 22 1 1 xbxc g xaxaxbx 合 S 若 分别为集合元素 S T 0 0 x f xxRTx g xxR ST 的元素个数 则下列结论不可能的是 A 1 且 0 B ST1T 1S 且 C 2 且 2 D 2 且 3STST 非选择题部分 共 100 分 二 填空题 本大题共 7 小题 每小题 4 分 共 28 分 11 若函数为偶函数 则实数 2 f xxxa a 12 若某程序框图如图所示 则该程序运行后输出的 k 的值是 13 设二项式 x 6 a 0 的展开式中 X 的系数为 A 常数项为 B a x 若 B 4A 则 a 的值是 14 若平面向量 满足 1 1 且以向量 为邻边的 平行四边形的面积为 则 与 的夹角的取值范围是 1 2 15 某毕业生参加人才招聘会 分别向甲 乙 丙三个公司投递了个人简历 假定该毕业 生得到甲公司面试的概率为 得到乙丙公司面试的概率为 且三个公司是否让其 2 3 p 面试是相互独立的 记 X 为该毕业生得到面试得公司个数 若 则随 1 0 12 P X 源头学子 特级教师 王新敞 wxckt 机变量 X 的数学期望 E X 16 设为实数 若则的最大值是 x y 22 41 xyxy 2xy 17 设分别为椭圆的左 右焦点 点在椭圆上 若 则 12 F F 2 2 1 3 x y A B 12 5F AF B 点的坐标是 A 三 解答题 本大题共 5 小题 共 72 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 18 本题满分 14 分 在中 角所对的边分别为 a b c ABC ABC 已知且 sinsinsin ACpB pR 2 1 4 acb 当时 求的值 5 1 4 pb a c 若角为锐角 求 p 的取值范围 B 19 本题满分 14 分 已知公差不为 0 的等差数列的首项为 a 设数列的 n a 1 aaR 前 n 项和为 且 成等比数列 n S 1 1 a 2 1 a 4 1 a 1 求数列的通项公式及 n a n S 2 记 当时 试 123 1111 n n A SSSS 2 12 22 1111 n n B aaaa 2n 比较与的大小 n A n B 20 本题满分 15 分 如图 在三棱锥中 D 为 BC 的中点 PO 平面 ABC 垂PABC ABAC 足 O 落在线段 AD 上 已知 BC 8 PO 4 AO 3 OD 2 证明 AP BC 在线段 AP 上是否存在点 M 使得二面角 A MC B 为直二面角 若存在 求出 AM 的长 若不存在 请说明理由 源头学子 特级教师 王新敞 wxckt 21 本题满分 15 分 已知抛物线 圆 的圆心为点 M 1 C 3 xy 2 C 22 4 1xy 求点 M 到抛物线的准线的距离 1 c 已知点 P 是抛物线上一点 异于原点 过点 P 作圆的两条切线 交抛物线 1 c 2 c 于 A B 两点 若过 M P 两点的直线 垂直于 AB 求直线 的方程 1 cll 22 本题满分 14 分 设函数Raxaxxf ln 2 I 若的极值点 求实数 xfyex 为a II 求实数的取值范围 使得对任意的 恒有成立 注 a 3 0 ex 4 2 exf 为自然对数的底数 e 源头学子 特级教师 王新敞 wxckt 参考答案 一 选择题 本大题考查基本知识和基本运算 每小题 5 分 满分 50 分 BADDBCACBD 1 设函数 则实数 2 0 4 0 x x f xf xx 若 A 4 或 2 B 4 或 2 C 2 或 4 D 2 或 2 答案答案 B 解析解析 当时 0 4 4f 当时 0 2 4 2f 2 把复数的共轭复数记作 为虚数单位 若 则zzi1zi 1 zz A 3 i B 3 i C 1 3i D 3 答案答案 A 解析解析 iz 1iz 1 1 1 1 1 3zziii 3 若某几何体的三视图如图所示 则这个几何体的直观图可以是 答案答案 D 解析解析 由正视图可排除 A B 选项 由俯视图可排除 C 选项 4 下列命题中错误的是 A 如果平面 那么平面内一定存在直线平行于平面 平面 B 如果平面不垂直于平面 那么平面内一定不存在直线垂直于平面 C 如果平面 平面 那么 平面 平面 l l 平面 D 如果平面 那么平面内所有直线都垂直于平面 平面 答案答案 D 源头学子 特级教师 王新敞 wxckt 解析解析 因为若这条线是 的交线 L 则交线 L 在平面 内 明显可得交 平面和平面 线 L 在平面 内 所以交线 L 不可能垂直于平面 平面 内所有直线都垂直于平面 是错误的 5 设实数满足不等式组若为整数 则的最小值是 x y 250 270 0 xy xy x y 0 x y34xy A 14 B 16 C 17 D 19 答案答案 B 解析解析 可行域如图所示 联立 解之得 又 边界线为虚线取不到 且目标函数线的斜率为 072 052 yx yx 1 3 y x 当过点 4 1 时 有最小值 16 4 3 yxz43 6 若 则0 2 0 2 1 cos 43 3 cos 423 cos 2 A B C D 3 3 3 3 5 3 9 6 9 o x y 2x y 7 0 源头学子 特级教师 王新敞 wxckt 答案答案 C 解析解析 又 3 1 4 cos 2 0 2 2 sin 43 3 3 24 cos 0 2 3 6 24 sin 24 4 cos 2 cos 24 sin 4 sin 24 cos 4 cos 132 26 3333 9 35 7 若为实数 则 是的 a b01ab 11 ab ba 或 A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 答案答案 A 解析解析 当时 由两边同除可得成立 当时 0 0 ba10 abb b a 1 0 0 ba 两边同除以可得成立 是 或 的充会条件 反a a b 1 10 ab b a 1 a b 1 过来 由或得不到 0 ab b a 1 a b 1 10 ab 8 已知椭圆与双曲线有公共的焦点 的 22 1 22 1 0 xy Cab ab 2 2 2 1 4 y Cx 2 C 一条渐近线与以的长轴为直径的圆相交于两点 若恰好将线段三等分 则 1 C A B 1 CAB A B C D 2 13 2 a 2 13a 2 1 2 b 2 2b 答案答案 C 解析解析 由双曲线 1 知渐近线方程为 又 椭圆与双曲线有公共焦点 4 2 2 y x xy2 椭圆方程可化为 联立直线与椭圆方程消得 22x b 22 5 yb 22 5 bb xy2 y 又 将线段 AB 三等分 205 5 2 22 2 b bb x 1 C 3 2 205 5 221 2 22 2 a b bb 解之得 2 1 2 b 源头学子 特级教师 王新敞 wxckt 9 有 5 本不同的书 其中语文书 2 本 数学书 2 本 物理书 1 本 若将其随机的并排摆 放到书架的同一层上 则同一科目的书都不相邻的概率 A B C D 1 5 2 5 3 5 4 5 答案答案 B 解析解析 由古典概型的概率公式得 5 22 1 5 5 2 2 2 2 3 3 2 3 2 2 2 2 A AAAAAA P 10 设 a b c 为实数 记 1 1 22 bxcxaxxgcbxxaxxf 集合 S 若 分别为集合元素 S T 的 0 0 x f xxRTx g xxR ST 元素个数 则下列结论不可能的是 A 1 且 0 B ST1T 1S 且 C 2 且 2 D 2 且 3STST 答案答案 D 解析解析 当时 且 当且时 且0 cba1 s0 T0a 2 40bac 1 s 当且 b a c 例如 a 1 c 3 b 4 时 且 1T 2 0 40abac 2 s2T 二 填空题 本题考查基本知识和基本运算 每小题 4 分 满分 28 分 11 0 12 5 13 2 14 15 16 17 5 66 5 3 2 10 5 0 1 11 若函数为偶函数 则实数 2 f xxxa a 答案答案 0 解析解析 为偶函数 xf xfxf 即 22 axaxaxxaxx 0 a 12 若某程序图如图所示 则该程序运行后输出的 k 的值是 答案答案 5 解析解析 时 64 84 3 k 3 4 a 4 3 bba 时 256 256 4 k 4 4 a 4 4 bba 源头学子 特级教师 王新敞 wxckt 时 256 625 5 k 5 4 a4 4 5 bba 13 设二项式的展开式中的系数为 A 常数项为 B 若 B 4A 则 a 0 6 a x a x 3 x 的值是 答案答案 2 解析解析 由题意得 k k k k kk k xCa x a xCT 2 3 6 6 6 61 又 2 6 2C aA 4 6 4C aB AB4 解之得 又 4 6 4C a 2 6 2 4Ca 4 2 a0 a2 a 14 若平面向量 满足 1 1 且以向量 为邻边的平行四边形的 面积为 则 与 的夹角的取值范围是 1 2 答案答案 6 5 6 解析解析 由题意得 2 1 sin 1 1 11 sin 22 又 0 5 65 15 某毕业生参加人才招聘会 分别向甲 乙 丙三个公司投递了个人简历 假定该毕 业生得到甲公司面试的概率为 得到乙公司面试的概率为 且三个公司是否让其面试 2 3 p 是相互独立的 记 X 为该毕业生得到面试得公司个数 若 则随机变量 X 1 0 12 P X 的数学期望 E X 答案答案 3 5 解析解析 12 1 3 2 10 2 pXP 2 1 p 3 1 2 2 1 3 1 2 1 3 2 1 22 XP 源头学子 特级教师 王新敞 wxckt 12 5 2 1 3 1 2 2 1 3 2 2 22 XP 6 1 2 1 3 2 3 2 XP 3 5 6 1 3 12 5 2 3 1 1 12 1 0 XE 16 设为实数 若则的最大值是 x y 22 41 xyxy 2xy 答案答案 5 102 解析解析 即 14 22 xyyx13 2 2 xyyx12 2 3 2 2 xyyx 解之得 即 22 3 2 2 1 22 xy xy 5 8 2 2 yx 2 102 10 2 55 xy 17 设分别为椭圆的焦点 点在椭圆上 若 则点 12 F F 2 2 1 3 x y A B 12 5F AF B 的坐标是 A 答案答案 1 0 解析解析 设直线的反向延长线与椭圆交于点 又 由椭圆的对称性AF1 B 12 5F AF B 可得 设 11 5F AB F 11 y xA 22 y x B 又 11 63 2 32 F Ax 12 63 2 32 FBx 解之得 点 A 的坐标为 12 12 63 263 2 3232 25 2 xx xx 0 1 x 0 1 或 0 1 三 解答题 本大题共 5 小题 共 72 分 18 本题主要考查三角变换 正弦定理 余弦定理等基础知识 同时考查运算求解能力 满分 14 分 源头学子 特级教师 王新敞 wxckt I 解 由题设并利用正弦定理 得 5 4 1 4 ac ac 解得 1 1 41 1 4 a a c c 或 II 解 由余弦定理 222 2cosbacacB 2 2222 2 22cos 11 cos 22 31 cos 22 acacacB p bbbB pB 即 因为 2 3 0cos1 2 2 Bp 得 由题设知 6 0 2 2 pp 所以 19 本题主要考查等差数列 等比数列 求和公式 不等式等基础知识 同时考查分类讨 论思想 满分 14 分 I 解 设等差数列的公差为 d 由 n a 2 214 111 aaa 得 2 111 3 ada ad 因为 所以所以0d da 1 1 2 nn an n ana S II 解 因为 所以 12 11 1 n Sa nn 123 111121 1 1 n n A SSSSan 因为 所以 1 1 2 2 n n aa 21 12 22 1 1 1111121 2 1 1 2 1 2 n n n n B aaaaaa 当 012 2 21 nn nnnn nCCCCn 时 源头学子 特级教师 王新敞 wxckt 即 11 11 12nn 所以 当0 nn aAB 时 当0 nn aAB 时 20 本题主要考查空是点 线 面位置关系 二面角等基础知识 空间向量的应用 同时 考查空间想象能力和运算求解能力 满分 15 分 方法一 I 证明 如图 以 O 为原点 以射线 OP 为 z 轴的正半轴 建立空间直角坐标系 O xyz 则 0 0 0 0 3 0 4 2 0 4 2 0 0 0 4 OABCP 由此可得 所以 0 3 4 8 0 0 APBC 0AP BC 即APBC APBC II 解 设 1 0 3 4 PMPAPM 则 BMBPPMBPPA 4 2 4 0 3 4 4 23 44 4 5 0 8 0 0 ACBC 设平面 BMC 的法向量 1111 nx y z 平面 APC 的法向量 2 n 222 xyz 由 1 1 0 0 BM n BC n 得 111 1 4 23 44 0 80 xyx x 即 1 1 11 0 23 0 1 23 44 44 x n zy 可取 由即 2 2 0 0 AP n AC n 22 22 340 450 yz xy 源头学子 特级教师 王新敞 wxckt 得 22 2 22 5 4 5 4 3 3 4 xy n zy 可取 由 12 23 0 430 44 n n 得 解得 故 AM 3 2 5 综上所述 存在点 M 符合题意 AM 3 方法二 I 证明 由 AB AC D 是 BC 的中点 得ADBC 又平面 ABC 得PO POBC 因为 所以平面 PAD POADO BC 故 BCPA II 解 如图 在平面 PAB 内作于 M 连 CM BMPA 由 I 中知 得平面 BMC APBC AP 又平面 APC 所以平面 BMC平面 APC AP 在 222 41 41 Rt ADBABADBDAB 中得 在 222 Rt PODPDPOOD 中 在 222 Rt PDBPBPDBD 中 所以 2222 36 PB 6 PBPOODDB 得 在 222 Rt POA 25 5 PAAOOPPA 中得 又 222 1 cos 23 PAPBAB BPA PA PB 从而 PM 所以 AM PA PM 3 cos2PBBPA 综上所述 存在点 M 符合题意 AM 3 21 本题主要考查抛物线的几何性质 直线与抛物线 圆的位置关系等基础知识 同时考 查解析几何的基本思想方法和综合解题能力 满分 15 分 I 解 由题意可知 抛物线的准线方程为 1 4 y 所以圆心 M 0 4 到准线的距离是 17 4 II 解 设 222 001122 P x xA x xB x x 源头学子 特级教师 王新敞 wxckt 则题意得 0012 0 1 xxxx 设过点 P 的圆 C2的切线方程为 2 00 yxk xx 即 2 00 ykxkxx 则 2 00 2 4 1 1 kxx k 即 22222 0000 1 2 4 4 10 xkxxkx 设 PA PB 的斜率为 则是上述方程的两根 所以 1212 k k kk 12 k k 222 000 1212 22 00 2 4 4 1 11 x xx kkk k xx 将 代入 222 00 0 yxxkxkxx 得 由于是此方程的根 0 x 故 所以 110220 xkx xkx 2222 00012 121200 2 1200 2 4 4 22 1 ABMP x xxxx kxxkkxx k xxxx 由 得 MPAB 22 000 0 2 00 2 4 4 2 1 1 ABMP x xx kkx xx 解得 2 0 23 5 x 即点 P 的坐标为 23 23 55 所以直线 的方程为l 3 115 4 115 yx 22 本题主要考查函数极值的概念 导